数学知识点人教A版高中数学必修三第三章概率《随机事件的概率》提高训练-总结
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_随机事件的概率_基础
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人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习随机事件的概率【学习目标】1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；2.正确理解事件A 出现的频率的意义；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P(A)的区别与联系. 【要点梳理】要点一、随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.(3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件.要点诠释：1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.要点二、随机事件的频率与概率 1．频率与频数在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n为事件A 出现的频率。
2．概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释： （1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用An n来表示()P A 越精确。
（2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[01]，范围内，则运算结果一定是错误的.3．概率与频率的关系（1）频率是概率的近似值。
人教版高二数学必修3知识点整理：随机事件的概率
一、確定事件必然發生的事件：當A是必然發生的事件時，P(A)=1不可能發生的事件：當A是不可能發生的事件時，P(A)=0二、隨機事件：當A是可能發生的事件時，發生的頻率mn會穩定在某個常數p附近，那麼這個常數p就叫做事件A的概率。
概率的表示方法一般地，事件用英文大寫字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可記為P(A)=P概率的求解方法：1.利用頻率估算法：大量重複試驗中，事件A發生的頻率mn會穩定在某個常數p附近，那麼這個常數p就叫做事件A的概率(有些時候用計算出A發生的所有頻率的平均值作為其概率).2.狹義定義法：如果在一次試驗中，有n種可能的結果，並且它們發生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中結果，那麼事件A發生的概率為P(A)=nm3.列表法：當一次試驗要設計兩個因素，可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用列表法.其中一個因素作為行標，另一個因素作為列標.特別注意放回去與不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三張卡片，上面分別是數字1、2、3，第一抽出一張後再放回去再抽第二次，兩次抽到數字為數字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去，兩次抽到數字為數字1和2或者2和1的概率是多少?放回去P(1和2)=92不放回去P(1和2)=624.樹狀圖法：當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用樹狀圖法求概率.注意：求概率的一個重要技巧：求某一事件的概率較難時，可先求其餘事件的概率或考慮其反面的概率再用1減即正難則反易.概率的實際意義對隨機事件發生的可能性的大小即計算其概率.一方面要評判一些遊戲規則對參與遊戲者是否公平，就是要看各事件發生概率.另一方面通過對概率的學習讓我們更加理智的對待一些買彩票抽獎活動.【同步練習題】1.下列試驗能夠構成事件的是()A.擲一次硬幣B.射擊一次C.標準大氣壓下，水燒至100℃D.摸彩票中頭獎2.在1，2，3，…，10這10個數字中，任取3個數字，那麼“這三個數字的和大於6”這一事件是()A.必然事件B.不可能事件C.隨機事件D.以上選項均不正確3.隨機事件A的頻率滿足()A.=0B.=1C.0<<1D.0≤≤14.下麵事件是必然事件的有()①如果a、b∈R，那麼a·b=b·a②某人買彩票中獎③3+5>10A.①B.②C.③D.①②5.下麵事件是隨機事件的有：①連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面朝上;②異性電荷，相互吸引;③在標準大氣壓下，水在1℃時結冰.()A.②B.③C.①D.②③。
高二数学必修3第三章概率知识点归纳
高二数学必修3第三章概率知识点归纳聪明出于勤劳，天赋在于积聚。
小编预备了高二数学必修3第三章概率知识点，希望能协助到大家。
一.随机事情的概率及概率的意义1、基本概念：(1)肯定事情：在条件S下，一定会发作的事情，叫相关于条件S的肯定事情; (2)不能够事情：在条件S下，一定不会发作的事情，叫相关于条件S的不能够事情; (3)确定事情：肯定事情和不能够事情统称为相关于条件S确实定事情;(4)随机事情：在条件S下能够发作也能够不发作的事情，叫相关于条件S的随机事情;(5)频数与频率：在相反的条件S下重复n次实验，观察某一事情A能否出现，称n次实验中事情A出现的次数nA为事情A出现的频数;称事情A出现的比例fn(A)=nnA为事情A出现的概率：关于给定的随机事情A，假设随着试验次数的添加，事情A发作的频率fn(A)动摇在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事情A的概率。
(6)频率与概率的区别与联络：随机事情的频率，指此事情发作的次数nA与实验总次数n的比值nnA，它具有一定的动摇性，总在某个常数左近摆动，且随着实验次数的不时增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事情的概率，概率从数量上反映了随机事情发作的能够性的大小。
频率在少量重复实验的前提下可以近似地作为这个事情的概率二.概率的基本性质1、基本概念：Page 8 of 8(1)事情的包括、并事情、交事情、相等事情(2)假定AB为不能够事情，即AB=ф，那么称事情A与事情B互斥;(3)假定AB为不能够事情，AB为肯定事情，那么称事情A与事情B互为统一事情;(4)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B) 2、概率的基本性质：1)肯定事情概率为1，不能够事情概率为0，因此01; 2)当事情A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B);3)假定事情A与B为统一事情，那么AB为肯定事情，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=14)互斥事情与统一事情的区别与联络，互斥事情是指事情A 与事情B在一次实验中不会同时发作，其详细包括三种不同的情形：(1)事情A发作且事情B不发作; (2)事情A不发作且事情B发作;(3)事情A与事情B同时不发作，而统一事情是指事情A 与事情B有且仅有一个发作，其包括两种情形;(1)事情A发作B不发作;(2)事情B发作事情A不发作，统一事情互斥事情的特殊情形。
高中数学必修三重要知识点总结归纳
高中数学必修三重要知识点总结归纳有很多高中学生在复习高中必修三数学时，因为之前没有做过系统的总结，导致复习时整体效率不高。
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高中必修三数学知识1一.随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率二.概率的基本性质1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥;(3)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件;(4)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1;2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B);3)若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学人教A版必修三 第三章《概率》 3.1.3 随机事件的概率 概率的基本性质
第三章 3.1 随机事件的概率3.1.3概率的基本性质1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一事件的关系与运算1.事件的包含关系定义一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)符号B⊇A(或A⊆B)图示注意事项①不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C为任一事件)；②事件A也包含于事件A，即A⊆A；③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生一定发生2.事件的相等关系定义一般地，若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等符号A＝B图示注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓A＝B，就是A，B是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3.事件的并(或和)定义若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)符号A∪B(或A＋B)图示注意事项①A∪B＝B∪A；②例如，在掷骰子试验中，事件C2，C4分别表示出现2点，4点这两个事件，则C2∪C4＝{出现2点或4点}或4.事件的交(或积)定义若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)符号A∩B(或AB)图示注意事项①A∩B＝B∩A；②例如，掷一枚骰子，事件{出现的点数为奇数}∩事件{出现的点数为偶数}＝∅且互斥事件定义若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号A∩B＝∅图示注意事项例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥5.互斥事件和对立事件对立事件定义若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件符号A∩B＝∅，A∪B＝Ω图示注意事项A的对立事件一般记作思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.知识点二 概率的几个基本性质 1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即 . (2) 的概率为1.(3) 的概率为0. 2.互斥事件的概率加法公式当事件A 与事件B 互斥时，A ∪B 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和，从而A ∪B 的频率f n (A ∪B )＝f n (A )＋f n (B )，则概率的加法公式为P (A ∪B )＝. 0≤P (A )≤1 必然事件 不可能事件 P (A )＋P (B )3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝ .1－P(B)题型探究重点突破题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；解 因为事件C 1，C 2，C 3，C 4发生，则事件D 3必发生， 所以C 1⊆D 3，C 2⊆D 3，C 3⊆D 3，C 4⊆D 3.同理可得，事件E 包含事件C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6； 事件D 2包含事件C 4，C 5，C 6；事件F 包含事件C 2，C 4，C 6； 事件G 包含事件C 1，C 3，C 5.且易知事件C 1与事件D 1相等，即C 1＝D 1.(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 解 因为事件D 2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D 2＝C 4∪C 5∪C 6(或D 2＝C 4＋C 5＋C 6).同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6， F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5.跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？解对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率.解设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，E而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P( )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，E从而P(E)＝1－P( )＝1－0.97＝0.03.E所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率一题多解例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)＝512，P(B)＝1 3，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.分析事件A，B，C，D为互斥事件，A∪B与C∪D为对立事件，A∪B∪C与D为对立事件，因此可用两种方法求解.当堂检测 1 2 3 4 51.给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B).其中正确命题的个数为()CA.0B.1C.2D.3解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错.2.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()CA.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()D A.A⊆D B.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.4.从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是 ，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( ) 34A.35B.25C.14D.18解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.C5.从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________.0.2解析设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A∪C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.课堂小结1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥，未必对立；对立，一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.本课结束。
高中数学必修3(人教A版)第三章概率3.2知识点总结含同步练习及答案
3 18
)
B．
4 18
C．
5 18
D．
6 18
答案： C 解析： 正方形四个顶点可以确定
6 条直线，甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件．4 组邻边和对角线中两条直线相互垂直 10 5 的情况有 5 种，包括 10 个基本事件，根据古典概型公式得到结果 p = ． = 36 18
4. 有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k ， k + 1 ，其中 k = 0, 1, 2, ⋯ , 19 ．从这 20 张卡片中任取一 张，记事件"该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9, 10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为
所以取出的 2 个球一个是白球，另一个是红球的概率为
P ( B) =
某高级中学共有学生 3000 名，各年级男、女生人数如下表：
8 . 15
已知在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率是 0.18 ． （1）求 x 的值； （2）现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 120 名学生，问应在高三年级抽取学生多少名？ （3）在（2）的前提下，已知 y ⩾ 345 ，z ⩾ 345，求高三年级男生比女生多的概率． 解：（1）因为 （2）高三年级总人数为
y = kx + b 不经过第三象限的概率为 (
A．
2 9
B．
1 3
)
C．
4 9Байду номын сангаас
D．
5 9
答案： A 解析： 若直线
y = kx + b 不经过第三象限，则有 { k = −1, 和 { k = −1, b = 1, b = 2.
则满足条件的概率为
人教版高中数学必修三 3.1.1《随机事件的概率》要点梳理+跟踪检测
人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。
必修3第三章-概率 知识点总结及强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
人教高中数学A版必修3 随机事件的概率 精讲精析
第三章 概率3.1随机事件的概率1. 随机事件的概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；简称必然事件。
比如：“导体通电时发热”，“抛石块，下落”等都是必然事件。
（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件。
比如：“在标准大气压下，温度低于零度时，冰会融化”，“在常温常压下，铁熔化”等都是不可能事件。
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件。
（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件，简称随机事件。
2. 随机试验对于随机事件，知道它发生的可能性大小事非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验。
一个试验如果满足下述条件：(1) 试验的所有可能结果可以事先知道,(2) 任何一次试验的确定结果无法事先知道,(3) 可以在同一条件下重复作此试验.3. 随机事件的概率（1）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，定义为概率。
（2）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值nn A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
高中数学必修3(人教A版)第三章概率3.3知识点总结含同步练习及答案
Q
A．
1 4 1 2
B．
1 3
C．
D．
解：C
2 3
1 |AB||CD| 1 S △ABE 点 Q 取自 △ABE 内部的概率为 = 2 = ． 2 |AB||CD| S 矩形ABCD
设不等式组 { 0 ⩽ x ⩽ 2 表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原
0⩽y⩽2 点的距离大于 2 的概率是（ π A． 4 π C． 6
解：（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有 6 × 6 = 36(种)，且它们都是等可 能的，因此属于古典概型． （2）游戏中指针指向 N 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可 以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型． 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q， 则点 Q 取自 △ABE 内部的概率等于（ ）
2 ． 3
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x 的二次方程两根都是实数"为事件 A ．由题意，得 Δ = 4 (a2 + b 2 ) − 4 ⩾ 0,
即
a2 + b 2 ⩾ 1.
因为点 (a, b) 的集合是边长为 2 的正方形以及内部的平面区域，所以事件 A 对应的是在正方形 内的圆 a2 + b 2 = 1 外的平面区域，如图所示． 故所求的概率为
P (A ) =
构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
.
例题： 判断下列试验是古典概型还是几何概型． （1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“ 4 点”的概率； （2）如图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定指南针指向 N 区域时，甲获 胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
2021学年高中数学第三章概率本章小结学案含解析人教A版必修3.doc
概率本章小结一、随机事件及概率随机事件的概率是指大量重复进行同一试验，随机事件A 发生的频率mn (n 是试验的总次数，m 是事件A 发生的次数)接近的常数，记作P (A )，它反映的是这个事件发生的可能性的大小．即一个随机事件的发生既有随机性又有规律性．规律性体现在mn 的值具有稳定性，当随机试验的次数不断增加时，mn 的值总在某个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小，由于0≤m ≤n ，故0≤mn≤1，于是可得0≤P (A )≤1.[例1] 某射击运动员为2016年里约热内卢奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶 心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心 的频率0.80.950.880.920.890.91(1)(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[解] (1)由题意知击中靶心的频率在0.9左右摆动，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)． (3)不一定．二、互斥事件和对立事件互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．[例2] 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910[解析] 设3个红球分别为红1，红2，红3,2个白球分别为白1，白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)，共10种，其中不含白球的只有(红1，红2，红3)1种，所以不含白球的概率为110，所以至少有1个白球的概率为P ＝1－110＝910.[答案] D 三、古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性与等可能性，用以判断该题目是否属于古典概型．事件A 在古典概型中发生的概率P (A )＝mn ，其中n 为试验的基本事件总数，m 为事件A 包含的基本事件数，应用公式的关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .下面举例说明．[例3] 为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位．(1)求m ；(2)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？[分析] (1)利用数量在[20,25)内矩形的面积等于样本中落在该组的频率求出m ；(2)生产低于20件产品的工人有两组[10,15)，[15,20)，分别求出两组的人数，利用古典概型求出概率．[解] (1)根据频率分布直方图可知产品件数在[20,25)内的频率为5×0.06＝0.3，则有0.3m ＝6，解得m ＝20.(2)根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．2位工人不在同一组的结果有：(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为815.四、几何概型当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算．常用的几何度量有长度、面积、体积和角度等，解题时要适当选择．[例4] 在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得lg(x －1)<lg2成立的概率为________．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，lg (x －1)<lg2，解得⎩⎨⎧x >1，x <3.所以在区间[－3,3]上不等式lg(x －1)<lg2的解集为(1,3)，其长度为2.又因为x ∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识，得P ＝26＝13. [答案] 13[例5] 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78[解析] 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s ”，即|x －y |≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得 P (A )＝42－2×⎝⎛⎭⎫12×2×242＝34. [答案] C五、概率与统计的综合问题概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．[例6] 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．[分析] (1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．[解](1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高：x＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为：s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，∴P(A)＝410＝2 5.即身高为176 cm的同学被抽中的概率为25.。
人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_随机事件的概率_提高
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人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型( 常考知识点)巩固练习随机事件的概率【学习目标】1. 了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；2. 正确理解事件A 出现的频率的意义；3. 正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A) 与事件A发生的概率P(A)的区别与联系.【要点梳理】要点一、随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1) 必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；(2) 不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.(3) 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件.要点诠释：1. 随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；2. 随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.要点二、随机事件的频率与概率1．频率与频数在相同条件S下重复n 次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A) nA为事件A出现的频率。
n2．概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总接近于某个常数，在它附近摆动，n这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).由定义可知0≤P(A) ≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释：( 1)概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用nA来表示P(A) 越精确。
n(2)任一事件A的概率范围为0≤ P(A)≤1，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[0，1] 范围内，则运算结果一定是错误的.3．概率与频率的关系(1)频率是概率的近似值。
新人教版高二数学必修3第三章要点解析：随机事件的概率-最新教学文档
新人教版高二数学必修3第三章要点解析：随机事件的概率当高中倒计时的钟声开始响起，一段全新的旅程也即将开启。
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一、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0二、随机事件：当A是可能发生的事件时，发生的频率mn 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P概率的求解方法：1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率mn 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率).2.狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=nm3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.特别注意放回去与不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字1、2、3，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?放回去P(1和2)=92不放回去P(1和2)=624.树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用1减即正难则反易.概率的实际意义对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率.一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率.另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动.【同步练习题】1.下列试验能够构成事件的是( )A.掷一次硬币B.射击一次C.标准大气压下，水烧至100℃D.摸彩票中头奖2. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确3. 随机事件A的频率满足( )A. =0B. =1C.010A.①B.②C.③D.①②5. 下面事件是随机事件的有：①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上; ②异性电荷，相互吸引; ③在标准大气压下，水在1℃时结冰 .( )A.②B.③C.①D.②③知识点是同学们提高总体学习成绩的重要途径，新人教版高二数学必修3第三章要点解析为大家巩固相关重点，让我们一起学习，一起进步吧!。
高中数学 第三章 概率本章小结 新人教A版必修3
【金版学案】2015-2016学年高中数学第三章概率本章小结新人教A版必修3知识网络构建热点专题聚焦随机事件的概率►专题归纳1．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S的随机事件，简称随机事件．对它的理解应包含下面两个方面：①随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；②随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性．2．概率可看做频率在理论上的期望值，随着试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率，频率本身是随机的；概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次的试验无关．概率反映了随机事件发生可能性的大小．对于概率的统计定义，应注意以下几点：①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；⑤必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因此0≤P(A)≤1.3．随机试验满足的条件：①试验可以在相同的条件下重复进行；②试验所有可能结果都是明确的，而且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验前却不能肯定这次试验会出现哪种结果．4．如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥(互不相容)．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即A∩B＝∅.必然事件与不可能事件是互斥事件．两互斥事件的并的概率等于这两个事件的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．一般地，有限个彼此互斥事件的并的概率，等于这些事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．利用这一公式求概率的步骤是：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．注意：前两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．5．如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即满足条件：A∩B＝∅且A∪B＝I(I为全集)，通常事件A的对立事件记作A .对立事件的性质：P (A ∪A )＝P (A )＋P (A )＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A )，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，这样可以大大地简化求某些事件概率的计算．►例题分析求：(1)派出医生至多2人的概率； (2)派出医生至少2人的概率． 解析：记事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”，事件C ：“派出2名医生”，事件D ：“派出3名医生”，事件E ：“派出4名医生”，事件F ：“派出不少于5名医生”．∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且 P (A )＝0.1，P (B )＝0.16，P (C )＝0.3， P (D )＝0.2，P (E )＝0.2，P (F )＝0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)“派出医生至少2人”的概率为P (C ＋D ＋E ＋F )＝P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 或1－P (A ＋B )＝1－0.1－0.16＝0.74. ►跟踪训练1．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．解析：每一个结果有三个球，它们的区别可用颜色体现，因此，每一个结果只需把三种不同的颜色写在小括号内表示即可；从所列结果中找出符合要求的结果，即可求概率．一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，共3个. 所以P (A )＝38.古典概型及其概率 ►专题归纳 1．古典概型的建立．如果一个试验同时满足以下两个条件：(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．则称这样的试验为古典概型．判断一个试验是否为古典概型，需要确定这个试验是否具有古典概型的两个特征“有限性”和“等可能性”．对于“有限性”的判断较易，对于“等可能性”的判断较难，要注意分辨．2．古典概型的概率计算公式：P (A )＝A 包含的基本事件个数（m ）总的基本事件个数（n ）.3．对于公式中事件A 包含的基本事件个数及总的基本事件个数n 的计算方法：(1)问题比较简单的、个数比较少的可用列举法按规律全部列出；(2)当试验的结果比较多时，可以用排列组合解决m ，n 的值．4．要善于把一些实际问题转化为古典概型． ►例题分析某人有4把钥匙，其中2把钥匙能把门打开．现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率．解析：用a ，b 表示能打开门的钥匙，用1，2表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件为：(a ，a )，(a ，b )，(a ，1)，(a ，2)，(b ，a )，(b ，b )，(b ，1)，(b ，2)，(1，a )，(1，b )，(1，1)，(1，2)，(2，a )，(2，b )，(2，1)，(2，2)，共有16个基本事件，其中“第二次才能打开门”的事件含有4个基本事件，因此P (第二次才打开门)＝416＝14.点评：“第二次才能打开门”暗示着第一次不能打开．另外，应用枚举法时要按照一定的顺序列举，做到不重复、不遗漏．►跟踪训练2．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： (1)甲中奖的概率；(2)甲、乙都中奖的概率； (3)只有乙中奖的概率； (4)乙中奖的概率． 解析：(1)甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1＝25.(2)甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4＝20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2＝220＝110.(3)由(2)知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2＝6种基本事件，∴P 3＝620＝310.(4)由(1)可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4＝25.几何概型及其概率 ►专题归纳1．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．几何概型是一种特殊的概率模型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，它的特点是试验的结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中事件A 的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积等）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积等）.3．求解几何概型的概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．主要步骤有：(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D ；(3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d ；(4)利用几何概型概率公式计算．一、与长度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离、路程等，那么需要求出各自相应的长度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率．►例题分析某人睡觉醒来，发现钟表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．解析： 假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的．因为电台每隔1小时报时一次，他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，因此，需要求出各自相应的时间“长度”，然后用几何概型公式求解．设事件A ＝{等待时间不超过10分钟}，我们关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]之间，它的区间长度为10，电台每隔1小时报时一次，它的区间长度为60，由几何概型的计算公式得P (A )＝60－5060＝16.即“他等待的时间不多于10分钟的概率”为16.点评：在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，可转化为与“长度”有关的几何概型．我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．►跟踪训练3．如图，A ，B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C ，D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解析：从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×13＝10米，∴P (E )＝1030＝13.二、与角度有关的几何概型若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个角度，那么需要求出各自相应的角度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率．►例题分析如下图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解析：过O 作射线OA 是随机的，射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．设事件A ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，事件A 的“几何度量”是60°，而坐标平面的“几何度量”为360°，所以由几何概率公式，得P (A )＝60360＝16. 点评：解此题的关键是找到事件A ＝{射线OA 落在∠xOT 内}的“几何度量”是60°，以及坐标平面的“几何度量”为360°.►跟踪训练 4．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．解析：如图所示，设B 是⊙O 上的任一点，要使弦长超过半径的2倍，只需∠AOB 的度数大于90°，记“弦长超过半径的2倍”为事件E ，则E 表示的范围是∠AOB ∈[90°，270°]，由几何概型求概率的公式得：P (E )＝270°－90°360°＝12.三、与面积有关的几何概型如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，且该区域中每一个被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以用几何模型来解．并且这里的区域可以用面积表示，然后利用几何概型的公式求解．►例题分析在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．错解：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >12，x ＋y <1，所以12<x ＋y <1，于是P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1（0，1）＝121＝12.错因：本题误把长度看作几何度量．解析：设三条线段的长度分别为x ，y ，1－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，0<1－x －y <1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <－x ＋1.在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线x ＝0，y ＝0，y ＝－x ＋1围成如图所示三角形区域G ，每一对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意知，每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x >x ，1－y >y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y >－x ＋12，x <12，y <12.因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，容易求得g 的面积为18，G的面积为12，则P (这三条线段构成三角形)＝g 的面积G 的面积＝14.►跟踪训练5．如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.22 cm 214×π×1222 cm 2＝0.01.即：“射中黄心”的概率是0.01.四、与体积有关的几何概型对于几何概型，如果图形与体积有关，只需把该试验的所有结果对应体积求出，就可以利用几何概型概率公式进行计算．►例题分析在区间[0，1]上任取三个实数x ，y ，z ，事件A ＝{(x ，y ，z )| x 2＋y 2＋z 2＜1，x ≥0，y ≥0，z ≥0} .(1)构造出随机事件A 对应的几何图形； (2)利用该图形求事件A 的概率．解析： 在空间直角坐标系下，要明确x 2＋y 2＋z 2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r ＝1的球的内部．事件A 对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A 的概率只与事件A 对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．(1)A ＝{(x ，y ，z )| x 2＋y 2＋z 2＜1，x ≥0，y ≥0，z ≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r ＝1的球的内部部分中x ≥0，y ≥0，z ≥0的部分，如图所示．(2)由于x ，y ，z 属于区间[0，1]，当x ＝y ＝z ＝1时，为正方体的一个顶点，事件A 为球在正方体内的部分．∴P (A )＝18×43π×1313＝π6. 点评：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P (x ，y ，z )的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度．►跟踪训练6．若∀b ∈(0，1)，则方程x 2＋x ＋b ＝0有实根的概率为( C )A.12B.13C.14D.34随机模拟的应用 ►专题归纳1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的．随机数的产生方法：(1)可以由实验产生随机数，这个方法就是简单随机抽样中的抽签法．这种做法的优点是产生的随机数是真正的随机数，缺点是当需要的随机数的量很大时，速度太慢．(2)由计算机或计算器产生，随机数表就是由计算机产生的随机数表格．它的优点是速度较快，适用于产生大量的随机数．但由计算机或计算器产生的不是真正的随机数，称为伪随机数．2．利用随机模拟的方法求概率，实质上是先求频率，用频率近似代替概率．我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数)有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．3．均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地，利用计算机或计算器的RAND( )函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x ＝RAND( )，然后利用伸缩和平移变换x ＝RAND( )*(b －a )＋a ，就可以产生[a ，b ]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．4．均匀随机数的应用：(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．欲用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积，可以如下操作：(1)利用计算器或计算机产生两组0～1的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ； (2)经过伸缩平移变换，x ＝3*x 1，y ＝3*y 1，得到两组0～3的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和满足条件y <log 3x 的点(x ，y )的个数N 1，试计算出阴影部分的面积S .分析：利用面积型几何概型的公式及频率是概率的近似值进行计算． 解析：设事件A ：“随机向矩形内投点，所投点落在阴影部分”．正方形的面积为9，设阴影部分的面积为S ，则由几何概型的公式得：P (A )＝S9.又因为频率的值N 1N 就是P (A )的近似值，故N 1N ≈S 9，所以S ≈9N 1N.►跟踪训练7．某校高一全年级共20个班1 200人，期终考试时如何把学生分配到40个考场中去？ 解析：要把1 200人分到40个考场中去，每个考场30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场，…，人数太多，如果用随机数表法给每名学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每一个学生一个随机号数，然后再按号数用计算机排序即可．(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．(2)用随机函数RANDBETWEEN(1，1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同)．(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1 200人的考试序号．(注：1号应为0001，2号应为0002，用0补足位数．前面再加上有关信息号码即可)8．某班有45人，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲去的机会有多大？解析：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成．(1)用1～45的45个数来替代45个人；(2)用计算器产生1～45之间的随机数，并记录；(3)整理数据并填入下表：。
高二数学人教版必修三第三章知识点梳理：随机事件的概率
高二数学人教版必修三第三章知识点梳理：随机事件的概率在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高二数学人教版必修三第三章知识点，具体请看以下内容。
1.随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
(1)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;(2)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件;(3)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2.随机事件的概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3.事件间的关系(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);4.事件间的运算(1)并事件(和事件)若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。
注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥);且有P(A+)=P(A)+P()=1。
(2)交事件(积事件)若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。
5.古典概型(1)古典概型的两大特点：1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等;(2)古典概型的概率计算公式：P(A)=;一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。
如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的高二数学人教版必修三第三章知识点，希望大家喜欢。
人教A版高中数学必修3《第三章 概率 小结》_1
第三章 概率小结与复习一、教学目标：1、通过小结与复习，梳理本章知识后，强化知识内在联系，提高综合运用知识解决问题能力。
2、通过例题讲解、讨论和训练，提高学生灵活运用本章知识解决问题能力。
二、教学重点：古典概型、互斥事件与对立事件概念的理解、概率计算、随机模拟近似计算三、教学难点：互斥事件与对立事件概念的理解、概率计算四、教学过程：（一） 知识梳理1．事件的有关概念（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件.（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件.（3）随机事件：在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件.2.事件A 出现的频率在相同的条件S 下重复n 次试验，事件A 出现的次数为n A 与n 的比值，即 ()A A n f n n = 3.事件A 发生的概率通过大量重复试验得到事件A 发生的频率的稳定值.4.事件的关系与运算（1）包含事件：如果当事件A 发生时，事件B 一定发生，则 B A Ê （或A B Í）（2）相等事件：若B A Ê 且 A B Ê 则A=B（3）并事件（和事件）：当且仅当事件A 发生或事件B 发生时，事件C 发生，则C=A ∪B （或A+B ）（4）交事件（积事件）：当且仅当事件A 发生且事件B 发生时，事件C 发生，则C=A ∩B （或AB ）.（5）互斥事件：事件A 与事件B 不同时发生，即A ∩B ＝Ф.（6）对立事件：事件A 与事件B 有且只有一个发生，即A ∩B 为不可能事件，并且 A ∪B 为必然事件.5.概率的几个基本性质（1）0≤P(A)≤1.（2）若事件A与B互斥，则 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）（3）若事件A与B对立，则 P（A）＋P（B）=1.6.基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.7.古典概型一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.8.古典概型的概率公式P(A)= 事件A所包含的基本事件的个数：基本事件的总数9.几何概型每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成对应比例.10.几何概型的概率公式P（A）= 构成事件A的区域长度：试验的全部结果所构成的区域长度P（A）= 构成事件A的区域面积：试验的全部结果所构成的区域面积P（A）= 构成事件A的区域体积：试验的全部结果所构成的区域体积（二）知识运用例1 某篮球运动员在同一条件下进行三分球分组投篮练习，训练结果试估计这个运动员投篮一次进球的概率约是多少？0.8例2 一个射手进行一次射击，指出下列事件中哪些是包含事件？哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数大于5环.例3 甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，求： （1）乙不输的概率；（2）甲获胜的概率.例4 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.（1）圆面积︰正方形面积 = 落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数.（2）设正方形的边长为2，则 p = 落在圆中的豆子数÷落在正方形中的豆子数×4.（三）课堂练习：基础训练P68跟踪训练2，3（四）课堂小结：1、理解概率与频率的概念，理解概率的意义2、了解互斥与对立事件关系与区别，概率加法公式的灵活运用（五）布置作业: P145复习参考题A 组：1、2、3、1213115236+=51166-=。
新人教版高二数学必修3第三章要点解析：随机事件的概率
新人教版高二数学必修3第三章要点解析：随机事件的概率当高中倒计时的钟声开始响起，一段全新的旅程也即将开启。
那是一个新的环境，那更是一座新的高峰！等着你去攀登！你准备好了吗？现将新人教版高二数学必修3第三章要点解析整理如下。
一、确定事件必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0二、随机事件：当A是可能发生的事件时，发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 概率的求解方法：1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p 就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率).2.狭义定义法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=nm3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标.特别注意放回去与不放回去的列表法的不同.如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字1、2、3，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?若不放回去，两次抽到数字为数字1和2或者2和1的概率是多少?放回去P(1和2)=92不放回去P(1和2)=624.树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用1减即正难则反易.概率的实际意义对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率.一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率.另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动.。
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随机事件的概率（提高训练）
1、.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案：C
解析：A 中两个事件能同时发生故不互斥，同样B 中两个事件也不互斥，D 中两个事件是对立事件，故选C.
2、.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品 答案：B
解析：利用对立事件定义或利用补集思想.
员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：6 （2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？
解析：（1）进球的频率从左向右依次为0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76. （2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.
径检验，结果如下：
6.88<≤6.94<d 6.90<d ≤6.96）、事件C （d >6.96）、事件D （d ≤6.89）的频率.
解析：事件A 的频率P （A ）=
100
26
17+=0.43，事件B 的频率P （B ）=1008
1526171710+++++=0.93，事件C 的频率P （C ）=100
22+=0.04，事件D 的频率P （D ）
=100
1=0.01.
5、.某校为举办2005年元旦联欢晚会，为了吸引广大同学积极参加活动，特举办一次摸奖活动.凡是参加者，进门时均可参加摸奖，摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质地完全相同．另有一只棱长约为30 cm 密封良好且不透光的立方体木箱(木箱的上方可容一只手伸入)．现拟按中奖率为
101设大奖，其余10
9则为小奖，大奖奖品的价值为40元，小奖奖品的价值为２元．
请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求.
解析:方案1:在箱子里放10个乒乓球，其中1个黄色的，9个白色的.摸到1个黄球时为大奖，摸到白球时为小奖.
方案2:在箱子里放5个乒乓球，3个白色的，2个黄色的.每位参加者在箱子里摸两次，每次一个球，当摸到两个黄色乒乓球时为大奖，其他情况为小奖.
6、.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是.
答案：0.2
解析：设击中10环、9环、8环的事件分别为A 、B 、C ，不够8环的事件为D ，则事件A 、B 、C 两两互斥，
∴P （D ）=1－P （A ∪B ∪C ）=1－P （A ）－P （B ）－P （C ）=1－0.3－0.3－0.2=0.2.。