空间距离的运算问题1

22. 空间距离的运算问题1
利用传统法求空间距离
1 内容概述
求空间距离是立体几何的一种重要题型. 常见的空间距离有：点到平面的距离、直线到平面的距离、两条异面直线间的距离和两个平行平面间的距离. 用传统方法求空间距离通常有定义法、等积法：
1. 定义法：根据距离定义，直接作出表示距离的线段，再通过解三角形来求得距离.
2. 等积法：用定义法求距离比较困难时，可以用等积法间接求得距离. 等积法又有等面积法和等体积法，其中等面积法可以求得点到直线的距离，而等体积法则可以求点到面的距离. 重要思想方法:
1. 直接法的本质是通过降维方法，化空间问题为平面问题来求解，这是立体几何解题的常用思想方法.
2. 转化、化归思想是求距离的重要思想方法. 求空间距离解题的关键在于利用转化、化归思想，把面面距离和两条异面直线距离化为线面距离，把线面距离化为点面距离，把点面距离化为点线距离再用直接法求得距离，也可以用等积法求出距离.
2 例题示范
例题1如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是
PD 的中点.
（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1AP =
，AD =，三棱锥
P A B D -
的体积4
V =，求A 到平面PBC
的距离.
思路分析：要求点A 到平面PBC 的距离，只要过点A 作平面PBC 的垂线段．由题意PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以
AB BC ⊥，因为AB
PA A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ，
作AH PB ⊥交PB 于H ，由面面垂直性质定理可知AH ⊥平面PBC . 所以AH 长
P
A
B C
D
E
即为A 到平面PBC 的距离. 在PAB Rt ∆中可以通过解直角三角形求出AH ，但这样求解比较麻烦．注意到PAB Rt ∆的两条直角边2
3
,1==AB PA ，在PAB Rt ∆中利用等面积法得到AH PB AB AP S ABP ⋅=⋅=
∆2121
，解得13
PA AB AH PB ⋅== 解：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为
BD 的中点. 又E 为PD 的中点，所以//EO PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面
AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2
）解：由16V PA AB AD AB =
⋅⋅=32AB =. 由题意PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以
AB BC ⊥，因为AB
PA A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ，
作AH PB ⊥交PB 于H ，由面面垂直性质定理可知AH ⊥平面PBC . 所以AH 长即为A 到平面PBC 的距离. 利用等积法，AB PA AH PB S ABP ⋅=⋅=
∆2
1
21
，所以PA AB AH PB ⋅=
=
A 到平面PBC
. 【解后归纳】 求点到平面距离的方法总结：
（1）过已知点作出平面的垂线段是关键. 作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直性质定理作出平面的垂线.
（2）作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.
例题2如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =
，
AD 1=3AA ，E 为CD 上一点，1DE =，
3EC =.
（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EAC 的距离.
思路分析：第（２）题求点1B 到平面
11EAC 的距离，
由于平面是倾斜的，过点1B A
B
C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
很难作出平面11EAC 的垂线或垂面，所以用定义法求距离比较困难．连接E B 1，在三棱锥111C B A E -中，如果把E 看作顶点，不难求出体积
11111111
=3
E A B C A B C V S DD -∆⋅，再变换角度看三棱锥111EC A B -，把1B 看作顶点，把
11EC A ∆看作底面，则点1B 到平面11EAC 的距离可以看作三棱锥111C EA B -的高，求出11EC A S ∆，所以利用等积法就可以求出点1B 到平面11EAC 的距离．
思路分析２：连11D B ，交11C A 于点O ，此时点1D 到平面11EAC 的距离等于点
1B 到平面11EAC 的距离的２倍．连接E D 1，在三棱锥111C D A
E -中，利用等积法111111EC A D C D A E V V --=也可以求得点1B 到平面11EAC 的距离．此时图形相对简单．
解：（1）在直角梯形ABCD 中，可以求得22213BE =+=，
222(42)6BC =+-=，
因为3EC =，所以222EC BE BC =+，所以BE BC ⊥，又因为直四棱柱中，1BE BB ⊥，1
BB BC B =，所以BE ⊥平面11BB C C .
（2）连接E B 1，分别在直角三角形1AA E ，1ECC ，111A D C 中求得1A E =，
111EC AC ==1
1
1
=2A EC S ∆⨯=111
1=22
A B C S ∆⨯=
为111111B A EC E A B C V V --=3=，所以h =
另解：连结11B D ，由1111:1:2A B C D =，可知点1B 到平面11EAC 的距离等于点
1D 到平面11EAC 的距离一半，在三棱锥111E AC D -，由111111E A C D D A EC V V --=，可以求
得点1D 到平面11EAC ，点1B 到平面11EAC 【解后归纳】 求点到平面距离的方法总结：
（1）当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离. （2）用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.
（3）可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关系，化为其他点到平面的距离来求解.
例题3如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，
2AB =，1AD =，11A A =.
（1）证明：直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.
思路分析１：线面平行时，直线上任一点到平面的距离都相等，可以将线面距离转化为点面距离．如果转化为点B 到平面距离，连接1BD ，问题转化为求三棱锥C AD B 1-的高，设点B 到平面1D A C 距离为h ，求出
1111(12)1323D A B C V -
=⨯⨯⨯⨯=，113
32B AD C V h -=⨯⨯，由等积法得11D ABC B AD C V V --=，解得23h =，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.
思路分析２：如果转化为求点1C 到平面1D AC 距离，连接1AC ，问题转化为求三棱锥C AD C 11-的高，设点1C 到平面1D A C 距离为h ，求出
11111(12)1323A D CC V -=⨯⨯⨯⨯=，1113
32C AD C V h -=⨯⨯，由等积法得1111A D CC C AD C V V --=，
解得23h =，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为2
3
.
思路分析３：连接BD ，BD 与AC 交于点O ，BD 被点O 平分，此时点B 到平面1D AC 的距离等于点D 到平面1D AC 的距离，此时图形更加直观，由
11A DD C D AD C V V --=求出距离即可.
解：（1）因为1111ABCD A BC D -是长方体，所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，显然B 不在平面1D AC 上，于是直线1BC 平行于平面1D AC .
（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离可以
转化为点C 到平面1D AC 的距离. 设距离为h ，连结1BD ，在三棱锥1-D ABC 中，
1111
(12)1323
D ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，在1A D C ∆中
，1AC D C ==
，1AD =，故132A D C
S ∆=，所以113
32
B AD
C V h -=⨯⨯. 由11
D ABC B AD C V V --=解得23h =，即直线1BC 到A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
平面1D AC 的距离为
23
. 【解后归纳】 求直线到平面距离的方法总结：
（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解. （2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.
例题4已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.
（1）求异面直线1CC 和AB 的距离； （2）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.
思路分析１：AC BC =，D 为AB 的中点，故
CD ⊥AB . 又直三棱柱中，1CC ⊥ 平面ABC ，所以1CC CD ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB 的距
离为CD 思路分析２：三棱柱111ABC A B C -中，1//CC 1AA ，所以1//CC 平面11A ABB ，所以异面直线的距离可以转化为直线1CC 到平面11A ABB 的距离，继续转化为点C 到平面11A ABB 的距离，再化为点C 到直线AB 的距离5=CD .
解：（1）如图，因AC BC =，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB . 又直三棱柱中，
1CC ⊥ 平面ABC ，所以1CC CD ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB
的距离为
CD 另解：三棱柱111ABC A B C -中，1//CC 平面11A ABB ，所以异面直线的距离可以转化为直线1CC 到平面11A ABB 的距离，继续转化为点C 到平面11A ABB 的距离，再化为点C 到直线AB
（2）由CD AB ⊥，1CD BB ⊥，故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，
1CD DB ⊥，故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角.因1A D 是1AC 在面11A ABB 上的射影，又已知11C AB A ⊥，由三垂线定理的逆定理得11D AB A ⊥，从
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
而11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA ∠=∠，所以1Rt A AD ∆≌11Rt B A A ∆，
因此111
1
AA A B AD AA =，得2111
8A A A DA B =⋅
=，
从而1A D =
11B D A D ==11A DB ∆中，由余弦定理得222111111111
cos 23A D DB A B A DB A D DB +-==⋅.
【解后归纳】 求两条异面直线距离的方法总结：
（1）利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度较大.
（2）过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.
（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，再化为点面距离．
３ 配套练习
1.已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2AB =
，1CC =，
E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）
A.2
B.
D.1
2.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 的中点，点P 在线段E D 1上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 .
3.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点. （1）求点C 到平面11A ABB 的距离； （2）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD C --的平面角的余弦值.
4.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2,BC AD =PAB PAD
∆∆与A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
第3题图
A
A 1
C 1
第2题图
C
都是边长为2的等边三角形. （1）证明：PB CD ⊥；
（2）求点A 到平面PCD 的距离.
5. 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，对角线110B C =，D 是AC 的中点.
（1）求点1B 到直线AC 的距离； （2）求直线1AB 到平面1C BD 的距离．
6．在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒，11,2AB=BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．
A
C
B
A 1
B 1
C 1
第6题图 P C
B A
D
第4题图
A
B
C
A 1
C 1
B 1
D
第5题图。