反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳
反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为常数，且
x≠0.在解决与自变量指数相关的问题时，需要特别注意系数。

另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，通过这个式子可
以迅速求出反比例函数的解析式中的k。

反比例函数的图象与x轴和y轴无交点，因此在用描点法画反比例函数图象时，需要取关于原点对称的点。

反比例函数图象的形状为双曲线，其弯曲度与k的大小有关。

当k越大，曲线越平直；当k越小，曲线越弯曲。

反比例函数的图象关于原点对称，同时也关于直线y=x
和y=-x对称。

k的几何意义可以通过双曲线上任意一点P（a，b）来解释，其中k等于矩形PBOA的面积除以三角形PAO
和三角形PBO的面积之积。

在研究反比例函数的增减性时，需要将双曲线的两个分支分别讨论，不能一概而论。

反比例函数与一次函数之间有联系，而求函数解析式的方法可以采用待定系数法或根据实际意义列
函数解析式。

在解决实际问题时，需要充分利用数形结合的思想。

2．图像和性质
对于反比例函数，以下是已知函数的情况：
①若它的图像在第二、四象限内，则k为负数。

②若y随x的增大而减小，则k为正数。

对于一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限，则
函数的图像位于第一、三象限。

如果反比例函数通过点（m，2），则一次函数的图像不
会通过点（m，2）。

已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图像上，则直
线y=x不会通过第三象限。

如果P（2，2）和Q（m，n）是反比例函数图像上的两点，则一次函数y=kx+m的图像经过第一、三、四象限。

已知函数y=k/x和y=kx（k≠0），它们在同一坐标系内的
图像大致是反比例函数和正比例函数的图像。

3．函数的增减性
①在反比例函数的图像上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），且x1＜x2，则y1y2＜0，即y1和y2的符号不同。

②在函数y=ax（a为常数）的图像上有三个点A（x1，
y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，则y1
＜y2＜y3.
对于四个函数中的①、②、③、④，其中y随x的增大而减小的函数只有一个，即②。

如果反比例函数的图像与直线y=2x和y=x+1的图像过同
一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大
而减小。

4．解析式的确定
如果y与z成反比例，x与z成正比例，则y是x的反比
例函数。

如果正比例函数y=2x与反比例函数的图像有一个交点为（2，m），则m=1，k=1/2，它们的另一个交点为（1/4，2）。

已知反比例函数的图像经过点（3，4），反比例函数的图像在第二象限内，则k=-4/3.
已知一次函数y=x+m与反比例函数y=k/x的交点为P（x0，3），则x0=-3/m，反比例函数的图像在第三象限内。

5）某学校为预防“非典”，采用药薰消毒法对教室进行消毒。

已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例
（如图所示）。

已测得药物燃毕8分钟，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克。

解答以下问题：
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=kx，自变量x
的取值范围是x≥0；药物燃烧后y关于x的函数关系式为
y=k/x，自变量x的取值范围是x>0.
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时
学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室。

③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌。

因此，此次消毒有效，因为药物燃毕后室内空气中每立方米的含药量为6毫克，持续时间为8分钟，满足条件。

1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个
点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y轴围成的矩形的面积分别为S1，S2，S3，则
S1+S2+S3=BC×AD。

2）如图，A、B是函数y=f(x)的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积为S，则
S=2∫0Axf(x)dx。

3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线y=1/x上，且
△AOB的面积为3，求双曲线y=1/x的渐近线方程。

4）已知函数y=f(x)的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形
OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小。

5）如图，正比例函数y=kx（k>0）和反比例函数y=k/x 的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=k^2.
6）在图中的Rt△ABO中，顶点A是双曲线y=a/x与直线y=-x在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且
S△ABO=1/2*a*B=1/2*a*(a/B)=1/2*a^2/B。

①双曲线的解析式为y=a/x，直线的解析式为y=-x。

②由解析式可求出交点A的坐标为（-a,a），交点C的坐
标为（a,-a），△AOC的面积为1/2*2a*2a=2a^2.
7）在图中，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标
原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）的图象上，点P（m，n）是函数y=kx的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S。

①由正方形面积可得AB=3，BC=3，因为AB⊥BC，所
以B的坐标为（3，3/k）。

②由点P在函数y=kx的图象上可得n=km，过P作x轴
的垂线可得E（m，0），过P作y轴的垂线可得F（0，nk），矩形OEPF的面积为S=mnk。

③由正方形面积可得AC=3，所以矩形OEPF的面积为
S=3n-mn/k。

综合应用：
1）由y=k1x和y=k2/x在同一坐标系内的图象没有公共点
可得，当k1和k2同号时，它们互为倒数，符号相同；当k1
和k2异号时，它们符号相反，绝对值相等。

2）①反比例函数为y=a/x，一次函数为y=kx+n，其中
k>0.
②使一次函数的值大于反比例函数的值可得kx+n>a/x，
化简可得x(a/nk)^(1/2)。

3）①由条件可得A（-1/k，0），B（0，1），D（1，k），C的坐标为（1/k，k），一次函数过A、B两点可得y=kx+k，
反比例函数可得y=a/x，C点的坐标满足k=k1*k2，即k=1/k，
解得k=±1，故反比例函数为y=±x^2，一次函数为y=±x+k。

②由C点的坐标可得a=k^2，代入反比例函数可得
y=k^2/x，代入A点的坐标可得k=-1，代入一次函数可得y=-
x-1.
4）①由C、D两点可得反比例函数为y=a/x，代入A、B
两点可得m=1/k，故反比例函数为y=a/(1/k)=ak。

②设双曲线的解析式为y=a/x，点P的坐标为（p，kp），则△POC和△POD的面积分别为1/2*ap和1/2*dp，令它们相
等可得p=d，即点P的横坐标等于反比例函数与x轴的交点的
横坐标，代入反比例函数可得纵坐标为a/d，故点P的坐标为（d，a/d）。

因此，存在一点P使得△POC和△POD的面积
相等，且坐标为（m，a/m）。

5）①方程y=x^3-2x^2+5x-6=0有3个解，方程y=x^3-
2x^2+5x-5=0有1个解。

②构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解。

为了判断原方程是否有实数解，我们可以通过构造双曲线和直线来进行推导。

如果它们无交点，那么说明原方程无实数解。

6）如果一个二次方程的判别式小于0，则它没有实数根；如果判别式等于0，则它有唯一的实数根；如果判别式大于0，则它有两个不同的实数根。

我们可以通过判别式的大小来判断一个二次方程是否有实数根。

如果判别式小于0，则说明它没有实数根；如果判别式
等于0，则说明它有唯一的实数根；如果判别式大于0，则说
明它有两个不同的实数根。

7）当二次方程的系数为实数时，它的根可能是实数、复
数或无理数。

当二次方程的系数为实数时，它的根可能是实数、复数或无理数。

这取决于判别式的大小和根的类型。

如果判别式大于0，则根是实数；如果判别式等于0，则根是实数且相等；如
果判别式小于0，则根是复数。

而无理数则是指不能表示为两个整数之比的数。