天津市南开区高三数学(理)第二次月考

天津市南开区高三数学（理）第二次月考
一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集U R =，{1,2,3,4}M =
，{|1}N x x x R =≤+∈，则()U M N 等于
（ ）
A. {4}
B. {3,4}
C. {2,3,4}
D. {1,2,3,4}
2. 若奇函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则满足()0xf x <的实数x 的取值范围是（ ）
A. (3,0)(0,)-+∞
B. (3,0)
(0,3)-
C. (,3)(3,)-∞-+∞
D. (,3)(0,3)-∞-
3. 函数2441
()431
x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是
（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4. 已知函数()21x
f x =+的反函数为1
()f
x -，则1()0f x -<的解集为（ ）
A. (,2)-∞
B. (0,2)
C. (1,2)
D. (2,)+∞
5. 若关于x 的方程22
7(13)20x k x k k -++--=的两个实根1x 、2x 满足12012x x <<<<，则实数k 适合的条件是 （ ）
A. 21k -<<-
B.34k <<
C. 24k -<<
D. 21k -<<-或34k <<
6. 给出下列五个命题：① 若,0,0>>b a 则b a b a 2222
2+≥++；② 若1->≥b a ，
则b b a a +≥
+11；③ 若正整数m 和n 满足n m ≤，则2
)(n m n m ≤-；④ 若01
1<<b a ，则||||a b >；⑤ 若0a b >>，则2
332ab b a ≥+。

其中假命题．．．
的个数为（ ） A. 0个 B. 1 个 C. 2 个 D. 至少3个 7. 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：① s 是q 的充要条件；② p 是q 的充分不必要条件；③ r 是q 的必要而不充分条件；④ p ⌝是s ⌝的必要而不充分条件；⑤ r 是s 的充分而不必要条件，则正确命题序号是（ ）
A. ①④⑤
B. ①②④
C. ②③⑤
D. ②④⑤
8. 设a b c ，，均为正数，且12
2log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2c
c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则（ ）
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b a c <<
9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，当32x -≤≤-时，()3x f x =，则（ ）
A. 3()2f f f <<
B. 3
()2
f f f <<
C. 3()2f f f <<
D. 3
()2
f f f <<
10. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2
()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A. )+∞
B. [2)+∞，
C. (0,2]
D. [1][23]-，
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知{|||}A x x a =≥，6
{|0}4
x B x x +=<-，且A B B =，则a 的取值范围是 _____________。

12. 函数)91(2log )(3≤≤+=x x x f ，则())()]([2
2
x f x f x F +=的最大值为
_____________。

13. 已知2212
()log [(33)]f x x a x a =-+-在(,1]-∞-上为增函数，则a 的取值范围是
_____________。

14. 已知当(1]x ,∈-∞时，不等式2
12()40x
x
a a ++->恒成立，则a 的取值范围是_____________。

15. 函数1)3(log -+=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=上，其中0mn >，则
12
m n
+的最小值为 。

16. 已知函数2
()|2|()f x x ax b x R =-+∈，给出下列命题：（1）()f x 不可能为偶函
数，（2）当(0)(2)f f =时，()f x 的图像必关于直线1x =对称，（3）若2
0a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数。

（4）()f x 的最小值是2b a -，其中正确的命题的序号
为 _____________。

（将你认为正确的命题序号都填上．．．．．．．．．．．．．．
）
三. 解答题：本大题共6小题，共76分，其中17 －20小题每题12分，21－22小题每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 设函数()f x =
A ，)1()]2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为
B 。

（1）求A ；
（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围。

18. 函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2
()2f x x x =+。

（1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()|1|g x f x x ≥--；
（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围。

19. 已知函数()21
(),,ax f x a b c R bx c
+=∈+是奇函数，又(1)2,(2)3f f ==。

（1）求a 、b 、c 的值；
（2）当0x >时，讨论函数()f x 的单调性，并写出证明过程。

20. 函数)(x f 对任意的R b a ∈,，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当0>x 时有1)(>x f 。

（1）求证：)(x f 是R 上的增函数；
（2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2
<--m m f 。

21. 已知2
32()43
f x x ax x =+-()x R ∈在区间[1,1]-上是增函数。

（1）求实数a 的值组成的集合A ； （2）设关于x 的方程．．3
1()23
f x x x =+
的两个非零实根为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2
121||m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求出m
的取值范围；若不存在，请说明理由。

22. 已知函数2
3()ln(23)2
f x x x =+-。

（1）求()f x 在[0,1]上的极值；
（2）若对任意11[,]63
x ∈，不等式|ln |ln[()3]0a x f x x '-++>恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围。

南开区高三数学（理）第二次月考答案
三. 解答题：（本大题共6小题，共76分，其中17 －20小题每题12分，21－22小题每题14分）
17. 解：（1）由3201x x +-
≥+，得1
01
x x -≥+，
∴ 1x <-或1x ≥，即(,1)[1,)A =-∞-+∞ （2）由(1)(2)0x a a x --->，得(1)(2)0x a x a ---< ∵ 1a <， ∴ 12a a +>， ∴ (2,1)B a a =+
∵ B A ⊆， ∴ 21a ≥或11a +≤-， 即1
2
a ≥或2a ≤-，
而1a <，∴ 1
12
a ≤<或2a ≤-，
故当B A ⊆时， 实数a 的取值范围是1
(,2][,1)2
-∞-
18. 解：（1）设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则
00
02
2
x x
y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩ 即 00x x y y =-⎧⎨=-⎩ ∵ 点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴ ()2
2
2
22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故
（2）由()()2
1210g x f x x x x ≥----≤， 可得
当1x ≥时，2
210x x -+≤，此时不等式无解 当1x <时，2
210x x +-≤，解得112
x -≤≤ 因此，原不等式的解集为11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
（3）()()()21211h x x x λλ=-++-+
方法一：① ()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， ∴ 1λ=-
② 111x λ
λλ
-≠-=+当时，对称轴的方程为 （ⅰ）111,11λ
λλλ
-<-≤-<-+当时,
解得
（ⅱ）111,101λ
λλλ
->-≥--<≤+当时,解得 0λ≤综上，
方法二：由题意，()0h x '≥在[1,1]-上恒成立，
∴ (1)0
(1)0
h h '-≥⎧⎨
'≥⎩，解得0λ≤
19. 解：（1）∵ ()f x 是奇函数，∴ ()()0f x f x -+=恒成立
∴
2211
0ax ax bx c bx c
+++=-++恒成立，∴ 0c = 又1
2(1)2(2)34132a f b f a b
+⎧=⎪=⎧⎪⇔⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ∴ 232a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
（2）22141
()()3322
x f x x x x +==+(0)x > 方法一：对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <时，
1211114141
()()()()3232f x f x x x x x -=+-+
211212121212
2144
[()]()3232x x x x x x x x x x x x --=-+=-
当(0,
2x ∈时，
1202
x x <<≤， 120x x -< ，120x x >，12210x x -< ， ∴ 12()()0f x f x ->，∴ ()y f x =
在(0,2
x ∈上是减函数
当)x ∈+∞时，同理可证()y f x =
在)x ∈+∞是增函数 方法二：222
41421()(1)3232x f x x x -'=-=⋅， 当0
x >时，令()0f x '=
，有x =
当x ∈时，()0f x '≤， ∴ ()y f x =
在x ∈上是减函数
当)x ∈+∞时， ()0f x '≥ ∴ ()y f x =
在)x ∈+∞是增函数 20. 解：（1）对任意12,x x R ∈，且12x x <时，210x x -> 由已知，有21()1f x x ->
2121112111()()[()]()()()1()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-+-- 21()10f x x =-->
∴ 12()()f x f x <， 故)(x f 是R 上的增函数
（2）∵ (4)(22)(2)(2)15f f f f =+=+-=， ∴ (2)3f = ∴ 不等式3)23(2
<--m m f 即为2
(32)(2)f m m f --< 由（1）知，()f x 为R 上的增函数， ∴ 2
322m m --< 解得413
m -<<
21. 解：（1）2
()422f x ax x '=+-， ∵ ()f x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴()0f x '≥[1,1]x ∈-恒成立，即2
20x ax --≤对[1,1]x ∈-恒成立 ① 设2
()2x x ax ϕ=--， 方法一：
①⇔⎩⎨⎧≤-+=-≤--=0
21)1(0
21)1(a a ϕϕ ⇔11a -≤≤
∵ 对[1,1]x ∈-，只有当1a =时，(1)0f '-=；且当1a =-，(1)0f '=， ∴ {|11}A a a =-≤≤
方法二：
①⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(0
2a a ϕ
⇔01a ≤≤ 或 10a -≤< ⇔11a -≤≤
∵ 对[1,1]x ∈-，只有当1a =时，(1)0f '-=；且当1a =-，(1)0f '=， ∴ {|11}A a a =-≤≤
（2） 由,02,0,3
123242
332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得
∵ 280a ∆=+>，∴ 1x ，2x 是方程2
20x ax --=的两非零实根，
∴ 12122
x x a x x +=⎧⎨⋅=-⎩，从而12||x x -＝212214)(x x x x -+＝82+a
∵ 11a -≤≤， ∴ 12||x x -＝82+a 3≤
要使不等式2
121||m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立，
当且仅当2
13m tm ++≥对任意[1,1]t ∈-恒成立， 即2
20m tm +-≥对任意[1,1]t ∈-恒成立 ② 设2
2
()2(2)g t m tm mt m =+-=+-， 方法一：
②⇔2
2
(1)20(1)20
g m m g m m ⎧-=--≥⎪⎨=+-≥⎪⎩⇔2m ≥或2m ≤- 所以，存在实数m ，使得不等式2
121||m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成
立，其取值范围是{|2,2}m m m ≤-≥或
方法二：
当0m =，②显然不成立； 当0m ≠时，
②⇔20(1)20m g m m >⎧⎨-=--≥⎩ 或2
0(1)20m g m m <⎧⎨=+-≥⎩ ⇔2m ≥或2m ≤-
所以，存在实数m ，使得不等式2
121||m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成
立，其取值范围是{|2,2}m m m ≤-≥或
22. 解：（I ）2
3)
13)(1(33323)(+-+-=
-+='x x x x x x f ， 令13
1
0)(-==
='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,13
1
x f x f x <'≤<时单调递
减.
]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值
（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
x
x a x x a 323
ln
ln 323ln ln ++<+->或， 设332ln 323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，
x x x x x g 323ln
323ln ln )(+=++=，依题意知]31
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，0)32(2
)32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+='x
x x
x x x x h ， ]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
（III ）由022
3)32ln(2)(2
=-+-+⇒+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，
当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； 当]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减 而)1()3
7
(),0()37(ϕϕϕϕ>>，]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨
⎧
≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(02ln )0(b b b ϕϕϕ37267)72ln(215ln +-+<≤+∴b。