平行线间的“拐点”问题

平行线间的“拐点”问题
福建省仙游县第二中学（351200）　陈国权
［摘　要］平行线间的“拐点”问题，可以分为“猪脚”模型、“铅笔头”模型、“锯齿”模型、“臭脚”模型等，文章结合几则典例，探讨平行线间的“拐点”问题的求解方法，以提高学生灵活运用几何定理的能力，发展学生的核心素养。

［关键词］平行线；拐点；模型
［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2023）23-0022-03
平行线间的“拐点”问题，可以分为以下几个类
型：“猪脚”模型、“铅笔头”模型、“锯齿”模型、“臭
脚”模型，下面笔者结合几则典例，逐一分析探讨。

类型一、平行线间的“猪脚”模型
如图1乙所示，这个几何图形因为与猪脚相
像，我们形象地称之为“猪脚”模型。

“猪脚”模型中
蕴含着角之间的特殊关系，即∠AEC=∠A+∠C。

如何证明呢？因为在两条平行线间是折线相连，不
是直线连接，所以不能直接应用平行线的性质解
答，它们之间需要一个“桥梁”将两者联系起来，常
用的联系方式就是在“拐点”处作平行线，如图2所
示，作EG∥AB。

因为AB∥CD，所以EG∥AB∥CD，
根据“两直线平行，内错角相等”得∠A=∠AEG，
∠C=∠CEG，因为∠AEC=∠AEG+∠CEG，所以
∠AEC=∠A+∠C（等量代换）。

甲乙
图1 图2
实际上对于“猪脚”模型，还可以进一步扩展，
如图3所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3
三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D。

如图4所示，分别
过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，∴AB∥P1E∥P2F∥P3G。

由平行线的性
质可得 ∠1=∠B①，∠2+∠3=180°②，∠4+
∠5=180°③，∠6=∠D④，①+②+③+④得，
∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D=180°+180°+∠B+
∠D=360°+∠B+∠D。

如果B、D之间的点变为
P1，P2，P3，…，P
n
，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+
…+P n-1P n D-∠B-∠D=（n-1）×180°。

图3 图4
［例1］已知AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接
AE、CE。

（1）如图5所示，∠BAE的平分线交CE的延
长线于点F，∠DCE的平分线交AE的延长线于点
G，试探究∠F，∠G和∠AEC这三个角之间的数量关
系，并说明理由；（2）如图6所示，点E在AB的上方，
∠EAB和∠ECD的平分线交于点F，若∠E-∠F=
20°
-
图5 图6
思路指引：（1）根据周角的定义及三角形内角
和定理，首先在∠F，∠G和∠AEC之间建立联系，然
后再利用角平分线的定义及“猪脚”模型对关系式
中的其他角进行转化；（2）根据“8字型”模型，得
∠EAF+∠E=∠FCE+∠F，然后利用角平分线性
质，将∠EAF、∠FCE进行转化，把∠E-∠F=20°代
入可求得∠ECD-∠EAB的值。

解析：（1）由周角的定义，得2∠AEC=360°-
∠AEF-∠CEG，由三角形内角和定理得∠AEF+
∠CEG=360°-∠EAF-∠ECG-∠F-∠G，且AF、
CG分别为∠BAE、∠DCE的平分线，∴∠EAF+
∠ECG=12∠BAE+12∠DCE=12（∠BAE+∠DCE），
根据“猪脚”模型，得∠BAE+∠DCE=∠AEC，
∴∠EAF+∠ECG=12∠AEC，∴2∠AEC=360°-
()
360°-∠F-∠G-12∠AEC=12∠AEC+∠F+∠G，
∴∠F+∠G=32∠AEC。

（2）∵∠EAF、∠E在同一个三角形中，∠FCE、
∠F在另一个三角形中，这两个三角形有一组对顶
角，根据“8字型”模型，得∠EAF+∠E=∠FCE+
∠F，∴∠E-∠F=∠FCE-∠EAF，∵AF、CF是
∠EAB、∠ECD的平分线，∴∠E-∠F=12∠ECD-数学·解题研究
12∠EAB =1
2（∠ECD -∠EAB ），∵∠E -∠F =20°，∴1
2
（∠ECD -∠EAB ）=20°，∴∠ECD -∠EAB =40°。

类型二、平行线间的“铅笔头”模型
一个铅笔头的形状如图7所示。

如图8所示，因为这个图形像铅笔头，所以我们称之为“铅笔头”
模型，并有以下结论：
∠B +∠E +∠D =360°。

如何证明呢？因为在上下两条平行线之间是折线相连，而非直线，所以不能直接用平行线的性质解答，必须在两条平行线间搭建“桥梁”，常用的方法是在“拐点”处作平行线，如图9所示，过点E 作EF ∥AB ，因为AB ∥CD ，所以EF ∥AB ∥CD ，根据平行线的性
质，得∠B +∠BEF =180°，∠FED +∠D =180°，所以
∠B +∠BEF +∠
图7 图8 图9
上述结论还可以进一步扩展，如图10所示，AB ∥CD ，在AB 与CD 之间有P 1、P 2、P 3三点，顺次连
接B 、P 1、P 2、P 3、D 。

如图11所示，过点P 1、P 2、P 3 作平行线，由平行线的性质可得出∠B +∠1=180°
①，∠2+∠3=180°②，∠4+∠5=180°③，∠6+∠D =180°④，①+②+③+④得∠B +∠BP 1P 2+∠P 1P 2P 3+∠P 2P 3D +∠D =4×180°=720°。

如
果B 、D 之间的点变为P 1，P 2，P 3，…，P n ，则∠B +∠BP 1P 2+∠P 1P 2P 3+∠P 2P 3P 4+…+P n -1P n D +∠D
图10 图11
［例2］如图12所示，AB ∥CD ，点E 为两直线之间的一点。

（1）若∠BAE 的平分线与∠DCE 的平分线相交于点F ，判断∠AEC 与∠AFC 的数量关系，并
说明理由；（2）如图13所示，若设∠E =m ，
∠BAF =1n ∠FAE ，∠DCF =1
n ∠
FCE ，请用含m 、
n 的代数式表示
∠F 的度数。

图12 图13
思路指引：（1）先由“猪脚”模型得∠AFC =∠BAF +∠DCF ，再由“铅笔头”模型结合角平分线
的定义得∠AEC 与∠AFC 的数量关系；（2）先由（1）的结论得∠F +∠FAE +∠E +∠FCE =360°，再由已知条件得∠FAE +∠FCE =n ∠F ，代入整理后可
用含m 、
n 的代数式表示∠F 的度数。

解析：（1）2∠AFC +∠AEC =360°，理由如下：
由“猪脚”模型得∠AFC =∠BAF +∠DCF ，∵AF 平
分∠BAE ，CF 平分∠DCE ，由角平分线的性质得
∠BAE =2∠BAF ，∠DCE =2∠DCF ，
∴∠BAE +∠DCE =2∠AFC ，由“铅笔头”模型得∠BAE +∠AEC +∠DCE =360°，∴2∠AFC +∠AEC =360°。

（2）由（1）的结论得∠F +∠FAE +∠E +∠FCE =
360°，∵∠BAF =1n ∠FAE ，∠DCF =1
n
∠FCE ，由“猪
脚”模型得∠BAF +∠DCF =∠F ，∴∠F =1
n
（∠FAE +
∠FCE ），∴∠FAE +∠FCE =n ∠F ，∴∠F +∠E +
n ∠F =360°，∴（n +1）∠F =360°-∠E =360°-m ，∴∠F =360°-m
n +1。

类型三、平行线间的“锯齿”模型
平行线间的“锯齿”模型，如图14所示，它的形象如锯齿，故我们称之为“锯齿”模型，它有固定的结论：朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，即∠B +∠D =∠C +∠E 。

如何证明呢？常用的方法仍是过“拐点”作平行线，如图15所示，过点C 作MN ∥AB ，过点D 作PQ ∥AB ，因为AB ∥EF ，所以AB ∥EF ∥PQ ∥MN ，根据平行线的性质得∠B =∠BCN ，∠CDP =∠DCN ，∠PDE =∠E ，所以∠B +∠CDP +∠PDE =∠BCN +∠DCN +∠E ，即∠B +∠CDE =∠BCD +∠E 。

也可以作一条辅助线将“锯齿”模型拆分为“猪脚”模型和内错角，如图16所示，由“猪脚”模型，得∠2=∠1+∠5，由“两直线平行，内错角相等”得∠6=∠4，也可以证得∠B +
∠D =∠C +∠E 。

当
“锯齿”比较多时，可以通过作平行线将图形分割为多个“猪脚”模型，如图17所
示，由“猪脚”模型得∠2=∠1+∠6，
∠4=∠7+∠5，所以∠
C +∠E =∠B +∠
D +∠F。

图14 图
15
图16 图17
数学·解题研究
［例3］已知AB∥CD，（1）如图18所示，点E、F、
G、H是AB、CD之间的点，试问∠E+∠G+∠C与
∠B+∠H+∠F哪个大？（2）如图19所示，点E1，E2，
…，En，F1，F2，…，Fn是AB、CD之间的点，你又能得
到什么结论？
图18 图19
思路指引：（1）如图20所
示，分别过点F作FN∥AB，过点
H作QH∥CD，把图形拆分为两
个“猪脚”
（2）由（1）的结
论：∠E+∠G+
∠C=∠B+∠EFG+
∠GHC，得
规律：开口向左的角度之和等
于开口向右的角度之和。

解析：（1）如图20所示，分别过点F作FN∥AB，
过点H作QH∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥FN∥
QH∥CD，由“猪脚”模型得∠E=∠1+∠B，∠G=
∠2+∠3，由“两直线平行，内错角相等”得∠C=∠4，
所以∠E+∠G+∠C=∠1+∠B+∠2+∠3+∠4，
即∠E+∠G+∠C=∠B+∠EFG+∠GHC。

（2）由
（1）的结论∠E+∠G+∠C=∠B+∠EFG+∠GHC，
我们发现，所有开口朝左的角度之和=所有开口朝
右的角度之和，所以在图19中有结论：∠E1+∠E2+
…+∠En+∠C=∠F1+∠F2+…+∠Fn+∠B。

模型四、平行线间的“臭脚”模型
平行线间的“臭脚”模型，如图21所示，其重要
特征是点P在BC的右侧，且在平行线AB、CD的外
部，有固定结论：∠P=∠ABP-∠DCP，或者∠P=
∠DCP-∠ABP。

如何证明这两个结论呢？如图22
所示，延长PB交CD于点O，因为AB∥DC，所以
∠ABP=∠DOP，因为∠DOP=∠DCP+∠P，所以
∠ABP=∠DCP+∠P，即∠P=∠ABP-∠DCP；也
可以采用作平行线的方法，如图23所示，过点P作
PQ∥CD，则∠QPC=∠DCP，因为AB∥DC，所以AB∥
PQ，所以∠ABP=∠BPQ，因为∠BPQ=∠BPC+
∠CPQ，所以∠BPQ=∠BPC+∠DCP，所以∠BPC=
∠ABP-∠DCP。

图21
图22 图23
［例4］已知AB∥CD，（1）如图24所示，若∠ABE=
160°，∠CDE=120°，求∠BED的度数；（2）如图25所
示，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与
∠
图24 图25
解析：（1）如图26所示，延
长AB交DE于点F。

∵∠ABE+
∠EBF=180°，∴∠EBF=20°
∵AB∥CD，∴∠CDE=∠BFE=
120°。

∵∠EBF+∠BED+∠BFE=
180° ，∴∠BED=180°-20°-120°=40°。

（2）∠BED=2∠BFD。

理
由：如图27所示，延长AB交
FD于点N，交DE于点M
∵BF平分∠ABE，DF平分
∠CDE，∴∠ABF=12∠ABE
∠CDF=12∠CDE。

∵AB∥CD，∴∠CDF=∠ANF，
∠AME=∠CDE。

∵∠E=180°-∠BME-∠EBM=
180°-∠CDE-（180°-∠ABE）=∠ABE-∠CDE，又
∵∠F=∠ABF-∠ANF=∠ABF-∠CDF=12∠ABE-
1
2∠CDE=
1
2（∠ABE-∠CDE），∴∠E=2∠F，即∠BED=
2∠BFD。

关于平行线间的“拐点”问题，都可以过“拐点”
作平行线解决，也可以延长折线，前者主要利用平
行线的性质，后者主要利用三角形内角和定理，其
基本思想都是在两条平行线间建立联系，把复杂的
问题转化为简单的问题，把大问题转化为几个小
问题。

（责任编辑　黄桂坚）
图20
图27数学·解题研究。