2014理科二模-上海市虹口区高三数学

2014年上海市虹口区高三年级二模试卷——数学（理科）
2014年4月
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．
2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .
3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:A B C =，则最大角等于 ．
4、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则
()f x = ．
5、复数z 满足，则复数z 的模等于_______________．
6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．
7、抛物线28y x =-的焦点及双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .
8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，
数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．
是 ． 9、已知(12)n x -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .
10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增
数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数
列．其中真命题的是 ．
11、椭圆(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124F F =，则a 等于 ．
12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足
0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△
ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值
是 .
13、在ABC ∆中，，向量AM 的终点M 在ABC ∆实数m 的取值范围是 ．
14、对于数列{}n a ，规定{}1n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中
11()n n n a a a n N *+∆=-∈．
对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列
{}n a 有11=a ，22a =，且满足2120()n n a a n N *∆+∆-=∈，则14a = ．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 及圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）
.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非
必要条件
16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<
A
B
17、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）
.A 1 .B 1- .C 1± .D 2 18、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得
n
n x x f x x f x x f )()
()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 11
三、解答题（满分74分）
19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA
的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 的大小
等于θ．
（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 及PO （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的
值．
20、（本题满分
14分）已知函数()2()cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．
（1）求函数()y f x =的周期；
（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.
21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
22、（本题满分16分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得
x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．
（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值．
x
（3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．
23、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+及抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，及直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不及抛物线对称轴平行或重合且及抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）． （1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积及k 、b 无关，只及h 有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作及AC 、
BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此
小张求出了直线l 及抛物线围成的面积，出理
由．
参考答案（理科）
D O
C
B
A
M
P
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、(1,2)-；
2、4；
3、
43π
； 4、2()log f x x =； 5
6、3；
7、 3
π
； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；
11
1+； 12、2； 13、； 14、26 ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）
19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．
又PO ==
，MD ∴=43OC OM ==，．
//MD PO ，
∴DMC ∠等于异面直线MC 及PO 所成的角或其补角．
//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分
当60MOC ∠=︒时，
∴MC =
∴cos 13
MD DMC MC ∠==，∴ 当120MOC ∠=︒时，
∴MC =．
∴cos MD DMC MC ∠=
=∴ 综上异面直线MC 及PO 所成的角等于或．………………8分
（2）三棱锥M ACO -的高为MD
M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分
又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分
21、（14分）解：（1）
………………………………2分
当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)2
2
n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．
∴21,120220,21n n n n N a n n N *
*⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩
且且……………………5分
而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N
b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩
且且………………8分
（2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++
++++
+++
+
432[1()]
(1)1210() 6.75(4)32212
n n n n --=+⨯-+
+--
………………………………11分
由
200
n S ≥ 得
216843200444
n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得
3416.3021n -≈≤≤ ……………………13分
∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分
22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，
∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数． (2)
分
对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当时，由，∴，得0M ≤，矛盾，
∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数． (4)
分
（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．
∴当0x ≠时，，此时当1x =±时，取得最小值2，∴2M ≤． (7)
分
而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．
∴M 的最大值等于2．……………………8分
（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，
无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<， ()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分
②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取
0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分
③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分
④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取，有00()0<M b
f x M x k
=-
=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数．
由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分
x
23、（18分）解：（1）由22
2202y kx b
x pkx pb x py
=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-
点2(,)D pk pk b +…………………………2分 设切线方程为y kx m =+，由
22
2202y kx m
x pkx pm x py
=+⎧⇒--=⎨=⎩,得
22480p k pm ∆=+=，，切点的横坐标为pk 得…………4分
由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于6
分
（2）2
2222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴．………8分
232
211122216ABC
pk h S CD x x h pk b p
∆=⋅-=+-=
．……………………11分 C AB ∆的面积及k 、b 无关，只及h 有关．………………12分
（本小题也可以求AB h =，切点到直线l
的距离2d =
=
，
相应给分）
（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2
C A B C h
x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的
面积只及2h 有关，将中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p
∆∆==⋅．……14分
记，3
21416ACE BCF
h a S S p
∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 及线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为1
4
．
所以封闭图形的面积…………………………18分。