巧用待定系数法求二次函数的解析式

数学
篇解法荟萃
求二次函数的解析式是中考中常考的内容，我们通常采用待定系数法求解.利用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是设、代、解、列，即先设出适当形式的解析式，再代入条件，得到有关待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组求出待定系数，最后列出解析式即可.那么如何根据抛物线的特征设出适当形式的函数关系式呢？这就需要同学们开动脑筋，拓展思路，根据题目的特点灵活选择解析式的形式.
一、设一般式求函数的解析式
若题目已知二次函数图象上的三个点的
坐标，可以设一般式y =ax 2
+bx +c (a ≠0)求其解析式.方法是把三个点的坐标分别代入一般式中，构造关于a ,b ,c 的三元一次方程组，
解方程组即可得到a 、b 、c 的值，从而求得正
确的函数解析式.
例1已知二次函数图像经过了D
（-1，-10）、E （1，0）、F （3，18）三个坐标点，求解其函数解析式.
解：设此二次函数解析式为y =ax 2+bx +c
（a≠0），
将D 、
E 、
F 的坐标代入可得ìíîï
ï
-10=a -b +c ,0=a +b +c ,18=9a +3b +c ,解方程组得ìíîï
ï
a =1,
b -5,
c =-6,
由此可得，此二次函数的解析式为：
y =x 2+5x -6.
评注：若所给抛物线上三个点不是特殊点(即顶点、与x 轴的交点)，常设一般式求解；若已知抛物线经过原点时，则可直接设其解析式为y =ax 2+bx ；若已知抛物线的对称轴是y 轴，则可直接设其解析式为y =ax 2+c .二、设顶点式求函数的解析式
当已知函数图象的对称轴或者最值以及顶点坐标时，可以设顶点式求函数解析式.当顶点在坐标原点，即顶点为(0，0)时，可设y =ax 2(a ≠0)求函数的解析式；当顶点在y 轴上，即顶点为(0，k )时，可设y =ax 2+k (a ≠0)求函数的解析式；当顶点在x 轴上，即顶点为(h ，0)时，可设y =a (x -h )2(a ≠0)求函数的解析式；
当顶点不在坐标轴上，即h 、k 都不为0时，可设y =a (x -h )2+k (a ≠0)求函数的解析式.设定解析式后，先将顶点坐标或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入其中求出a 的值，即可得到抛物线的解析式.
例2已知二次函数的顶点坐标为
（4，-2），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式.
分析：已知二次函数的顶点坐标，可用顶
点式来设抛物线的解析式，再将点（5，1）代入，即可求出二次函数的解析式．
解：设此二次函数的解析式为y =a (x -4）2
-2；
∵二次函数图象经过点（5，1），∴a (5-4)2-2＝1，解得a =3，
∴y =3(x -4)2-2=3x 2-24x +46．
巧用待定系数法求二次函数的解析式
甘肃省兰州市榆中县第六中学高艳
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数学篇例3已知抛物线的顶点为
（3，-2），且与x 轴有两个交点，两交点间距离为4，求此二次函数解析式.
分析：因为抛物线的顶点为（3，-2），且与
x 轴有两个交点，两交点间距离为4，所以抛
物线的对称轴是直线x =3，可设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式．
解：∵抛物线与x 轴的两交点间的距离为4，且顶点坐标为（3，-2），
∴抛物线的对称轴是直线x =3，抛物线与x 轴的两交点的坐标是（1，0）和（5，0），
设抛物线解析式为y =a (x -3)2
-2，
将点（1，0）代入得a =12
，
∴抛物线解析式为y =12x 2-3x +52
．
评注：设顶点式求解二次函数解析式，需
要确定其顶点坐标的具体数值，只要知道了顶点坐标h 和k 的取值，那么在运算过程中只需求出a 的值，就能够得到二次函数的解析式.
三、设交点式求函数的解析式
若已知二次函数图象与x 轴的两个交点
的坐标为A (x 1,0)、
B (x 2,0)以及另一个点坐标，可以设交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)求其解析式.将抛物线与x 轴两个交点的横坐标代入交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)，然后再将抛物线上另一点的坐标代入其中求出a ，最后将交点式化为一般式的形式即可.
例3二次函数的图象过点A
（3，0），B （-1，0）且与y 轴的交点为C （0，6）．求此二次函数的解析式.
分析：由题意可设所求二次函数的解析式为y =a (x -3)(x +1)，将点C （0，6）代入所设解析式求出a 的值，即可求得所求二次函数的解析式；
2∴可设其解析式为：
y =a (x -3)(x +1)，又∵其图象过点（0，6），
∴6=a （0-3）（0+1），解得a =-2，∴所求二次函数的解析式为：
y =-2(x -3)(x +1)，即y =-2x 2+4x +6；
评注：若已知二次函数y=ax 2+bx +c （a 不
等于零）和x 轴相交的坐标点分别为A （x 1,0）
和B （x 2,0），那必然存在ax 2
1+bx 2+c =0，
即x 1和x 2是一元二次方程的两个根，ax 2+bx +c =
a (x -x 1)(x -x 2).由此将其解析式设为交点式来求解更加方便.
总之，在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．只有选择最合适的解题方式才能让我们的解题更加高效.
上期《<相似>拓展精练》参考答案1.D ；2.D ；3.D ；4.D ；5.32
；6.5；
7.3或65或545；8.16；
9.证明过程略．
10.解：由题意得：
∠ABD =∠DEO =∠NPO =90°，PM =PN =4.6，BD ∥OE ，∴∠ADB =∠DOE ，∴△ADB ∽△DOE ，∴AB BD =DE EO ，∴1.53=0.6EO ，解得：
EO =1.2，∵∠DOE =∠NOP ，∴△DEO ∽△NPO ，∴DE EO =NP PO ，∴0.61.2=4.6PO ，解得：
PO =9.2，解法荟萃。