【创新设计】高三数学一轮复习 5-2等差数列课件 理 苏教版

设A＝ ，B＝a1－ ，上式可写成Sn＝An2＋Bn，当A≠0(即d≠0)时，Sn是关 于n的二次函数式(其中常数项为0)，那么(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图 象上．因此，当d≠0时，数列S1，S2，S3，…，Sn的图象为抛物线y＝Ax2＋Bx 上的一群孤立的点．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.∴
＝2(n≥2)．
由等差数列的定义知 是以
＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知
＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝
当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝
，又∵a1＝
∴an＝
变式1：已知数列{an}中，a1＝ ，通项an＝2－
当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值，当d＝0时，{an}为常数列．
【高考真题】
【例4】 (2009·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72， 则a2＋a4＋a9＝________. 分析：由S9＝72，可得到a5＝8，然后对a2＋a4＋a9进行定向分拆， 转化成a5的倍数即可．
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，
a1＝ ；(1)求证：
是等差数列；(2)求an的表达式．
思路点拨：(1)由an与Sn的关系先转化为an＝Sn－Sn－1，
然后利用定义证明．(2)先求Sn，再求an.
(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
第2课时 等差数列
1．理解等差数列、等差中项的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和． 2．能在具体的情境中识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决相关
问题．了解等差数列与一次函数的关系．
【命题预测】 等差数列既是一个重要的知识点，在高考中仍将受到关注，考查题型既有填 空题也有解答题，且既有容易题、中等题，也有难题．客观题突出“小而 巧”，主要考查等差数列性质的灵活运用及对概念的理解，主观题都“大而 全”，着重考查函数方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想．
2．对于等差数列的通项公式及前n项和公式，要注意从公式的正向、逆向以及 变式等角度掌握它们．等差数列的通项公式及前n项和公式联系着五个基本 量，“知三求二”是一类最基本的运算题目．在已知三数成等差数列时，可 设这三个数依次为a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d，通常设为a－d，a，a＋ d这样的形式，这样有利于问题的求解，如果涉及四个数成等差数列时，可 设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d的形式．在具体处理问题时，要注意“对称 设元”、“整体消参”和“设而不求”的方法．
【应试对策】
1．等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的依据．若有等差数列{an}， 则由定义知，当n≥2时，有an－an－1＝d；反之，若数列{an}满足an－an－1＝d(d 是常数，n≥2)或an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)，则数列{an}是等差数列．但是， 如果仅知道一个数列{an}的前三项满足a3－a2＝a2－a1，此时不能判定该数列 是等差数列．
【课本探源】 本题的主要解题思路是将a2＋a4＋a9向a5作定向分拆，所利用的性质源于人教 版数学第一册(上)“3.2等差数列”中的习题3.2的第10题：“已知{an}是等差数 列．(1)2a5＝a3＋a7是否成立？2a5＝a1＋a9是否成立？(2)2an＝an－2＋an＋2(n>2) 是否成立？2an＝an－k＋an＋k(n>k>0)是否成立？”，若是直接考查这些知识， 考生对应用这些性质是熟悉的，但高考命题者的设计很有新意，在a2＋a4＋a9 中并不能直接对a2、a4、a9的和式进行分拆而得出a5，这就需要解题的智慧和 分拆的技巧，增加了本题的难度.
1． 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，求这五个数． 分析：根据等差数列的特点对称地设出五项，然后求出首项a1与公差d. 解：设第三个数即中间项为a，公差为d， 则五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知条件得 解得 所求的五个数分别为 或
规范解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵数列{an}是等差数列，
∴S9＝
＝9a5＝72，
∴a5＝8.于是，a2＋a4＋a9＝3a1＋12d
＝3(a1＋4d)＝3a5＝24.故填24.
【全解密】
【命题探究】
本题的命题构思利用了等差数列的下列性质：m、n、p、q∈N*，若m＋ n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.本题与利用已知通项公式an与前n项和Sn， 求a1和d的方程思想设计命题的方式对比，这种命题方式重在考查考生 的整体思想和定向分拆的技巧．
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的 等差中项 ．
4．等差数列的前n项和公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的前n项和为
或
.其推导方法是倒序相加法，又可变形为
Sn＝pn2＋qn， 其中p＝ ，q＝a1－ ，{an}成等差数列⇔Sn＝pn2＋qn.
5．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和， Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成 等差 数列．
1．等差数列的判定常用方法： 利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，利用等差中项， 即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)或利用an＝pn＋q.
2．解填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断． (1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，则{an}是等差数列． (2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)， 则{an}为等差数列．
在解决某些题目时，利用等差数列的性质，有时能起到事半功倍的效 果．尤其要注意利用“若m，n，p，k∈N＋，且m＋n＝p＋k，则有am＋an ＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，当m＋n＝2p时， 有am＋an＝2ap”这条性质．
【例3】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围： (2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由． 思路点拨：(1)列出d的不等式组，解不等式组即得d的范围． (2)由等差数列的单调性知求出an>0中的最大n，便可求出S1、 S2、…、S12中的最大的一个．
解：解法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋ n(n－1)d.
∵S∴Sn＝－15n＋n(n－1)×4＝2n2－17n. ∴S28＝2×282－17×28＝1 092.
解法二：由已知不妨设Sn＝an2＋bn，∵S12＝84，S20＝460，
(n≥2，n∈N )，
数列{bn}满足bn＝
(n∈N )．
求证：数列{bn}是等差数列并求出通项bn. 证明：∵bn＝
，而bn－1＝
∴bn－bn－1＝
＝1(n∈N ，且n≥2)．
而b1＝
.∴{bn}是首项为
，公差为1的等差数列．
bn＝b1＋(n－1)×1＝
＋(n－1)×1＝n－
等差数列的前n项和的公式有两种形式：Sn＝
Sk＝ka1＋
·d，得k·2＋
·2＝2 550，整理得k2＋k－2 550＝0，解
得k1＝50，k2＝－51(舍去)，所以an＝2n，k＝50.
解法二：由解法一得a1＝a＝2，d＝2，∴an＝2＋2(n－1)＝2n，
∴Sn＝
＝n2＋n，
又∵Sk＝2 550，∴k2＋k＝2 550，
得k2＋k－2 550＝0.解得k＝50(k＝－51舍去)．∴an＝2n，k＝50.
及
Sn＝na1＋
d.公式中都是有四个量，只要知道其中的三个量便可以
求出剩下的一个量．
【例2】 等差数列的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28. 思路点拨：(1)由已知列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，即可求出 S28.(2) 也可由等差数列的特点，由Sn＝an2＋bn，求得a，b进而求S28.
∴
，解得
∴Sn＝2n2－17n， ∴S28＝2×282－17×28＝1 092.
变式2：已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a，前k项的和Sk＝2 550，
求通项公式an及k的值．
解：解法一：由题意知a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2 550.由已知得a＋3a＝2×4， ∴a1＝a＝2，公差d＝a2－a1＝2.∴an＝2＋2(n－1)＝2n.又
1．(2010·江苏省海门中学调研)已知等差数列{an}满足：a1＝－8，a2＝－6. 若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所 加的这个数为________． 答案：－1
2．(2010·栟茶中学学情分析)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为________． 答案：8
5．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.
解析：解法一：设公差为d，则由
，即
，
得
.
故a4＋a5＋a6＝3a1＋(3＋4＋5)d＝6＋12d＝42. 解法二：利用等差中项，a1＋a2＋a3＝15.∴3a2＝15，∴a2＝5， ∴d＝a2－a1＝3， ∴a5＝a2＋3d＝5＋9＝14.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝42. 答案：42
于同一个常数 ，那么这个数列就叫做 等差数列
常数叫
公差
d
2．等做差等数差列数的列通的项公式 ，公差通常用字母
表示．
，这个
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义得到它
的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d
.
思考：已知等差数列{an}的第m项am及公差d，则它的第n项an为多少？ 提示：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
解：(1)由
得－ <d<－3.
(2)∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
S13＝
＝13a7<0，
∴a6>0且a7<0，故S6最大．
变式3：已知两个等差数列{an}，{bn}的前项和分别为Sn，Tn，
且
(n∈N*)，则 ＝________.
解析：
答案：
【规律方法总结】
1．深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点． 2．由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，
3．在求解有关等差数列的问题时，要注意恰当地使用等差数列的性质，如果能 适时注意题目中所给的已知条件间的关系，并且能充分利用相关性质，往往 能起到事半功倍的效果，否则运算量就可能很大，尤其是在处理客观题目时， 更是如此．
【知识拓展】
1．由于等差数列的前n项和Sn＝na1＋
d，可整理Sn＝ n2＋(a1－ )n.
3．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和， 若S5＝10，S10＝－5，则公差为________． 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由题设得 即
解之得d＝－1. 答案：－1
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36， 则a7＋a8＋a9＝________. 解析：∵数列{an}为等差数列，S3，S6－S3，S9－S6为等差数列， ∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 答案：45
要善于减少运算量，达到快速、准确的目的． 3．已知三个或四个数成等差数列一类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，
如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四 个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
4．证明数列{an}是等差数列的基本方法是利用定义，证明an－an－1(n≥2)为常数． 5．等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用． 6．等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；