江苏省宜兴市环科园联盟九年级数学上学期期中试题

江苏省宜兴市环科园联盟九年级数学上学期期中试题
、选择题(本大题共有 10小题，每题3分，共30分•每小题只有一个选项是正确的，请 将正确选项前的字母代号写在答题卷的相应位置上.
1. 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是
2 2
x ( x - 1) =1 D. 3x - 2xy - 5y =0
2. 一元二次方程x 2- x+仁0的根的情况是
C.两个实数根的和与积都等于
1 D
.有两个不相等的实数根
3.
如图，已知O 0的半径为13,弦AB 长为24，则点0到AB 的距离是
( )
A. 6
-6x - 16=0的实数根.则点 P 与O O 的位置关系是
投放单车数量比第一个月多 440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率
A.有两个相等的实数根 B .无实数根
第5题
第7题
2 2
A. x +2x=x - 1
2
B . ax +bx+c=O C
4.已知O 0的半径为r=5，点P 和圆心0之间的距离为
d ,且d 是关于x 的
兀二次方程 x 2
A.在圆上 B .在圆内 C.在圆外
D .不能确定
5.如图，正六边形螺帽的边长是 2cm,这个扳手的开口
B. :-；cm
C.；
cm D. 1cm
a 的值应是
6.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放
1000辆单车, 计划第三个月
为X,则所列方程正确的为
A. 1000 (1+x) 2=1000+440 C. 440 (1+x) 2=1000
B. 1000 (1+x) 2=440
D. 1000 (1+2x) =1000+440
7.如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90，/ B=30 , BC=4cm 以点 C 为圆心，以 2cm 的长为半 径作圆，则O C 与AB 的位置关系是
A.相离
B.相切 C .相交 D .相切或相交
对的圆周角的度数是
的长
C .等于6
D .随P 点位置的变化而变化
如图，△ ABC 中, AE 交BC 于点 D,/ C=Z E ,
AD=4 BC=8 BD DC=5 3,贝U DE 的长等
20
B
17
C 丄
D
3 4
9.如图，O O 的半径是
AB 是O O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且 K OF K 2,则弦AB 所 A. 60° B . 120° .60° 或 120°
D. 30° 或 150° 10.如图，以M ( - 5, 为圆心、 4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是O M 上异于A 、 B 的一动点，直线 PA PB 分别交 y 轴于G D,以CD 为直径的O N 与x 轴交于E 、F ,贝U EF
、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16 分）
11. 已知
V
12. 若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为
第15题
13. 若关于x的一元二
第14题
次方程（k - 1）X2+2X - 2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是_______________________________.
14. 如图AB为O O的直径，PD切O O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD则/ PCA的度
数是_______ .
15. 如图，O 0中，BC为直径，AB切O O于B点，连AC交O O于D,若CD= 2, AB= 3，则
BC= _____________
16. 如图，AC与AB切O O于C B两点，过BC弧上一点D作O 0切线交AC于E,交AB于F,
第16题第17题
第18题
V
17.
如图，平面直角坐标系中，O
A 的圆心在X 轴上，坐标为（a ,
0）,半径为1,直线I
为y=2x - 2，若O A沿x轴向右运动，当O A与直线I有公共点时，点A横坐标a的取值范围是
.
18. 如图，已知P是O O外一点，Q是O O上的动点，线段PQ的中点为M连接OR 0M若
O0的半径为2, 0P= 4，则线段0M勺最小值是 ______________ .
三、解答题(本大题共有10小题，共84分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19. (本题满分12分)解方程：
2
(1) 3y (y- 1) =2 (y - 1) (2) (x - 1) (x+2) =70 (3) 2y - 3=4y
20. (本题满分6分)小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米.请你帮助小玲
2
21. (本题满分6分)关于x的一元二次方程x -( k+3) x+2k+2=0 .
(1 )求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根小于1求k的取值范围.
22. (本题满分8 分)已知O O经过A (- 4, 2 )、B (- 3, 3)、C (- 1 , - 1)、
0(0, 0)四点，一次函数y=-x - 2的图象是直线I，直线I与y轴交于点D.
(1 )在如图的平面直角坐标系中画出直线I，则直线I与O O的交点坐标为___________ ；
(2)若0 O上存在点P,使得△ APD为等腰三角形，则这样的格点P有___________ 个，试写
出其中一个点P坐标为_____________________ .
23. (本题满分6分)如图，四边形ABCD内接于O O, BD是O O
的直径，过点A作O O的切
线AE交CD的延长线于点E, DA平分/ BDE
(1)求证：AE± CD
B
(2)已知AE=4cm CD=6cm 求O O的半径.
第23题
24. (本题满分8分)如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90，/ BAC的平分线BC于点D, E是AC上
一点，DE=DB以D为圆心，DC为半径作O D
(1)求证：AB是O D的切线；
(2)求证：AC+CE=AB
25. (本题满分8分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化
了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的 1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1 )该项绿化工程原计划每天完成多少米2?
(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，
它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图
所示），问人行通道的宽度是多少米?
2Qm
26. （本题满分10分）如图，0是厶ABC内一点，O O与BC相交于F、G两点，且与AB AC 分别
相切于点D、E, DE// BC,连接DF EG.
(1)求证：AB=AC
27. （本题满分10分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：
如图1，在△ ABC和厶ADE中，/ ACB2 AED=90，/ CAB=/ EAD=60，点E, A, C在同一条直线上，连接BD点F是BD的中点，连接EF, CF,试判断△ CEF的形状并说明理由.
问题探究:
(1)小婷同学提出解题思路：先探究△ CEF 的两条边是否相等， 如EF=CF 以下是她的证明
过程
•••/ ACB 2 AED=90 ,
• CF=EF 丄EG
2
请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ① 在图1中作出证明中所描述的辅助线； ② 在证明的括号中填写理由(请在
SAS ASA AAS SSS 中选择).
(2 )在(1)探究结论的基础上，请你帮助小婷求出/ CEF 的度数，并判断厶CEF 的形状.
问题拓展： (3)
如图2,当厶ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接
CE 延长DE 交BC 的延长线于
证明：延长线段 EF 交CB 的延长线于点G.
•••/ BGF=/ DEF.
••• F 是BD 的中点,
又•••/ BFG=z
DFE
• BF=DF •••△ BGF^A DEF(
).
•
EF=FG
• ED// CG
CF
CE
点P,其他条件不变，求的值.
28. (本题满分10分)如图1 ,已知O O的半径长为1 , AB AC是O O的两条弦，且AE=AC BO的延长线交AC于点D,联结OA OC
(1)求证：△ 0A2A ABD
(2)当厶OCD是直角三角形时，求B C两点的距离；
(3)记厶AOB △ AOD △ COD的面积分别为S、S、S，如果S是S和S的比例中项，求OD
的长.
备用图
初三年级数学学科期中试卷答案
一•选择题（共10小题）
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（C ）
2. —元二次方程x2-x+仁0的根的情况是（ B ）
3. 如图，已知O 0的半径为13,弦AB长为24，则点0到AB的距离是（ B ）
4. 已知O 0的半径为r=5，点P和圆心0之间的距离为d,且d是关于x的一元二次方程x2 -6x - 16=0的实数根.则点P与O O的位置关系是（ C ）
5. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a 的值应是（ A ）
A. 2 : cm
B. : ;cm
C.，' cm
D. 1cm
3
6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为X,则所列方程正确的为（ A ）
7. 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90，/ B=30°, BC=4cm以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则O C与AB的位置关系是（B ）
&如图，△ ABC中，AE交BC于点D,Z C=Z E, AD=4 BC=8 BD DC=5 3,贝U DE的长等于（D）9. 如图，O O的半径是2, AB是O O的弦，点P是弦AB上的动点，且1 < OP< 2,则弦AB
所对的圆周角的度数是（ C ）
10. 如图，以M （- 5, 0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A B两点，P是O M 上异于A B的一动点，直线PA PB分别交y轴于G D,以CD 为直径的O N与x轴交于E、F,贝U EF
的长（C ）
二、填空题（每空2分共16分）
11.
12. 若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为（）
13. 若关于x的一元二次方程（k - 1）x2+2x - 2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是k> 且k z 1 .
--- 1------
14. 如图，AB为O O的直径，PD切O O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD则/ PCA=67.5
15. 如图，O O中，BC为直径，AB切O O于B点，连AC交O O于D,若CD= 2, AB= 3，则
6 _______________ •
16. 如图，AC 与AB 切O O 于C B 两点，过BC 弧上一点 D 作O O 切线交AC 于E ,交AB 于F , 若 EF ± AB AE=5, EF=4,贝U BF =
3
_ .
17. 如图，平面直角坐标系中，O A 的圆心在x 轴上，坐标为（a , 0）,半径为1,直线I 为y=2x - 2，若O A 沿x 轴向右运动，当O A 与直线I 有公共点时，点 A 横坐标a 的取值范 围是 1 - < a < 1+ ' .
2 2 ~
18..如图，已知 P 是O O 外一点，Q 是O O 上的动点，线段 PQ 的中点为 M 连接OP OM 若O O 的半径为2, OP= 4，则线段OM 勺最小值是 1
三.解答题（共10小题） 19 .每小题4分共12分）
2
(1) 3y (y - 1) =2 (y - 1) (2) ( x - 1) ( x+2) =70
(3) 2y - 3=4y
(2) 「. X 1=- 9, X 2=8; ( 3) y 1=1+ 1
2
20. （6分）.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度：如图，在水平地面上放一
面平面镜，镜子与教学大楼的距离 EA=21米.当她与镜子的距离 CE=2.5米时，她刚好能从
镜子中看到教学大楼的顶端
B .已知她的眼睛距地面高度
DC=1.6米.请你帮助小玲计算出
教学大楼的高度 AB 是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）
【解答】解：根据题意可得: / AEB=Z CED / BAE 玄 DCE=90 ,•••△ ABE^A CDE (2 分)
〔••• , (2 分)
CD CE |1?6 2,5
• AB=13.44 (米).(1 分)
答：教学大楼的高度 AB 是13.44米.(1分) 21.
(6 分)关于 x 的一元二次方程 x 2-( k+3) x+2k+2=0.
(1 )求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于
1,求k 的取值范围.
2 2
【解答】(1)证明：•••在方程 x -( k+3) x+2k+2=0 中，△ =[ -( k+3) ] - 4x 1 x( 2k+2)
2 2
=k - 2k+ 仁(k - 1) > 0,
BC=
（1
） y1=1, 丫2丄； y 2=1 - •「.
•••方程总有两个实数根.（3分）
2
（2）解：T x -（ k+3） x+2k+2= （x -2） （x -k - 1） =0, • X i =2, X 2=k+1. （ 2 分）
•••方程有一根小于1,「. k+1v 1，解得：k v 0 ,• k 的取值范围为k v 0. （1 分） 22. (8 分)已知O 01 经过 A (- 4, 2 )、B (- 3, 3 )、C (- 1,- 1)、 0(0, 0)四点，一次函数 y=-x - 2的图象是直线I ，直线I 与y 轴交于点D. (1 )在如图的平面直角坐标系中画出直线
I ，则直线I 与O 01的交点坐标为 ___________ ；
(2)若0 01上存在点P,使得△ APD 为等腰三角形，则这样的点 P 有
个，试写
出其中一个点 P 坐标为 ______________________ . 【解答】(1)先在坐标系中找到 A (- 4, 2), B (- 3, 3), C (- 1, - 1), 0(0 , 0)的坐标，然后画圆，过此四点. 一次函数 y= - x - 2,当 x=0 时，y= - 2;
当y=o 时，x= - 2,从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线. 即是一次函数y= - x - 2的图象.(2分)
该直线与圆的交点是点 A 、C,它们的坐标分别是(-4, 2)、(- 1, - 1); 故答案是：(-4, 2)、(- 1,- 1) ; (2 分)
(2)作AD 的垂直平分线，与圆的交点是所求的坐标 (根据垂直平分线上的两点到线段两端 的距离相等)，以点D 为圆心，以DA 为半径画弧，弧与O 01的交点是A 点和P3点，从图中
ABCD 内接于O O, BD 是O 0的直径，过点 A 作O 0的切线AE 交
23 . (6分)如图，四边形
-1）或（0,2 ）.
CD的延长线于点E, DA平分/ BDE
(1) 求证：AEL CD
(2) 已知 AE=4cm CD=6cm 求。

O 的半径. 证明：连接OA •/ AE 是O O 切线， •••OA!AE,A Z OAE=90 ,
•••/ EAD+Z OAD=90 , •••/ ADO Z ADE OA=OD
OAD Z ODA Z ADE
•••/ EAD+Z ADE=90，•/ AED=90 , • AE L CD (2 分)
(2)解：过点 O 作OF 丄CD 垂足为点F .
•••/ OAE Z AED 玄 OFD=90 ,
•四边形AOFE 是矩形.(2分)
• OF=AE=4cm 又T OF L C D • DF 丄CD=3cm 2
在Rt △ ODF 中, OD= 廿一厂y _=5cm 即O O 的半径为5cm. (2分)
24. ( 8分)如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , Z BAC 的平分线 BC 于点D, E 是AC 上一点, DE=DB 以D 为圆心，DC 为半径作O D (1) 求证：AB 是O D 的切线； (2) 求证：AC+CE=AB
【解答】(1)证明：过点 D 作DF L AB 于F ;
•••/ ACB=90 • AC L BC
•/ AD 平分/ BAC DF L AB,
• DC=DF. AB 是O D 的切线；(4 分) (2 )证明：在 RT A CDE 和 RT A DBF 中；
f DC=DF iDEzDB
• Rt △ CDE^ Rt △ DBF ( HL ), • EC=FB •/ AC=AF • AC+EC=AF+FB 即 AC+CE=AB (4 分) 25. ( 8分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为
2
后，将每天的工作量增加为原来的 1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.
(1 )该项绿化工程原计划每天完成多少米 2
?
(2)该项绿化工程中有一块长为 20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的
46000米2,施工队在绿化了 22000米
A
E
F.
矩形绿地，它们的面积之和为 56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道
（如图
所示），问人行通道的宽度是多少米？
【解答】 解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成 x 米2, 根据题意得：册皿吨0006000^000 =4
X 1. 解得：x=2000, （2 分）
经检验，x=2000是原方程的解，（1分）
（2）设人行道的宽度为 a 米，根据题意得, （20 - 3a ） （ 8 - 2a ） =56 （ 2 分） 解得：a=2或a —（不合题意，舍去）.（1分） 可 答：人行道的宽为 2米.（1分）
26. （10分）如图，O 是厶ABC 内一点，O O 与BC 相交于F 、G 两点，且与 AB AC 分别相切 于点 D E, DE// BC 连接 DF EG (1)求证：AB=AC
（2）已知AB=10, BC=12求四边形 DFGE 是矩形时O O 的半径.
【解答】（1）证明：T AD AE 是O O 的切线, ••• AD=AE •••/ ADE N AED •••DE// BC,
ADE 玄 B,Z AED 玄 C,「./ B=Z C ,「. AB=AC (3 分)
(2)解：如图，连接 AO,交DE 于点M,延长AO 交BC 于点N,连接OE DG 设O
O 半径为
答：该绿化项目原计划每天完成
2000平方米；（1分）
r ,
•••四边形 DFGE 是矩形，•••/ DFG=90 ,二 DG 是O O 直径， •••O 0与 AB AC 分别相切于点 D E ,「. ODL AB OEL AC, •/ OD=OE OEL AC, •/ OD=OE 「. AN 平分/ BAC •/ AB=AC
• AN 丄 BC, BN 寺BC=6 在 RT ^ ABN 中，人“=払耳2 2时］_总 2=8, •••ODLAB, AN L BC,「./ ADO M ANB=90 ,
•••/ OAD M BAN •△ AOD^A ABN （2 分）
如图 1，在△ ABC 和厶 ADE 中，/ ACB M AED=90，/ CAB M EAD=60，点 E , A , C 在同一
，连接 EF , CF ,试判断△ CEF 的形状并说明理
（1）小婷同学提出解题思路：先探究△ CEF 的两条边是否相等，女口 EF=CF ,以下 【解答】 解：（1）①由题意作图如图 1所示图形，（2分） ②证明：延长线段 EF 交CB 的延长线于点G. •/ F 是BD 的中点，• BF=DF •••/ ACB=/ AED=90 , • ED// CG BGF 玄 DEF —BFG
M DFE
•△ b DEF
（ ASA ）
.「EF =FG 「CF =畤EG
故答案为ASA （ 2分）
（2）如图3,延长BA DE 相交于点F , •••/ BAC=60，•/ EAH=60 =M EAD
0D =A C
B
N A N
• AD 丄,• BD=AB- AD=10-
3
（2
分）
，即 • ODL AB, GDB M ANB=90 ,
27. （10分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题:
•••/ AED=90 ,•••/ H=30 , EH=DE
由（1）②知，△ BGF^A DEF •- DE=BG 「・ EH=BG
•••DE// BG •四边形 BGEH 是 平行四边形，/ DEF=/ H=30，•/ CEF=/ AED-Z DEF=60 , •/ CF=EF , CEF 是等边三角形；（3分）
（3）如图2,延长EF 至G 使，FG=EF ••点F 是BD 的中点，• DF=BF
• Z DFE=/ BFG •△ DEF ^A BGF （ SAS , • BG// DP
P+Z CBG=180 ,
在四边形 ACPE 中 , Z AEP=Z ACP=90 ,
根据四边形的内角和得，Z
CAE+Z P=180° , •/ CAE Z CBG
• Z BCG Z ACE •Z ECG Z ACE+Z ACG Z BCG Z ACG=90 ,
在 Rt △ CEG 中 , EF=GF •- CF=EF 二EG
2
CF
•/△ BC&A ACE •Z CE （=60°A ^ CEF 是等边三角形•
=1
（3 分）
CE
28. （10分）如图，已知O O 的半径长为1 , AB AC 是O O 的两条弦，且 AB=AC BO 的延长 线交AC 于点D,联结OA OC (1) 求证：△
ABD
(2) 当厶OCD 是直角三角形时，求 B 、C 两点的距离;
(3)记厶AOB △ AOD △ COD 的面积分别为
S1、S2、S3 ,女口果S2是S1和S3的比例中项,
求OD 的长.
在厶 AOB^n ^ AOC 中,
\0A = 0A
,,•••△ AOB^A AOC •Z C=Z B, （0B = OC
•/ OA=OC •Z OAC Z C=Z B, vZ ADO Z ADB
OAD^A ABD
• Z CBG Z CAE
BC®A ACE
BG _BC AE ^AC
在 Rt △ ADE 中，Z DAE=60 ,
【解答】(1)证明：如图1中，
（3 分）
2 2
2
解得x=——或^,
（3
分）
（2）如图2中，
•/ BD 丄 AC, OA=OC 「. AD=DC /• BA=BC=AC :. △ ABC 是等边三角形,
在 Rt △ OAD 中，T OA=1 / OAD=30 ,二 OD= OA=,
2 2
••• BC=AC=2AD= : . （ 3 分）
(3) 如图3中，作OH 丄AC 于H,设OD=x
AD OD OA
•/△ DA3A DBA •-——=——=——
DB AD AB
2
•/ S 2是S 和S 3的比例中项，• S 2 =S l ?S 3,
1 1 1 •/ S=—AD?OH S=S A OA （=-?AC?OH $=—?CD?OH 2
2
2
•••（丄AD?OH 2=-?AC?OH??CD?OH • AD=AC?CD
2 2 2
•/ AC=AB CD=A G AD="U
X
2
虫（尤+1）? ”琼+口
X
X
整理得x 2+x -仁0,
经检验：x ---------- 是分式方程的根，且符合题意,
OD —
（1
分）
AD x l
x+1 AD AB。