四川省自贡市市蜀光中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省自贡市市蜀光中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）
D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）
参考答案：
D
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．
【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．
【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．
又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．
故选D．
2. 某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是（）
A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
参考答案：
D
【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为.
观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.
对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；
对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；
对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.
【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
3. 已知命题，则是( )
A．
B．
C．
D．
参考答案：
【知识点】命题的否定． A3
【答案解析】C 解析：命题p：x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故?p：x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
故选C
【思路点拨】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项.
4. 设动直线与函数的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为
A． B． C． D．
参考答案：
A
，令，当时，；当时，；当时，有极小值也有极大值，即
故选A
5. 如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为（） A． B． C． D．2
参考答案：
A
略6. 设集合，C={（x，y）
|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，则实数λ的取值范围是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；
结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠?，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．
【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；
集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；
集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，
如下图所示：
若（A∪B）∩C≠?，则菱形与A或B圆有交点，
当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，
由d==得：λ=2；
当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；
当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，
由d==得：λ=6，
故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；
综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．
故选：A．
7. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
（）
A. .0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
参考答案：
C
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
8. 在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条
件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
试题分析：由题设条件可知中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则的积必为负数,即是必要条件,应选答案A.
考点：解三角形．
【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.
9. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）
A.4
B.3
C.2
D.1
参考答案：
C
略
10. 长方体的长、宽、高分别为3、2、1，从A到沿长方体的表面的最短距离为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的前
上，则数列 .
参考答案：
由题意可得：
12. （几何证明选讲选做题）如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。

ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。

参考答案：
答案：
；3。

解析：由Rt ACB 的各边的长度关系知∠CAB= 30, 而弦切角∠BC =∠CAB= 30。

那么在Rt ADC 中∠ACD=60，故∠DAC=30。

注意到OC ⊥，从而有EAOC 为菱形，故AE=3。

13. 已知集合
,
，若
，则
▲ ．
参考答案：
4 因为
，所以或。

若，则
,
，满足。

若
，则
,
，不满足
，所以。

14.
设函数，若时，恒成立，
则实数m 的取值范围是
参考答案： (－∞，1) 略
15. 设，且满足，则
．
参考答案：
16. 已知数列
中，
，则数列
的前2018项的和为 ．
参考答案：
17. 在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则3a 9―a 11的值为_ ▲ __．
参考答案：
48
，
，即
，
，
故答案为：48.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题12分）已知函数(
)
当a=2时，求在区间[e ，e 2]上的最大值和最小值； (2)如果函数
、
、
在公共定义域D 上，满足
<
<
，那么就称
为
、的“伴随函数”．已知函数，
，若在区间（1，+∞）上，函数是、的“伴随函数”，求a 的取
值范围。

参考答案：
（Ⅰ）当a=2时，，则
当x∈[e，e2]时，，即此时函数单调递增，
∴的最大值为f（e2）=4e4+lne2=2+4e4，
最小值为f（e）=2e2+lne=1+2e2．---------4分
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数是、的“伴随函数”，
即<<，令在（1，+∞）上恒成立，
在（1，+∞）上恒成立，
因为
①若，由得
当，即时，在（x2，+∞）上，有，此时函数单调递增，并且在该区间上有，不合题意．
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知在区间（1，+∞）上，有，不合题意．
②若a≤，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上，有p'（x）＜0，此时函数p（x）单调递减，要使p（x）＜0恒成立，只需要满足，即可
此时，--------9分
又，则h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h （x）＜h（1）=，所以--------11分
即a的取值范围是。

--------12分
19. 选修4—2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值
的一个特征向量为．求矩阵A．
参考答案：
由特征值、特征向量定义可知，A，
即，得………5分
同理可得解得．因此矩阵A．……10分
略
20. 已知数列{a n}前n项和为S n，a1=1，满足S n=2a n+1+n，n∈N*，则求数列{a n}的通项公式．
参考答案：
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知数列递推式求出a2，再把数列递推式变形后可得数列{a n+1}从第二项起，构成以1为
首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得答案．
【解答】解：由S n=2a n+1+n，①得
S n+1=2a n+2+n+1，②
②﹣①得a n+1=2a n+2﹣2a n+1+1，
即，
∴，
∵a1=1，∴，
则a2+1=1≠0．
∴数列{a n+1}从第二项起，构成以1为首项，以为公比的等比数列．
则当n≥2时，=，
即（n≥2）．
验证n=1上式不成立．
∴．
【点评】本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．
21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，右焦点到直线
的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线上，求
△OAB的面积S的最大值(其中O为坐标原点) ．
参考答案：22. 设函数，
（1）求证：；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案：
（1）见解析，（2）．
（1）要证明，即，又因为，
也就是要证明，即，
下面证明恒成立，····································1分令，
，令，得
，·························3分
可知：在上递增，在上递减，
所以，
即
证．···························································5分
（2）当时，恒成立，
，即，
令，，
，
令，所以，··············6分
①当时，
．······························12分恒成立，所以在上递增，
，
所以在上递增，
所以，
所以不符合题
意．·······································
··8分
②当时，，
当时，，递增，
，
从而在上递增，
所以，
所以不符合题
意．·····································10分
③当时，，
恒成立，所以在上递减，
，
所以在上递减，
所以，
所以符合题意．
综上所述：的取值范围是。