江西三校生单招对口升学数学总复习资料第十章概论与统计
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基础实战
巩固练习
提升进阶
§第四节 统 计
知识清单
知识点一 总体、样本、抽样方法
1.总体与样本
在统计中，所研究对象的全体称为总体，组成总体的每个对象称为个体.被抽取出来的 个体集合称为总体的样本，样本所含个体的数目称为样本容量.
2.抽样方法
（1）简单随机抽样：抽签法是最常用的简单随机抽样方法. （2）系统抽样又称等距抽样（或机械抽样），这种抽样方法是对研究的总体中的个体 按一定规则编号，然后按相等距离或间隔抽取个体组成样本. （3）分层抽样又称类型抽样，这种抽样方法是在抽样之前将总体分成互不交叉的若干 层（类），然后再从各层中独立抽取一定数量的个体组成样本.
命题探究
本章内容在历年真题中题目的数量基本保持在3~4道， 其分值比例约占13%.主要涉及的知识有随机事件的概率、样 本的统计、排列数、组合数和二项式定理的应用等.
知识结构
第一节 排列与组合 第二节 二项式定理 第三节 概率 第四节 统计
目录
§第一节 排列与组合
知识清单
知识点一 两个计数原理
（3）在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件. （4）在一定条件下，肯定不会发生的事件称为不可能事件.
知识清单
知识点一 随机事件和概率
2.事件的关系与运算
（1）和事件（并事件）：“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，称为事件A与事件B的 和（或并），记作A+B（或A∪B）.
（2）积事件（交事件）：“事件A与事件B同时发生”这一事件，称为事件A与事件B的积（或 交），记作AB（或A∩B）.
则P（AB）=P（A）P（B）.
知识清单 知识点二 随机变量
知识清单
知识点二 随机变量
2.随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量取值带有随机性，并且取这些 值的概率是确定的，那么这个变量称为随机变量.
3.离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列出，这样的随机变量称为离散型随机变量，一般用希腊 字母ξ，η等表示（或用大写字母X，Y等表示）.
知识清单
知识点二 排列与组合的基本知识
3. 解决排列与组合问题的常见方法
（5）分排问题直排处理:分若干排的问题可按一排处理. （6）同元分组问题“隔板法”:各个元素不加区别，用隔板插入计算分组情况数. （7）对于排列与组合综合问题，需先分组后排列：对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据 结果要求，先分为不同的类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.
知识清单 知识点二 随机变量
4.离散型随机变量的概率分布列
知识清单 知识点二 随机变量
7.二项分布
知识清单 知识点二 随机变量
4.离散型随机变量的概率分布列
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例
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例
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（3）对立事件的概率：若事件A的对立事件为 A ，则P（A） =1-P（A）.
知识清单
知识点一 随机事件和概率
7.相互独立事件
（1）若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，则称事件A与 B相互独立.
（2）若事件A与B相互独立，则A与 A ， B 与B， A 与 B 都
相互独立. （3）相互独立事件的概率乘法公式：若事件A与B相互独立，
做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的 方法，……，第n步有mn种不同的方法，必须经过每一个步骤才能完成这件事，那么完成这 件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.
知识清单
知识点一 角的概念的推广
3.对两个原理的理解
相同点：都是求完成一件事情有多少种方法的问题. 不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都 可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完 成了，这件事才算完成.即“类”间相互独立，“步”间相互联系. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一的应用分类计数原理或分步计数原理，有 时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步 可能会采取分类的思想求方法数.对于同一件事，我们可以做不同的处理，从而得到不同的 解法.
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§第三节 概 率
知识清单
知识点一 随机事件和概率
1.随机试验与随机事件
（1）随机试验：在相同条件下，使用试验和观察的方法来研究 随机现象，试验和观察可以重复进行，事先可以预测到可能会发生的 各种结果，但是无法预测发生的确切结果，这类试验和观察称为随机 试验.
（2）随机试验的一切结果的子集称为随机事件，用大写英文字 母A，B等表示.
1. 分类计数原理（加法原理）
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法 中有m2种不同的方法，……,在第n类办法中有mn种不同的方法，无论通过哪类办法的哪种方 法，都可以独立完成这件事，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.
2.分步计数原理（乘法原理）
（3）互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥
∅ （或事件A与事件B互不相容），记为AB= .
∅ （4）对立事件：若事件A与事件B不可能同时发生但必有一个会发生（即AB= ，A+B=Ω），
则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为 A .
知识清单
知识点一 随机事件和概率
第十章 概率与统计
考纲要求
1.掌握分类计数原理与分步计数原理. 2.理解排列与组合的意义，理解排列数、组合数的计算公式 和组合数的性质，了解二项式定理及二项式系数的性质. 3.理解随机现象和概率的统计定义，了解基本事件、样本空 间，理解古典概率的定义和性质，了解离散型随机变量及其 分布列. 4.了解总体、样本和简单随机抽样，了解系统抽样和分层抽 样，会列频率分布表，会画频率分布直方图，会计算数据均 值和标准差，能用样本均值、标准差估计总体均值、标准差.
知识清单 知识点二 排列与组合的基本知识
1.排列
知识清单 知识点二 排列与组合的基本知识
2.组合
知识清单
知识点二 排列与组合的基本知识
3. 解决排列与组合问题的常见方法
（1）相邻问题“捆绑法”:将必须相邻的元素捆绑在一起，当作一个元素进行排列. （2）不相邻问题“插空法”:先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排 列好的元素形成的空中（注意两端）. （3）特殊元素或特殊位置优先安排:优先安排特殊的某些元素或某些特殊位置. （4）“间接法”:如果一个问题直接考虑比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”，即 正难则反.
知识清单 知识点二 用样本估计总体
2.用样本均值、样本方差、样本标准差估计总体
（2）样本均值（样本平均数）反映总体的平均水平.样本方差和标准差反映了样本数 据相对平均数的稳定程度，即方差与标准差反映样本和总体的波动情况.方差越小，波动越 小，个体之间的差异也越小；方差越大，波动越大，个体之间的差异也越大.方差的单位是 原数据单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在实际应用中我们常选用标准差.
6.概率的运算公式
（1）基本事件：只含一个试验结果的事件称为基本事件. （2）复合事件：含有两个或两个以上基本事件的事件称为复合 事件. （1）互斥事件的概率加法公式：若事件A与B互斥，则P（A+B） =P（A）+P（B）. （2）概率的一般加法公式：若事件A与B不互斥，则P（A+B） =P（A）+P（B）- P（AB）.
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§第二节 二项式定理
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知识点二 用样本估计总体
1.用样本的频率分布估计总体
（1）选择恰当的抽样方法得到样本数据. （2）确定数据最大值和最小值，确定组距和组数，确定分点并列出频率分布表. （3）绘制频率分布直方图. 画直方图的步骤：①得到样本数据；②分组；③列频率分布表（分组、频数、频率）； ④计算频率与组距的比；⑤画出频率分布直方图（横轴表示数据分组情况，纵轴表示频率 与组距之比）. （4）观察频率分布表和频率分布直方图，根据样本的频率分布估计总体中某事件发生 的概率. 各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积和等于1.
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§第四节 统 计
知识清单
知识点一 总体、样本、抽样方法
1.总体与样本
在统计中，所研究对象的全体称为总体，组成总体的每个对象称为个体.被抽取出来的 个体集合称为总体的样本，样本所含个体的数目称为样本容量.
2.抽样方法
（1）简单随机抽样：抽签法是最常用的简单随机抽样方法. （2）系统抽样又称等距抽样（或机械抽样），这种抽样方法是对研究的总体中的个体 按一定规则编号，然后按相等距离或间隔抽取个体组成样本. （3）分层抽样又称类型抽样，这种抽样方法是在抽样之前将总体分成互不交叉的若干 层（类），然后再从各层中独立抽取一定数量的个体组成样本.
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本章内容在历年真题中题目的数量基本保持在3~4道， 其分值比例约占13%.主要涉及的知识有随机事件的概率、样 本的统计、排列数、组合数和二项式定理的应用等.
知识结构
第一节 排列与组合 第二节 二项式定理 第三节 概率 第四节 统计
目录
§第一节 排列与组合
知识清单
知识点一 两个计数原理
（3）在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件. （4）在一定条件下，肯定不会发生的事件称为不可能事件.
知识清单
知识点一 随机事件和概率
2.事件的关系与运算
（1）和事件（并事件）：“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，称为事件A与事件B的 和（或并），记作A+B（或A∪B）.
（2）积事件（交事件）：“事件A与事件B同时发生”这一事件，称为事件A与事件B的积（或 交），记作AB（或A∩B）.
则P（AB）=P（A）P（B）.
知识清单 知识点二 随机变量
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知识点二 随机变量
2.随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量取值带有随机性，并且取这些 值的概率是确定的，那么这个变量称为随机变量.
3.离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列出，这样的随机变量称为离散型随机变量，一般用希腊 字母ξ，η等表示（或用大写字母X，Y等表示）.
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知识点二 排列与组合的基本知识
3. 解决排列与组合问题的常见方法
（5）分排问题直排处理:分若干排的问题可按一排处理. （6）同元分组问题“隔板法”:各个元素不加区别，用隔板插入计算分组情况数. （7）对于排列与组合综合问题，需先分组后排列：对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据 结果要求，先分为不同的类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.
知识清单 知识点二 随机变量
4.离散型随机变量的概率分布列
知识清单 知识点二 随机变量
7.二项分布
知识清单 知识点二 随机变量
4.离散型随机变量的概率分布列
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（3）对立事件的概率：若事件A的对立事件为 A ，则P（A） =1-P（A）.
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7.相互独立事件
（1）若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，则称事件A与 B相互独立.
（2）若事件A与B相互独立，则A与 A ， B 与B， A 与 B 都
相互独立. （3）相互独立事件的概率乘法公式：若事件A与B相互独立，
做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的 方法，……，第n步有mn种不同的方法，必须经过每一个步骤才能完成这件事，那么完成这 件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.
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知识点一 角的概念的推广
3.对两个原理的理解
相同点：都是求完成一件事情有多少种方法的问题. 不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都 可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完 成了，这件事才算完成.即“类”间相互独立，“步”间相互联系. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一的应用分类计数原理或分步计数原理，有 时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步 可能会采取分类的思想求方法数.对于同一件事，我们可以做不同的处理，从而得到不同的 解法.
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§第三节 概 率
知识清单
知识点一 随机事件和概率
1.随机试验与随机事件
（1）随机试验：在相同条件下，使用试验和观察的方法来研究 随机现象，试验和观察可以重复进行，事先可以预测到可能会发生的 各种结果，但是无法预测发生的确切结果，这类试验和观察称为随机 试验.
（2）随机试验的一切结果的子集称为随机事件，用大写英文字 母A，B等表示.
1. 分类计数原理（加法原理）
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法 中有m2种不同的方法，……,在第n类办法中有mn种不同的方法，无论通过哪类办法的哪种方 法，都可以独立完成这件事，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.
2.分步计数原理（乘法原理）
（3）互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥
∅ （或事件A与事件B互不相容），记为AB= .
∅ （4）对立事件：若事件A与事件B不可能同时发生但必有一个会发生（即AB= ，A+B=Ω），
则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为 A .
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知识点一 随机事件和概率
第十章 概率与统计
考纲要求
1.掌握分类计数原理与分步计数原理. 2.理解排列与组合的意义，理解排列数、组合数的计算公式 和组合数的性质，了解二项式定理及二项式系数的性质. 3.理解随机现象和概率的统计定义，了解基本事件、样本空 间，理解古典概率的定义和性质，了解离散型随机变量及其 分布列. 4.了解总体、样本和简单随机抽样，了解系统抽样和分层抽 样，会列频率分布表，会画频率分布直方图，会计算数据均 值和标准差，能用样本均值、标准差估计总体均值、标准差.
知识清单 知识点二 排列与组合的基本知识
1.排列
知识清单 知识点二 排列与组合的基本知识
2.组合
知识清单
知识点二 排列与组合的基本知识
3. 解决排列与组合问题的常见方法
（1）相邻问题“捆绑法”:将必须相邻的元素捆绑在一起，当作一个元素进行排列. （2）不相邻问题“插空法”:先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排 列好的元素形成的空中（注意两端）. （3）特殊元素或特殊位置优先安排:优先安排特殊的某些元素或某些特殊位置. （4）“间接法”:如果一个问题直接考虑比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”，即 正难则反.
知识清单 知识点二 用样本估计总体
2.用样本均值、样本方差、样本标准差估计总体
（2）样本均值（样本平均数）反映总体的平均水平.样本方差和标准差反映了样本数 据相对平均数的稳定程度，即方差与标准差反映样本和总体的波动情况.方差越小，波动越 小，个体之间的差异也越小；方差越大，波动越大，个体之间的差异也越大.方差的单位是 原数据单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在实际应用中我们常选用标准差.
6.概率的运算公式
（1）基本事件：只含一个试验结果的事件称为基本事件. （2）复合事件：含有两个或两个以上基本事件的事件称为复合 事件. （1）互斥事件的概率加法公式：若事件A与B互斥，则P（A+B） =P（A）+P（B）. （2）概率的一般加法公式：若事件A与B不互斥，则P（A+B） =P（A）+P（B）- P（AB）.
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§第二节 二项式定理
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知识点二 用样本估计总体
1.用样本的频率分布估计总体
（1）选择恰当的抽样方法得到样本数据. （2）确定数据最大值和最小值，确定组距和组数，确定分点并列出频率分布表. （3）绘制频率分布直方图. 画直方图的步骤：①得到样本数据；②分组；③列频率分布表（分组、频数、频率）； ④计算频率与组距的比；⑤画出频率分布直方图（横轴表示数据分组情况，纵轴表示频率 与组距之比）. （4）观察频率分布表和频率分布直方图，根据样本的频率分布估计总体中某事件发生 的概率. 各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积和等于1.
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