14.轴对称变换

14．2 轴对称变换
1、轴对称变换定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

2、轴对称变换的性质：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线a对称的图形，这个图形与原图形的形状大小完全一样。

(2)新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线a的对称点。

（3）连接任意一对对应点线段被对称轴垂直平分。

3、作法：
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

（3）轴对称变换的基础和关键是“作一点关于某直线对称的对称点”。

4、注意（1）成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到。

（2）一个轴对称图形也可以看作由它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。

5、利用轴对称变换求解最值问题：
6、关于坐标轴对称的点的坐标的特点：
（1）关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数。

（2）关于y轴对称的点的坐标横纵坐标不变，横坐标互为相反数。

简记为：“以谁为轴谁的坐标不变，另一坐标互为相反数。

”
7、关于直线x=a对称的图形，对应点的坐标纵坐标不变，横坐标和的一半等于a.
关于直线y=a对称的图形，对应点的坐标横坐标不变，纵坐标和的一半等于a.
练习：
1、由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做（）。

2、点（-2，3）在第（）象限，电（2，-3）在第（）象限，点（-2，-3）在第（）象限，点（2，3）在第（）象限，点（0，-2）在（），点（-2，0）在（），点（0，0）在（）。

3、点（-2，1）关于x轴对称点的坐标是（），关于y轴的对称点的坐标是（），点（0，-1）关于x轴对称点的坐标是（），关于y轴的对称点的坐标是（）.
4、（）与（-2，-1）关于x轴对称，（）与（-2，-3）关于y轴对称。

5点（-2，-2）与（-2，2）关于（）对称，点（0，-3）与（0，3）关于（）对称。

6、已知点p1(a,3)和点p2(-2,,b)关于y轴对称，则a=（），b=（），若关于x轴对称，则a=（），b=（）.
7、已知点P(x,y)，Q(m,n),如果x+m=0,y+n=0,那么点P,Q关于（）对称。

8、已知△ABC的三个顶点坐标分别为：A(1,2),B(-1,-2),C(2,3),写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的顶点坐标为（），关于y轴对称的△A2B2C2的顶点坐标为（）.
9、点（5，6）关于x轴的对称点的坐标是（）。

10、点（a，b）关于x轴的对称点关于y轴对称的点的坐标是（）。

12．3等腰三角形
1、等腰三角形的有关概念
（1）定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形。

相等的两条边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫底角。

（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫等边三角形。

（正三角形）
等边三角形的三边都可是腰或是底，每个角都可是顶角或是底角。

注意：①等边三角形是特殊的等腰三角形，可以把等边三角形看作以任意相邻两边为腰的等腰三角形。

②对于等腰三角形来说，我们一般说边或角时都说明是腰还是底边，是底角还是顶角，如果题中没有说明，必须分类讨论。

③等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角中的一个，而底角只能是锐角。

因此，要画等腰三角形时必须注意底角的大小。

④指明一个三角形是等腰三角形时必须说明哪两边相等，否则要分类讨论。

2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两腰相等。

（2）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。

格式：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（4）等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，每条边上的中线（每个角平分线、每条边边上的高）所在的直线都是它的对称轴。

（5）等腰三角形中应了解的性质：①等腰三角形两腰上的高相等②等腰三角形两腰上的中线相等。

③等腰三角形两底角的平分线相等。

④等腰三角形底边高上的任意一点到两腰的距离相等。

（6）等边三角形的性质：①等边三角形的三边相等②等边三角形的三个角相等，都是60°。

③等边三角形有三条对称轴。

④等边三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线交于同一点。

（7）直角三角形的性质：①等腰直角三角形的斜边也叫底边，两直角边也叫腰，直角也叫顶角。

②直角三角形的两锐角互余。

③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。

3、等腰三角形的判定：
（1）两边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

4、等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5、分类讨论法在等腰三角形中的应用：在等腰三角形中不指明腰、底、顶角等，就需要分类讨论。