(压轴题)高中数学必修一第一单元《集合》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．设全集U =R ，{
}
2
560A x x x =-->，{}
5B x x a =-<（a 为常数），且
11B ∈，则下列成立的是（ ）
A ．U A
B R =
B ．U
A B R =
C ．
U
U
A
B R = D ．A
B R =
2．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即
[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:
（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．设集合{
}
2
1|10P x x ax =++>，{
}
2
2|20P x x ax =++>，
{}21|0Q x x x b =++>，{}2
2
|20Q x x
x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是
（ ）
A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
4．已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =<->或，那么集合
()()C C U U M N ⋂等于（ ）
A ．{|34}x x <≤
B ．{|34}x x x ≤≥或
C ．{|34}x x ≤<
D ．{|13}x x -≤≤
5．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q x x P Q =∈★∣且
}x P Q ∉⋂．如果{111},{P x x Q x y =-≤-≤==∣∣，则P Q =★（ ）
A ．{12}x
x ≤≤∣ B ．{01x
x ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01x
x ≤<∣或2}x > D ．{01x
x ≤≤∣或2}x > 6．已知集合()1lg 12A x x ⎧⎫=-<
⎨⎬⎩
⎭
，{}
2
2940B x x x =-+≥，则(
)R
A B 为（ ）
A ．()1,4
B ．1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．(4,1
D ．(1,1+
7．已知}{
|21M x x =-<<，3|
0x N x x ⎧-⎫
=≤⎨⎬⎭
⎩，则M N ⋂=（ ）
A ．()0,1
B ．[)0,1
C ．(]1,3
D ．[]0,3
8．已知{
}
22
(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}
(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}
12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ） A ．77n = B ．49n ≤
C ．64n =
D ．81n ≥
9．设U 为全集，(
)U
B A B =，则A B 为（ ）
A ．A
B ．B
C ．
U
B
D ．∅
10．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即
{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）
A ．02020A ∈
B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈
C ．31A -∈
D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈
11．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B 的子集个数是（）
A ．6
B ．8
C ．4
D ．2
12．设集合{
}
21x
A y y ==-，{}
1B x x =≥，则()R A C B =（ ）
A ．(],1-∞-
B ．(),1-∞
C ．()1,1-
D ．[
)1,+∞
二、填空题
13．非空集合G 关于运算*满足：① 对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；② 存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：
①G 是非负整数集，*运算：实数的加法； ②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；
③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；
④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法； 其中为融洽集的是________
14．对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知
{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．
15．已知{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，若A B =∅，则a 的取值范围是
__________
16．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________.
17．已知{
}
2
|340,{|10}A x x x B x ax a =+-==-+=，且B A ⊆，则所有a 的值所
构成的集合M =_________.
18．设,,x y z 都是非零实数，则可用列举法将x y z xy xyz x y z xy xyz
++++的所有可能值组成的集合表示为________.
19．已知集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有_______个. 20．若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且下列四个关系：（1）1a =；（2）1b ≠；（3）
3c =；（4）4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是
___________.
三、解答题
21．已知集合A 为数集，定义1,()0,A x A
f x x A
∈⎧=⎨
∉⎩．若{}*,8,A B x
x x N ⊆≤∈∣，定义：(,)d A B =(1)(1)A B f f -(2)(2)(8)(8)A A B B f f f f +-+⋅⋅⋅+-．
（1）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，求(),d A B ，(),d A C 的值；
（2）若{
}*
,,8,A B C x
x x N ⊆≤∈∣．
求证：()()(),,,d A B d A C d B C +≥； 求()()(),,,d A B d A C d B C ++的最大值．
22．已知集合{
}
2
320A x x x =-+=，{
}
2
10B x x ax a =-+-=，
{
}22
2(1)50C x x m x m =+++-=.
（1）若A B A ⋃=，求实数a 的值；
（2）若A
C C =，求实数m 的取值范围.
23．设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和2()()0x a x a --<的解集分别为
A 和
B .
（1）求集合A ；
（2）是否存在实数a ，使得A B =R ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由；
（3）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.
24．已知命题p ：x ∈A ＝{x|a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R}，命题 q ：x ∈B ＝{x|x 2－4x ＋3≥0}． (1)或A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求实数a (2)若
是p 的必要条件，求实数a.
25．已知集合2A {x |x x 20}=--≥，集合(
)2
2
{|1210,}B x m
x
mx m R =-+-<∈
()1当m 2=时，求集合R A 和集合B ；
()2若集合B Z ⋂为单元素集，求实数m 的取值集合；
()3若集合()A B Z ⋂⋂的元素个数为()*n n N ∈个，求实数m 的取值集合
26．已知全集U =R ，设集合{}
213A x x =-≤，集合
(){}
2440B x x a x a =+-->，若A B A =，求实数a 的取值范围
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
求出集合A ，根据11B ∈可求得实数a 的取值范围，利用集合的基本运算可判断各选项的正误. 【详解】
{}{25601A x x x x x =-->=<-或}6x >，{}
5B x x a =-<，且11B ∈,
则6a >，{}{
}
555B x x a x a x a ∴=-<=-<<+，
对于A 选项，取7a =，则{}212B x x =-<<，
{}16U
A x x =-≤≤，
所以，{}16U
A B x x R ⋂=-≤≤≠，A 选项错误；
对于B 选项，取7a =，则{2U
B x x =≤-或}12x ≥，此时U
A
B A R =≠，B 选项错误；
对于C 选项，取7a =，则{}16U
A x x =-≤≤，
{2U
B x x =≤-或}12x ≥，
此时，
{2U
U A B x x ⋃=≤-或16x -≤≤或}12x R ≥≠，C 选项错误；
对于D 选项，6a >，则51a -<-，511a +>，此时A B R =，D 选项正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查与集合运算正误的判断，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．C
解析：C 【分析】
根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案. 【详解】
对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确; 对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误;
对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故
[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;
对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．
综上所述,正确的个数为:3个. 故选C ． 【点睛】
本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.
3．B
解析：B 【分析】
先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．
【详解】
对于1P 和2P ，由于2
10x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，
一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集.
对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩
，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子
集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B. 【点睛】
本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.
4．A
解析：A 【分析】
先分别求出C ,C U U M N ，再求()()C C U U M N ⋂即可 【详解】
∵C {|}23U M x x x =<>-或，C {|24}U N x x =-≤≤， ∴()()C C {|34}U U M N x x ⋂=<≤． 故选:A ． 【点睛】
本题考查交集与补集的混合运算，属于中档题
5．C
解析：C
【分析】
先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．
【详解】
由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥， 则{|0}P
Q x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，
∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >． 故选：C ． 【点睛】
本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．
6．A
解析：A 【分析】
解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得R
B ，由此求得(
)R
A
B
【详解】
由于()1
lg 12
x -<
=
所以{(011,1A x x =<-<=+， 依题意
{}
2R
2940B x x x =-+<，
()()22944210x x x x -+=--<，解得1
42
x <<，
即
R 1,42B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
所以(
)()R
1,4A B ⋂=．
故选：A
【点睛】
本小题主要考查集合交集和补集的运算，考查对数不等式和指数不等式的解法，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
根据分式不等式的解法，求得{}
03N x x =<≤，再结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{}3|
003x N x x x x ⎧-⎫
=≤=<≤⎨⎬⎭
⎩，
又由}{
|21M x x =-<<，所以{}
()010,1M N x x ⋂=<<=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合N 是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
8．A
解析：A 【分析】
先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可. 【详解】
解:由{
}
22
(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}
(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,
123,2,1,0,1,2,3y y +=---,
此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,
②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,
124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,
这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,
123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A. 【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.
9．D
解析：D 【分析】
根据题意作出“韦恩图”，得出集合A 与集合B 没有公共元素，即可求解. 【详解】
由题意，集合U 为全集，(
)U
B
A B =，
如图所示，可得集合A 与集合B 没有公共元素，即A B =∅，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据题设条件，作出韦恩图确定两集合的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 【详解】
A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；
B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；
C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；
D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故
0a b A -∈，故D 正确.
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.
11．C
解析：C 【分析】
先求得B 的具体元素，然后求A B ，进而确定子集的个数.
【详解】
依题意{}0,3,6,9B =，所以{}0,3A B ⋂=,其子集个数为224=，故选C. 【点睛】
本小题主要考查集合元素的识别，考查两个集合的交集，考查集合子集的个数计算，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出．
【详解】
集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1}＝（﹣1，+∞），B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞）， 则∁R B ＝（﹣∞，1） 则A ∩（∁R B ）＝（﹣1，1）， 故选：C ． 【点睛】
本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二、填空题
13．①④【分析】逐一验证几个选项是否分别满足融洽集的两个条件若两个条件都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】①对于任意非负整数则仍为非负整数即；取则故①符合题意；②对于任意偶数则仍为偶数即；但是
解析：①④ 【分析】
逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集” 【详解】
①对于任意非负整数,a b ,则+a b 仍为非负整数,即a b G +∈；取0e =,则
00a a a +=+=,故①符合题意；
②对于任意偶数,a b ,则ab 仍为偶数,即ab G ∈；但是不存在e G ∈,使对一切a G ∈都有ae ea a ==,故②不符合题意；
③对于G 是所有二次三项式组成的集合,若,a b G ∈,ab 不再是二次三项式,故③不符合题意；
④对于{|,}G x x a a b Q ==+∈,设1x a =+2x c =+,则
()(
122x x ac bd ad bc ⋅=+++,即12x x G ⋅∈；取1e =,则11a a a ⨯=⨯=,故④符合
题意,
故答案为:①④ 【点睛】
本题考查对新定义“融洽集”的理解,考查理解分析能力
14．【分析】先求出和再计算【详解】由已知则∴故答案为：【点睛】本题考查集合的新定义解题关键是理解新定义运算把新运算转化为集合的运算 解析：[3,1)(3,)--+∞
【分析】
先求出A B -和B A -，再计算A B ∆ 【详解】
由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，
{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，
∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞，
故答案为：[3,1)(3,)--+∞
【点睛】
本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．
15．【分析】根据集合所以集合没有公共元素列出两个集合的端点满足的不等关系结合数轴可以得出的范围得到结果【详解】集合由借助于数轴如图所示可得故答案为：【点睛】该题主要考查集合中参数的取值范围的问题两个集合
解析：(,1]-∞-. 【分析】
根据集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，A B φ⋂=，所以集合,A B 没有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围，得到结果. 【详解】
集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<， 由A B φ⋂=，借助于数轴，如图所示，
可得1a ≤-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】
该题主要考查集合中参数的取值范围的问题，两个集合的关系，属于中档题目.
16．-2或0【分析】由可得即可得到或分别求解可求出答案【详解】由题意①若解得或当时集合中不符合集合的互异性舍去;当时符合题意②若解得符合题意综上的值是-2或0故答案为:-2或0【点睛】本题考查了交集的性
解析：-2或0 【分析】 由{}2M
N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.
【详解】 由题意,{}2N ⊆,
①若22a a +=,解得1a =或2a =-,
当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去; 当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.
②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.
综上,a 的值是-2或0. 故答案为:-2或0. 【点睛】
本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.
17．【分析】计算根据得到四种情况分别计算得到答案【详解】当时：此时；当时：解得；当时：解得；当时：无解；综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据集合关系求参数忽略掉空集是容易发生的错误
解析：110,,23⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
【分析】
计算{}1,4A =-，根据B A ⊆得到B =∅，{}1B =，{}4B =-，{}1,4B =-四种情况，分别计算得到答案. 【详解】
{}{}2|3401,4A x x x =+-==-，B A ⊆
当B =∅时：{|10}B x ax a =-+==∅，此时0a =； 当{}1B =时：{}{|10}1B x ax a =-+==，解得12
a =
； 当{}4B =-时：{}{|10}4B x ax a =-+==-，解得13
a =-； 当{}1,4B =-时：{}{|10}1,4B x ax a =-+==-，无解；
综上所述：110,,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭
故答案为：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查了根据集合关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.
18．【分析】由题意分类讨论实数xyz 的符号列表求解所给式子的值然后确定其值组成的集合即可【详解】分类讨论xyz 的符号列表求值如下：x y z 计算结果 大于零 大于零 大于零 1 1 1 1 解析：{}5,1,1,3--
【分析】
由题意分类讨论实数x ,y ,z 的符号列表求解所给式子的值，然后确定其值组成的集合即可. 【详解】
分类讨论x ,y ,z 的符号列表求值如下：
据此可得：
x y z xy xyz
++++的所有可能值组成的集合表示为{}5,1,1,3--. 故答案为：{}5,1,1,3--． 【点睛】
本题主要考查分类讨论的数学思想，集合中元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．2【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数【详解】由条件可知：则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数共个事实上满足题意的集合C 为：或故答案为2【点睛
解析：2 【分析】
由题意首先确定集合ABC 的关系，然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数. 【详解】
由条件A C B C ⋂=⋃可知：
()()()()B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃=⋂⊆，
则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数，共122=个. 事实上，满足题意的集合C 为：{}1,2C =或{}1,2,3C =. 故答案为2． 【点睛】
本题主要考查集合的包含关系，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．6【分析】利用集合的相等关系结合（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的通过分析推理即可得出结论【详解】若（1）正确则（2）也正确
不合题意;若（2）正确则（1）（3）（4）不正确即则满足条
解析：6 【分析】
利用集合的相等关系，结合（1）1a =；（2）1b ≠；（3）3c =；（4）4d ≠有且只有一个是正确的,通过分析推理即可得出结论. 【详解】
若（1）正确，则（2）也正确不合题意;
若（2）正确，则（1）（3）（4）不正确，即1,1,3,4a b c d ≠≠≠=， 则满足条件的有序组为: 2,3,1,4a b c d ====；或3,2,1,4a b c d ====; 若（3）正确，则（1）（2）（4）不正确,即1,1,3,4a b c d ≠===, 则满足条件的有序组为: 2,1,3,4a b c d ====;
若（4）正确，则（1）（2）（3）不正确,即1,1,3,4a b c d ≠=≠≠, 则满足条件的有序组为: 2,1,4,3a b c d ==== 或3,1,4,2a b c d ====或4,1,2,3a b c d ====, 所以符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个. 故答案为6 【点睛】
本题考查集合的相等关系,考查分类讨论思想,正确分类是关键,属于中档题.
三、解答题
21．（1）(),2d A B =，(),3d A C =；（2）①证明见解析；②16 【分析】
（1）根据定义直接计算即可；
（2）①可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，根据()cardA card A B ≥⋂，
()cardA card A C ≥⋂可证；
②由()()(),,,d A B d A C d B C ++()2cardA cardB cardC ≤++可得. 【详解】 （1）
{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，
()(1)(1)(2,)(2)(8)(8)A B A B A B d A B f f f f f f =-+-+-∴+
1011110100000000=-+-+-+-+-+-+-+-2=， ()(1)(1)(2)(2,)(8)(8)A C A C A C f f f f d f f A C =-+-+
+-
1010100000000000=-+-+-+-+-+-+-+-3=；
（2）①由题可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，
()()()(),,cardA cardB card A B cardA d A B cardC card A C d A C ∴=+-⋂++-⋂+
()(),d B C cardB cardC card B C =+-⋂， ()(),cardA card A B cardA card A C ≥⋂≥⋂， ()()2cardA card A B card A C ∴≥⋂+⋂，
()()()2cardA card B C card A B card A C ∴+⋂≥⋂+⋂，
即()()()2cardA card A B card A C card B C -⋂-⋂≥-⋂，
∴
()()()2cardA cardB cardC card A B card A C cardB cardC card B C ++-⋂-⋂≥+-⋂，
即()()(),,,d A B d A C d B C +≥，得证； ②()()(),,,d A B d A C d B C ++
()()()cardA cardB card A B cardA cardC card A C cardB cardC card B C =+-⋂++-⋂++-⋂
()()()()2cardA cardB cardC card A B card A C card B C =++-⋂+⋂+⋂⎡⎤⎣⎦
()2cardA cardB cardC ≤++，
当且仅当()()()0card A B card A C card B C ⋂=⋂=⋂=时等号成立，
∴当{}
*8,x x B C x A N ⋃⋃=≤∈∣且A B A C B C ⋂=⋂=⋂=∅时，
()()(),,,d A B d A C d B C ++有最大值为16.
【点睛】
关键点睛：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，解题的关键是能根据定义得出
()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，进而根据集合的关系可求解.
22．（1）2a =或3；（2）(,3]-∞-. 【分析】
（1）先求解出方程2320x x -+=的根，则集合A 可知，再求解出210x ax a -+-=的根，则可确定出集合B ，根据A B A ⋃=得到B A ⊆，从而可求解出1a -的可取值，则
a 的值可求；
（2）根据A C C =得到C A ⊆，分别考虑当C 为空集、单元素集、双元素集的情况，
由此确定出a 的取值.
【详解】
（1）由2320x x -+=得1x =或2，所以{1,2}A =， 由210x ax a -+-=得1x =或1a -，所以1,1B a B ∈-∈， 因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， 所以11a -=或2，所以2a =或3； （2）因为A
C C =，所以C A ⊆，
当C =∅的时，(
)2
2
4(1)450m m ∆=+--<，解得3m <-，
当{}1C =时，()22
2
4(1)
450
12(1)50
m m
m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解，
当{}2C =时，()(
)
()2
22
4145044150
m m m m ⎧∆=+--=⎪
⎨+++-=⎪⎩，解得3m =-， 当{}1,2C =时，2
122(1)
125m m +=-+⎧⎨
⋅=-⎩
，无解， 综上，实数m 的取值范围是(,3]-∞-. 【点睛】
结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系： （1）若A B A ⋃=，则有B A ⊆； （2）若A
B A =，则有A B ⊆.
23．（1）{|2A x x a =>+或1}x a <-；（2）不存在；理由见解析；（3）01a <<. 【分析】
（1）解一元二次不等式能求出集合A ． （2）由A
B R =，根据2{|}B a a x a =<<和2{|}B a a x a =<<分类讨论，得到不存在实
数a ，使得A B R =．
（3）由A
B ≠∅，根据2{|}B a a x a =<<和2{|}B a a x a =<<分类讨论，能求出实数a
的取值范围． 【详解】
解：（1）不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->可化为[(2)][(1)]0x a x a -+-->， 解得1x a <-或2x a >+，所以不等式的解集为{|1A x x a =<-或2}x a >+； （2）当0a =时，不等式2()()0x a x a --<化为20x <，此时不等式无解， 当0a <时，2a a >，不等式2()()0x a x a --<的解集为2
{|}x a x a <<， 当01a <<时，2a a <，不等式2()()0x a x a --<的解集为2{|}x a x a <<， 当1a =时，2a a =，不等式2()()0x a x a --<化为2
(10)x -<，此时不等式无解， 当1a >时，2a a >，不等式2()()0x a x a --<的解集为2
{|}x a x a <<， 综上所述：当0a =或1a =时，B =∅， 当0a <或1a >时，2{|}B x a x a =<<， 当01a <<时，2{|}B x a x a =<<， 要使A
B R =，
当2{|}B a a x a =<<时，2a a >，2a x a <<，1a a - 或22a a +，无解， 当2{|}B a a x a =<<时，2a a <，2a x a <<，2a a +，21a a =-，无解，
故不存在实数a ，使得A B R =．
（3）
A
B ≠∅，∴当2{|}B a a x a =<<时，1a a -<，或22a a +>，即
220a a --<，
解得10a -<< 或12a <<，
此时实数a 的取值范围是(1-，0)(1⋃，2)，
当2{|}B a a x a =<<时，21a a -<或2a a +>，即210a a -+>， 解得01a <<，
此时，实数a 的取值范围是(0,1)． 【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，解含参一元二次不等式需分类讨论，首先判断二次项系数是否为零，再对所对应的一元二次方程的根进行分类讨论； 24．(1) a ＝2；(2) a ＝2 【详解】
解：(1)由题意得B ＝{x|x≥3或x≤1}， 由A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，可知A ＝∁R B ＝(1,3) ∴
⇒a ＝2-
(2)∵B ＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x ∈{x|1＜x ＜3}． ∵是p 的必要条件．即p ⇒
，
∴A ⊆∁R B ＝(1,3)
∴
⇒2≤a≤2⇒a ＝2.
本试题主要考查了命题的真值，以及集合的运算的综合运用，以及二次不等式的求解问题． 25．（1）
R A {x |1x 2}=-<<，1
{|3
B x x =<
或1}x >；（2）{}0；（3）21
1 1.32
m m -<<-<<或
【分析】
（1）m ＝2时，化简集合A ，B ，即可得集合∁R A 和集合B ；（2）集合B ∩Z 为单元素集，所以集合B 中有且只有一个整数，而0∈B ，所以抛物线y ＝（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1的开口向上，且与x 轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m ＝0；（3）因为A ＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A ∩B ）∩Z 中由n 个元素，所以1﹣m 2＞0，即﹣1＜m ＜1；A ∩B 中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得． 【详解】
集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0}＝{x |x ≥2或x ≤﹣1}，集合{x |（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1＜0，m ∈R}＝
{x |[（1+m ）x ﹣1][（1﹣m ）x +1]＜0} （1）当m ＝2时，集合∁R A ＝{x |﹣1＜x ＜2}； 集合1
{|3
B x x =<
或1}x > ； （2）因为集合B ∩Z 为单元素集，且0∈B ， 所以
，解得m ＝0，
当m ＝0时，经验证，满足题意． 故实数m 的取值集合为{0}
（3）集合（A ∩B ）∩Z 的元素个数为n （n ∈N *）个，A ∩B 中至少有3或﹣2中的一个， 所以令f （x ）＝（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1， 依题意有
或
，
解得﹣1＜m ＜﹣或＜m ＜1∴ 【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算.属难题．
26．1a <-
【分析】
先化简集合{
}{
}21312A x x x x =-≤=-≤≤，集合
(){
}()(){}2
44040B x x a x a x x a x =+-->=-+>，再根据A
B A =，转化为
A B ⊆求解.
【详解】
集合{}{
}
21312A x x x x =-≤=-≤≤，
集合(){}()(){}
2
44040B x x a x a x x a x =+-->=-+>，
因为A B A =，
所以A B ⊆ ，
当4a =-时，{
}
4B x x =≠-，满足A B ⊆，
当4a >-时，{B x x
a =或}4x <- ，要使A B ⊆成立，
则1a <- 即41a -<<-，
当4a
时，{4B x x =-或}x a <，满足A B ⊆，
综上：实数a 的取值范围1a <-. 【点睛】
本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。