2020-2021学年人教A版数学选修2-2学案：2.2.2 反证法含解析

2.2.2反证法
内容标准学科素养
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象
[基础认识]
知识点反证法
预习教材P89－91，思考并完成以下问题
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
本故事中王戎运用了什么论证思想？
提示：运用了反证法思想．
知识梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
思考：1.反证法的思维过程是怎样的？
提示：否定结论⇒推演过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定，即肯定原命题)．
反证法的证明过程可以用以下框图表示：
肯定条件p，否定结论q→导致逻
辑矛盾→原命题成立
2．反证法的证明步骤是怎样的？
提示：用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．
[自我检测]
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”．
答案：B
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为() A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．
答案：C
3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B ＝90°不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的排列为________．
解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．
答案：③①②
授课提示：对应学生用书第42页
探究一用反证法证明否定性命题
[例1]已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
[证明]假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0，
所以a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝b ＝c ＝d ＝0， 这与已知条件ad －bc ＝1矛盾．
故假设不成立，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.
方法技巧(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
(2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪探究1.已知三个正数a ，b ，c 成等比数列但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．
证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， ∴4b ＝a ＋c ＋2ac .①
∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，② 由②得b ＝ac ，代入①式， 得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，
这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列． 探究二用反证法证明“至多、至少”问题
[例2]已知a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1. [证明]假设(2－a )b ，(2－b )c ， (2－c )a 都大于1. 因为a ，b ，c ∈(0,2)， 所以2－a ＞0,2－b ＞0,2－c ＞0. 所以(2－a )＋b 2≥
(2－a )b ＞1.
同理(2－b )＋c 2
≥
(2－b )c ＞1，
(2－c )＋a
2
≥(2－c )a ＞1.
三式相加，得
(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a
2＞3， 即3＞3，矛盾．
所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.
延伸探究已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.
证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于1
4.
∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴1－a,1－b,1－c 都是正数． ∴(1－a )＋b 2
≥
(1－a )b ＞
14＝12
. 同理，(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12
.
三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞3
2，
即32＞3
2
，显然不成立． ∴(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1
4
.
方法技巧应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：
跟踪探究2.用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.
因为α≠β，不妨设α＜β，又函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．
探究三用反证法证明唯一性命题
[例3]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
方法技巧“唯一性”问题是数学中的常见问题，常见的词语有“唯一”“有且只有一个”“仅有一个”等．这类问题通常既要证明“存在性”，又要证明“唯一性”．证明“存在性”一般比较简单，多数采用直接证明的方法，但“唯一性”的证明需要用反证法，通常可假设“存在两个……”或“至少有两个”等，再经过推理论证，得出矛盾.
授课提示：对应学生用书第43页
[课后小结]
用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
[素养培优]
反设错误或不全面致误
易错案例：已知x，y∈R，且x2＋y2＝0.求证：x，y全为零．
易错分析：在利用反证法证明时，关键是熟练掌握常用词语的否定，如“全是”的否定是“不全是”．对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．考查直观想象、逻辑推理等核心素养．
自我纠正：证明：假设x，y不全为零，则有以下三种可能：
(1)x＝0，y≠0，则x2＋y2＞0，与x2＋y＝0矛盾；
(2)x≠0，y＝0，则x2＋y2＞0，与x2＋y＝0矛盾；
(3)x≠0，y≠0，则x2＋y2＞0，与x2＋y2＝0矛盾．
故假设不成立，则x，y全为零.。