2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全
国Ⅰ卷）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={x|4x 2−3x ≤0}，B ={x|y =√2x −1}，则A ∩B =( )
A. [0,3
4]
B. ⌀
C. [0,1
2]
D. [12,3
4]
2. 设复数z =4−2i
7−3i ，则复数z 的虚部为( )
A. −17
29
B. 17
29
C. −1
29
D. 1
29
3. 为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽
样调查，则比较合适的抽样方法为( )
A. 简单随机抽样
B. 系统抽样
C. 分层抽样
D. 不能确定
4. 若双曲线C ：
x 2a
2−
y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的离心率为
√13
3
，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A. y =±√2x
B. y =±√2
2
x C. y =±2
3x
D. y =±3
2x
5. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n <
2019，则输出A 的值为( )
A. 1
2 B. 2 C. −1 D. −2
6. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广
八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)
A. 45000立方尺
B. 52000立方尺
C. 63000立方尺
D. 72000立方尺
7.记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=76
9，若a2=8
3
，则数列{a n}的公
比为()
A. 1
2B. 1
3
C. 2
3
D. 3
4
8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该
几何体的表面积为()
A. 104+8√5+√2π
B. 104+4√5+(√2−2)π
C. 104+8√5+(√2−2)π
D. 104+8√5+(2√2−2)π
9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()
A. B.
C. D.
10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，
且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()
A. 17
8B. 9
8
C. 17
16
D. 33
16
11.记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=18，S11=121.若3a2，a14，S m成等
比数列，则a m=()
A. 13
B. 15
C. 17
D. 19
12.已知a=sin4
5,b=4
3
sin3
4
,c=4
3
cos3
4
，则a，b，c的大小关系为()
A. a<b<c
B. b<c<a
C. a<c<b
D. b<a<c
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．
14.已知首项为1的数列{a n}满足a n+1=5a n−9，则数列{a n}的通项公式为a n=______．
15.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π
2
,π]上的取值范围为______．
16.已知函数f(x)=x3−6x2+11x−3，若直线l与曲线y=f(x)交于M，N，P三点，
且|MN|=|NP|，则点N的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，∠BAC=π
4，AB=2，BC=√17
2
，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB=
−2√2．
(Ⅰ)求AM的长度；
(Ⅱ)求△BCM的面积．
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，
AB=2BC=2CD=2．
(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；
(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．
19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源
租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：
相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：
根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：
①根据行驶里程数按1元/公里计费；
②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分
计费．
(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有
关；
(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；
(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在
30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20. 已知△PF 1F 2中，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|.
(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)若点M ，N 在曲线E 上，且M ，N ，F 1三点共线，求△F 2MN 面积的最大值．
21. 已知函数f(x)=x 2lnx −1
2x 2．
(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；
(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{
x =3cosθ
y =3+3sinθ
(θ为参数)，点M 是曲线C 上的任意一点，将点M 绕原点O 逆时针旋转90°得到点N.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点N 的轨迹C′的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线y =−√3
3x(y >0)与曲线C ，C′分别交于点A ，B ，点D(−6,0)，求△ABD
的面积．
23.已知函数f(x)=|x−1|+|3x+5|．
(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意，A={x|4x2−3x≤0}={x|0≤x≤3
4
}，B={x|y=√2x−1}=
{x|x≥1
2
}，
故A∩B=[1
2,3
4 ]．
故选：D．
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.【答案】C
【解析】解：∵z=4−2i
7−3i =(4−2i)(7+3i)
(7−3i)(7+3i)
=34−2i
58
=17
29
−1
29
i，
∴复数z的虚部为−1
29
．
故选：C．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C
【解析】解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，
则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，
故选：C．
由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．
本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为√13
3
，
可得c2
a2=13
9
，
即a2+b2
a2=13
9
，
解得b
a =2
3
，
双曲线C的渐近线方程为：y=±2
3
x．
故选：C．
利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得
n=1，A=1
2
满足条件n<2019，执行循环体，A=−1，n=2
满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=3
满足条件n<2019，执行循环体，A=1
2
，n=4
…
观察规律可知A的取值周期为3，且2018=672×3+2，可得
n=2018时，满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=2019
此时，不满足条件n<2019，退出循环，输出A的值为2．
故选：B．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A
1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD
1
)+
V BCGH−ADFE=2×(1
3×15×6×65×2+1
2
×65×15×8)+(8+20)×65
2
×40=52000立
方尺．
故选：B．
利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．
本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C
【解析】解：设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=76
9，a2=8
3
，
∴8
3
q
+8
3
+8
3
q=76
9
，解得：q=2
3
，或3
2
(舍去)．
则数列{a n}的公比为2
3
．故选：C．
设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，由S3=76
9，a2=8
3
，可得：
8
3
q
+8
3
+8
3
q=76
9
，
解得：q．
本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径
为2，高为2，
中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．
则其表面积：
S=2×1
2×4×2+2×4+4×4×4+4×4−1
2
×π×22+4×1
2
×2×2+1
2
×π×
2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．
故选：C．
由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
9.【答案】B
【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；
当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；
又f(π
2)=eπ2−5cosπ
2
−(π
2
)2=eπ2−(π
2
)2>0，可排除A．
故选：B．
根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．
本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．
10.【答案】C
【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2，
所以抛物线的方程为：y2=4x
所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得E(−1,y2)，
可得k EF=y2
−1−1
=4，所以y2=−8，将y2=−8代
入抛物线中，64=4x2，x2=16，
及B(16,−8)，所以k BF=16−1
−8=−15
8
，
所以直线AB的方程为：y=−15
8
(x−1)，与抛物线联立可得225x2−706x+225=0，
所以x1x2=1，所以x1=1
16
，
所以|AF|=x1+1=17
16
，
故选：C．
由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．
本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，
由a4+a6=18，可得2a1+8d=18，即a1+4d=9，
由S11=121，可得11a1+55d=121，即a1+5d=11，
解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1，
S n=1
2
n(2n−1+1)=n2，
若3a2，a14，S m成等比数列，则a142=3a2S m，
即为272=9m2，可得m=9，
则a m=a9=17．
故选：C．
等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：由于0<3
4<π
4
，
根据三角函数的值cos3
4>sin3
4
，
则c=4
3cos3
4
>b=4
3
sin3
4
，
由于π
2>4
5
>3
4
>0，
所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 4
5． 故c >b >a ． 故选：A ．
直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13.【答案】−12
【解析】解：根据题意，向量m
⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m
⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．
根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m
⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
14.【答案】−
5n 4
+9
4
【解析】解：∵a n+1=5a n −9， ∴a n+1−9
4=5(a n −9
4)，又a 1−9
4=−5
4
，
∴数列{a n −9
4}是首项为−5
4，公比为5的等比数列， ∴a n −9
4
=(−5
4
)×5
n−1
=−
5n 4
，
∴a n =−
5n 4
+9
4，
故答案为：−5n 4
+9
4
．
由a n+1=5a n −9可得a n+1−9
4=5(a n −9
4)，所以构造出等比数列{a n −9
4}，再利用等比数列的通项公式即可求出a n ．
本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．
15.【答案】[−6,3]
【解析】解：f(x)=3√3sin2x −6×1−cos2x
2+3=3√3sin2x +3cos2x
=6(
√3
2
sin2x +12
cos2x)=6sin(2x +π6
)，
当π
2≤x ≤π时，π≤2x ≤2π，7π
6≤2x +π
6≤13π6
，
则当2x +π
6=13π6
时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin
13π6
=6sin π6=6×1
2=3，
当2x +π
6=
3π2
时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin 3π2
=−6，
即f(x)的取值范围是[−6,3]， 故答案为：[−6,3]．
利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．
16.【答案】(2,3)
【解析】解：函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，若直线l 与曲线y =f(x)交于M ，N ，P 三点，且|MN|=|NP|，所以N 是MP 的中点， 因为函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，
可得f′(x)=3x 2−12x +11，f″(x)=6x −12，令f″(x)=6x −12=0，解得x =2， 此时f(2)=3，所以函数的对称中心的坐标(2,3)． 所以N(2,3)， 故答案为：(2,3)．
利用已知条件说明N 是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；
∴sin∠AMB =
2√23
，cos∠AMB =−1
3；
由正弦定理，BM
sin∠A =AB
sin∠AMB
，即
BM
√2
2
=2
2√2
3
，解得BM=3
2
；
由余弦定理，cos∠AMB=AM2+BM2−AB2
2AM⋅BM ，即−1
3
=AM
2+9
4
−4
2×AM×3
2
，解得AM=√2−1
2
；
(Ⅱ)∵cos∠CMB=cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB=1
3，∴sin∠CMB=2√2
3
，
在△BCM中，由余弦定理，有BC2=BM2+CM2−2BM⋅CM⋅cos∠CMB
∴CM=2，∴S△BCM=1
2BM⋅CM⋅sin∠CMB=1
2
×3
2
×2×2√2
3
=√2．
【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM的长；
(Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式
S△BCM=1
2
BM⋅CM⋅sin∠CMB求出△BCM的面积．
本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．
18.【答案】解：(1)取AB的中点E，连接PE，DE，
∵AB=2CD=2，∴DC=BE，
又∠ABC=∠BCD=90°，∴DC//BE，
则四边形DCBE为平行四边形，可得BC//DE．
∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，
则BC//平面PDE；
(2)∵BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
又BC⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，
可得PF⊥平面ABCD，
在Rt△PFA与Rt△PFD中，∵PA=PD，
∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，
又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，
由已知求得AD=√2．
∴AF=DF=PF=1．
连接BD，则V P−ABD=1
3×1
2
×2×1=1
3
，
又求得S△PAD=√3
2
，设B到平面PAD的距离为ℎ，
则由V P−ABD =V B−PAD ，得13=13×√3
2ℎ，即ℎ=
2√3
3
．
【解析】(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，可证四边形DCBE 为平行四边形，得BC//DE ，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE ；
(2)由已知证明BC ⊥平面PCD ，可得平面PCD ⊥平面ABCD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ，得PF ⊥平面ABCD ，求解三角形求得AF =DF =PF =1，再由等体积法求点B 到平面PAD 的距离．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．
19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，
∴K 2=
2000×(800×600−200×400)2
1000×1000×1200×800
≈333.33>10.828，
故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关． (2)表
2中的数据整理如下， ∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)． (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟， 当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；
当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤45
0.2t +16.4,45<t ≤60
，
当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：
当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．
【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；
(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．
本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)设Q(x,y)，y ≠0，∵
|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|，
∴|PF 1|=4=|QF 1|+|QF 2|>|F 1F 2|=2 ∴点Q 为焦点在x 轴上，长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆上的点，且b 2=4−1=3，∴点Q 的轨迹E 的方程为
x 24
+
y 23
=1(y ≠0)；
(Ⅱ)设直线MN 的方程为x =ky +1，联立{x =ky +1x 24
+y 23
=1
可得
(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−6k
3k 2+4，y 1y 2=−9
3k 2+4． ∵|MN|=√1+
k 2
×√(y 1+y 2
)2
−4y 1y 2=
12(k 2+1)3k 2+4
，点F 2到直线MN 的距离d =2
√1+k 2，
∴S △MNF 2=12|MN|⋅d =
12√k 2+1
3k 2+4
，令√k 2
+1=t ≥1，则S △MNF 2=12t
3t 2+1=
12
3(t+13t
)
在[1,+∞)上单调递减，故当t =1也即k =0时，△F 2MN 面积的最大值为3．
【解析】(Ⅰ)先设点Q 的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；
(Ⅱ)先设出直线MN 的方程与椭圆方程联立求得y 1+y 2=−6k
3k 2+4，y 1y 2=−9
3k 2+4，进而求得|MN|与点F 2到直线MN 的距离d ，找出△F 2MN 面积的表达式，最后解决其最值问题． 本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，
故f′(e)=2e ，
而f(e)=e 2−1
2e 2=1
2e 2，
故所求切线方程为y −1
2e 2=2e(x −e)，即y =2ex −3
2e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −1
2x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，
显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a
2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a
2)=−
a 24ln a 2
+3
8
a 2，
所以ℎ′(a)=−12a(ln a
2−1)，
令ℎ′(a)=−1
2a(ln a
2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：
所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22
．
【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a
2)=−
a 24
ln a 2+3
8a 2，
讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．
本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C的普通方程为x2+(y−3)2=9，即x2+y2−6y=0，整理可得：ρ2=6ρsinα，
故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinα，
设N(ρ,φ)，则M(ρ,φ−π
2
)，
则有ρ=6sin(φ−π
2
)=−6cosφ，
故点N的轨迹C′的极坐标方程为ρ=−6cosφ．
(Ⅱ)曲线y=−√3
3x(y>0)的极坐标方程为θ=5π
6
(ρ>0)，D到曲线θ=5π
6
的距离为d=
6sinπ
6
=3，
曲线θ=5π
6与曲线C交点A(3,5π
6
)，
曲线θ=5π
6与曲线C′交点B(3√3,5π
6
)，
∴|AB|=3√3−3，
故△ABD的面积S=1
2×|AB|×d=9√3−9
2
．
【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x−1|+|3x+5|>8，
当x<−5
3
时，原式化为1−x−3x−5>8，
解得x<−3，故x<−3，
当−5
3
≤x≤1时，原式化为1−x+3x+5>8，
解得x>1，故无解，
当x>1时，原式化为x−1+3x+5>8，
解得x>1，故x>1，
综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)．
(Ⅱ)依题意，|x−1|+|3x+5|+m≤2x2+|3x+5|，
则|x −1|≤2x 2−m ，
即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ， 即{2x 2+x −(m +1)≥02x 2−x +(1−m)≥0
， 则只需{1+8(m +1)≤01−8(1−m)≤0，解得m ≤−9
8，
∴实数m 的取值范围是(−∞,−9
8]．
【解析】(Ⅰ)依题意，|x −1|+|3x +5|>8，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
(Ⅱ)依题意可得|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。