2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第12章 选4系列 12.2 参数方程

12.2
　参数方程
[知识梳理]
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程点的
轨迹
普通方程参数方程直线
y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2
Error!(θ为参数)椭圆
＋＝1(a >
x 2a 2y 2
b 2b >0)Error!(φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)
的距离．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)直线Error!(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )
(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点
M (x ，y )为终点的有向线段的数量．( )
M 0M → (3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应
参数t ＝，点O 为原点，则直线OM 的斜率为.( )
π
33答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．教材衍化
(1)(选修A4－4P 39T 1)直线Error!(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于( )
A. B. C. D.12
512559259105
答案　B
解析　直线的普通方程为x －2y ＋3＝0.
圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3.
∴圆心到直线的距离d ＝＝.3
5355∴弦长为2＝.故选B.
r 2－d 2125
5(2)(选修A4－4P 24例2)已知点(x ，y )满足曲线方程Error!(θ为参
数)，则的最小值是( )
y x A. B. C. D ．13
2323答案　D
解析　曲线方程Error!(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y －6)2＝
2，
∴曲线是以C (4,6)为圆心，以为半径的圆，
2∴是原点和圆上的点的连线的斜率，
y
x 如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，取最小值，设y
x 过原点的切线方程为y ＝kx ，
则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离：
d ＝＝，即7k 2－24k ＋17＝0，
|4k －6|
k 2＋12解得k ＝1或k ＝，
17
7∴的最小值是1.故选D.
y
x
3．小题热身
(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. B ．2 C. D ．2141422
答案　D
解析　由Error!消去t ，得x －y －4＝0，
由ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)
2＋y 2＝4，∴C (2,0)，r ＝2.
∴点C 到直线l 的距离d ＝＝，|2－0－4|22∴所求弦长＝2＝2.故选D.
r 2－d 22(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为
ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为Error!(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
答案　25
解析　直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.
由Error!得x 2＝，即x ＝±，
122
2则|AB |＝|x A －x B |＝×＝2
.1＋k 2AB
1＋3225题型1　参数方程与普通方程的互化
(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：＋＝1，直线典例x 24y 29l ：Error!(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |
的最大值与最小值．
(1)用公式法，代入消参法；(2)过P 作PH ⊥l ，垂足为
H ，当|PH |最长时，|PA |取最大值．
解　(1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝
0.
(2)曲线C 上任意一点
P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
55则|PA |＝d sin30°
＝|5sin(θ＋α)－6|，255其中α为锐角，且tan α＝.
43
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.255方法技巧
将参数方程化为普通方程的方法
1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．
冲关针对训练
已知直线l 的方程为y ＝x ＋4，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；
(2)若P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值．解　(1)由题知直线l ：y ＝x ＋4，圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，联立Error!
解得Error!或Error!
其对应的极坐标分别为
，.(22，3π4)(4，π2)(2)解法一：设P (2cos θ，2＋2sin θ)，
则d ＝
＝，|2cos θ－2sin θ＋2|2|2cos (θ＋π4)＋2|当cos ＝1时，d 取得最大值2＋.(θ＋π4)2解法二：圆心C (0,2)到直线l 的距离为＝，圆的半径为2，|2|22所以点P 到直线l 的距离d 的最大值为2＋.
2题型2　参数方程的应用
(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数典例方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与
l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a .
17(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类
讨论思想求解．解　(1)曲线C 的普通方程为＋y 2＝1.
x 2
9当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由Error!
解得Error!或Error!
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，.(－2125，2425)
(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点
(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝
.
|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17当a ≥－4时，d 的最大值为.a ＋9
17
由题设得＝，所以a ＝8；
a ＋9
1717当a ＜－4时，d 的最大值为
.
－a ＋117由题设得＝，
－a ＋1
1717所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
方法技巧
直线的参数方程在交点问题中的应用
1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则||||＝|t 1t 2|，||＝|t 2－t 1|＝.
M 0M 1→ M 0M 2→ M 1M 2→ (t 2＋t 1)2－4t 1t 22．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别
为t 1，t 2，t 3，则t 3＝
.t 1＋t 2
23．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.
提醒：对于形如Error!(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．冲关针对训练
(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ·sin 2θ＝2cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．
解　(1)由ρ·sin 2θ＝2cos θ，得
(ρsin θ)2＝2ρcos θ，即y 2＝2x .
∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .
(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得
t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则
t 1＋t 2＝，t 1t 2＝－，
2cos αsin2α1
sin2α∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝，(2cos αsin2α)2＋4
sin2
α2
sin2α当α＝时，|AB |的最小值为2.π
21．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
解　(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
Error!
若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.
a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，
所以a ＝1.
2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C 的普通方程；
(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin
＝5，射线OM ：θ＝与(θ＋π6)3π6圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
解　(1)因为圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.
(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，
得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
设P (ρ1，θ1)，则由Error!解得ρ1＝2，θ1＝.
π
6设Q (ρ2，θ2)，
则由Error!
解得ρ2＝
5，θ2＝.
π
6所以|PQ |＝3.
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1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)当0<α<时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．
π2解　(1)C 1的普通方程为＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为
x 22ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝，2
1＋sin2α联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α，
则|OA |2＋|OB |2＝＋4sin 2α＝＋4(1＋sin 2α)－4，
2
1＋sin2α21＋sin2α令t ＝1＋sin 2α，
则|OA |2＋|OB |2＝＋4t －4，当0<α<时，t ∈(1,2)．设f (t )2t π2＝＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，
2t ∴|OA |2＋|OB |2∈(2,5)．
2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B
两点，并且|PA |·|PB |＝，求tan α的值．
283解　(1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得
ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，
由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .
经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．
所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .
(2)将Error!代入y 2＝4x ，
得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0，
因为P (2,1)在直线l 上，
所以|t 1t 2|＝＝，所以sin 2α＝，α＝或α＝，即|－7sin2α|28334π32π3tan α＝或tan α＝－.
333．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：
Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．
(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ π
2的中点M 到直线C 3：Error!(t 为参数)距离的最小值．
解　(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：＋＝1，x 264y 2
9C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，
π
2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)
又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离
d ＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|5555＝|5sin(θ－φ)＋13|，55(其中φ满足tan φ＝43)所以d 的最小值为.85
54．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)．
(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；
(2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，求a 的3值．
解　(1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.
∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.
令y ＝t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－t ＋2得4
535x ＝2.∴M (2,0)．
∴|MC |＝＝.
22＋125∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝＋1.
5(2)由ρ＝a sin θ得ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是
x 2＋y 2＝ay ，即x 2＋2＝.(y －a 2)a 2
4∴圆C 的圆心为C ，半径为，(0，a 2)|a 2|直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.
∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，
3∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半．
＝，解得a ＝32或a ＝.
|3a
2－8|42＋32|a 4|32115．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝，求直线14的倾斜角α的值．
解　(1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ，
∴x 2＋y 2＝4x ，
∴(x －2)2＋y 2＝4.
(2)将Error!代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，
化简得t 2－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则Error!
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝，(t 1＋t 2)2－4t 1t 24cos2α＋12∵|AB |＝，
14∴ ＝.
4cos2α＋1214∴cos α＝±.2
2∵α∈[0，π)，
∴α＝或α＝.
π43π
4
∴直线的倾斜角α＝或α＝.
π43π46．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐
标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝.(θ－π4)2(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；
(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.
解　(1)由Error!消去参数α得＋y 2＝1，
x 2
9即C 的普通方程为＋y 2＝1.
x 2
9由ρsin ＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)(θ－π4)
2将Error!代入(*)，化简得y ＝x ＋2，
所以直线l 的倾斜角为.
π
4(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，即Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1并化简，得5t 2＋18t ＋27＝0，
x 2
92Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，
2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－<0，t 1t 2＝>0，
182527
5所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝.182
5。