用二分法求方程的近似解(82)
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（3）若 f (c) f,则(b)令a0=c（此时零点x0∈(c,b)).
4.判断是否达到精确度 ：
即若 a ，b 则 得到零点近似值a(或b）；
否则重复步骤2～4．
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10
例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精
确度为0.01）.
解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
f(2)<0，f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75 f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.562 5 f(2.562 5)<0
f(2.531 25)<0, f(2.539 062 5)>0
2.562 5 2.531 25
f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0
2.546 875 f(2.546 875)>0
2.539 062 5 f(2.539 062 5)>0
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注意精确度
由于 2.539 062 5 2.531 25 0.007 812 5 0.01
x0 (0.656 25,0.687 5) 0.687 5 0.656 25 0.031 25 0.1
所以近似零点可取为0.6875.
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24
2. （2012·郑州高一检测）下列函数的图象与x轴均有交
点,其中不能用二分法求其零点的是（ ）C
y
y
y
y
x
x
O
O
（A）
（B）
x
x
O
O
28
口诀
定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
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29
世间没有一种具有真正价值的东西，可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
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3.1.2 用二分法求方程的近似解
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1
（1）通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系,初步形成应用函数 观点处理问题的意识；(重点）
（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. （难点）
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2
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部
（2.562 5，2.625）
f(2.562 5)<0， f(2.625)>0
因为|2.625-2.5625|=0.0625<0.1，所以可以将x=2.625作为原方程 的一个近似解.
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17
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解寻找解所在区间 的方法： （1）图象法:先画出y = f(x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐 标所处的范围；
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26
4.对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的
近似值？为什么？
y
y
ox
o x
不行,因为不满足 f(a)·f(b)<0
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27
1.二分法的定义； 2.用二分法求函数零点近似值的步骤； 3.逐步逼近思想； 4.数形结合思想； 5.近似与精确的相对统一.
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14
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
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20
取区间（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)≈-0.87，因为 f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5） 同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5），由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1 所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
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9
给定精确度 ,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1.确定区间a,b，验证 f (a) f (b) 0 ，给定精确度 ；
2.求区间（a,b）的中点c； 3.计算 f (c)
（1）若 f (c，) 则0c就是函数的零点；
（2）若 f (a) ,f则(c令) b=0c(此时零点x0∈(a,c))；
或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的 范围. （2）函数法:把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x) 的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.
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18
例2.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似 解（精确度0.1）. 解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7，用计算器或计算 机作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下：
解: 由题设可知：
f (0) 1.4 0,f (1) 1.6 0, 则f (0) f (1) 0
所以，函数f(x)在区间（0，1）内有零点. 下面用二分法求函数在区间（0，1）内的零点x0,
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取区间(0,1)的中点 x1 0.5, 得f (0.5) 0.55
因为f (0.5) f (1) 0,所以x0 (0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2 0.75, 得f (0.75) 0.32 因为f (0.5) f (0.75) 0,所以x0 (0.5, 0.75). 同理x0 (0.625, 0.75), x0 (0.625, 0.687 5)
的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如
何迅速查出故障所在？
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3
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一 个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆 呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
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4
如图,设闸房和指挥部的所在处为点A,B,
（C）
（D）
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3.(2012·抚州高一检测)某同学在借助计算器求“方程 lgx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2, 算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中，他用“二分法”又取 了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程 的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4个值中最后一个值是 _1_.8_1_2__5__.
方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解
在区间（2，3）内
y
6
y=lnx
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O 1234
x
y=－2x+数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3） （2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(2.75)>0
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请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？ 注意用二分
法的条件
1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断. 2.y=f(x)满足f(a)·f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
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1.用二分法求函数 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4 在区间（0，1）内的零点（精确度0.1）.
取[-1,5]的中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即f(2)f(5)<0,所以 在区间[2,5]内有方程的解，于是再取[2,5]的中点 3.5，……
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如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0, 则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不为0， 那么，不断重复上述操作，零点所在的范围会越来越小.
这在现实生活中也有许多重要的应用．其思想方法在 生活中解答以上这类问题时经常碰到．解答以上这类实 际问题关键在于，根据实际情况加以判断和总结，巧妙 取中点，巧妙分析和缩小故障的区间，从而以最短的时 间和最小的代价达到目的．
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6
假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线， 且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我们怎样依如上方法 求得方程f(x)=0的一个解?
x 0 1 23 4 5 6 7
8
f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
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因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)= 2x+3x-7在（1，2）内有零点
x0,取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，因为
f(1)·f(1.5)<0，所以x0 ∈（1，1.5）
y f(x)
-1 O 1 2 3 4 5 x
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8
二分法的定义：
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是 求一元方程近似解的常用方法. 定义如下：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的 方法叫做二分法（bisection）.
所以，可以将x 2.531 25 作为函数 f (x) ln x 2x 6
零点的近似值，也即方程ln x 2x 6 0 的近似根.
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13
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二 分法来求方程的近似解. 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此可以 通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成 计算.
2.75 2.625
f(2.75)>0 f(2.625)>0
（2.5，2.625） （2.5，2.562 5） （2.531 25，2.562 5）
（2.531 25，2.546 875） （2.531 25，2.539 062 5）
f(2.5)<0,f(2.625)>0 f(2.5)<0 f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0 f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0 f(2.546 875)>0
利用计算器，求方程 lgx=3-x的近似解.（精确度0.1）
解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程
lgx=3-x有唯一解，记为x1，
y
且这个解在区间（2，3）内.
设 f(x)=lgx+x-3
y=lgx
O
x
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y=3-x
16
列出下表：
根所在区间 （2，3） （2.5，3）
1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看，依次进行…
A
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C ED
B
5
这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为原来 的一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小 到50—100m左右，即在一两根电线杆附近．
4.判断是否达到精确度 ：
即若 a ，b 则 得到零点近似值a(或b）；
否则重复步骤2～4．
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例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精
确度为0.01）.
解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
f(2)<0，f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75 f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.562 5 f(2.562 5)<0
f(2.531 25)<0, f(2.539 062 5)>0
2.562 5 2.531 25
f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0
2.546 875 f(2.546 875)>0
2.539 062 5 f(2.539 062 5)>0
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注意精确度
由于 2.539 062 5 2.531 25 0.007 812 5 0.01
x0 (0.656 25,0.687 5) 0.687 5 0.656 25 0.031 25 0.1
所以近似零点可取为0.6875.
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2. （2012·郑州高一检测）下列函数的图象与x轴均有交
点,其中不能用二分法求其零点的是（ ）C
y
y
y
y
x
x
O
O
（A）
（B）
x
x
O
O
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口诀
定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
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世间没有一种具有真正价值的东西，可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
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3.1.2 用二分法求方程的近似解
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1
（1）通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系,初步形成应用函数 观点处理问题的意识；(重点）
（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. （难点）
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在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部
（2.562 5，2.625）
f(2.562 5)<0， f(2.625)>0
因为|2.625-2.5625|=0.0625<0.1，所以可以将x=2.625作为原方程 的一个近似解.
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用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解寻找解所在区间 的方法： （1）图象法:先画出y = f(x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐 标所处的范围；
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4.对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的
近似值？为什么？
y
y
ox
o x
不行,因为不满足 f(a)·f(b)<0
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1.二分法的定义； 2.用二分法求函数零点近似值的步骤； 3.逐步逼近思想； 4.数形结合思想； 5.近似与精确的相对统一.
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皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
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取区间（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)≈-0.87，因为 f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5） 同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5），由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1 所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
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给定精确度 ,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1.确定区间a,b，验证 f (a) f (b) 0 ，给定精确度 ；
2.求区间（a,b）的中点c； 3.计算 f (c)
（1）若 f (c，) 则0c就是函数的零点；
（2）若 f (a) ,f则(c令) b=0c(此时零点x0∈(a,c))；
或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的 范围. （2）函数法:把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x) 的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.
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例2.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似 解（精确度0.1）. 解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7，用计算器或计算 机作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下：
解: 由题设可知：
f (0) 1.4 0,f (1) 1.6 0, 则f (0) f (1) 0
所以，函数f(x)在区间（0，1）内有零点. 下面用二分法求函数在区间（0，1）内的零点x0,
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取区间(0,1)的中点 x1 0.5, 得f (0.5) 0.55
因为f (0.5) f (1) 0,所以x0 (0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2 0.75, 得f (0.75) 0.32 因为f (0.5) f (0.75) 0,所以x0 (0.5, 0.75). 同理x0 (0.625, 0.75), x0 (0.625, 0.687 5)
的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如
何迅速查出故障所在？
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3
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一 个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆 呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
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4
如图,设闸房和指挥部的所在处为点A,B,
（C）
（D）
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3.(2012·抚州高一检测)某同学在借助计算器求“方程 lgx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2, 算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中，他用“二分法”又取 了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程 的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4个值中最后一个值是 _1_.8_1_2__5__.
方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解
在区间（2，3）内
y
6
y=lnx
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O 1234
x
y=－2x+数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3） （2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(2.75)>0
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请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？ 注意用二分
法的条件
1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断. 2.y=f(x)满足f(a)·f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
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1.用二分法求函数 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4 在区间（0，1）内的零点（精确度0.1）.
取[-1,5]的中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即f(2)f(5)<0,所以 在区间[2,5]内有方程的解，于是再取[2,5]的中点 3.5，……
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如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0, 则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不为0， 那么，不断重复上述操作，零点所在的范围会越来越小.
这在现实生活中也有许多重要的应用．其思想方法在 生活中解答以上这类问题时经常碰到．解答以上这类实 际问题关键在于，根据实际情况加以判断和总结，巧妙 取中点，巧妙分析和缩小故障的区间，从而以最短的时 间和最小的代价达到目的．
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假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线， 且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我们怎样依如上方法 求得方程f(x)=0的一个解?
x 0 1 23 4 5 6 7
8
f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
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因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)= 2x+3x-7在（1，2）内有零点
x0,取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，因为
f(1)·f(1.5)<0，所以x0 ∈（1，1.5）
y f(x)
-1 O 1 2 3 4 5 x
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二分法的定义：
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是 求一元方程近似解的常用方法. 定义如下：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的 方法叫做二分法（bisection）.
所以，可以将x 2.531 25 作为函数 f (x) ln x 2x 6
零点的近似值，也即方程ln x 2x 6 0 的近似根.
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13
由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二 分法来求方程的近似解. 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此可以 通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成 计算.
2.75 2.625
f(2.75)>0 f(2.625)>0
（2.5，2.625） （2.5，2.562 5） （2.531 25，2.562 5）
（2.531 25，2.546 875） （2.531 25，2.539 062 5）
f(2.5)<0,f(2.625)>0 f(2.5)<0 f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0 f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0 f(2.546 875)>0
利用计算器，求方程 lgx=3-x的近似解.（精确度0.1）
解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程
lgx=3-x有唯一解，记为x1，
y
且这个解在区间（2，3）内.
设 f(x)=lgx+x-3
y=lgx
O
x
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y=3-x
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列出下表：
根所在区间 （2，3） （2.5，3）
1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看，依次进行…
A
2021/4/22
C ED
B
5
这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为原来 的一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小 到50—100m左右，即在一两根电线杆附近．