湖北省天门市高考数学(理)压轴试卷

湖北省天门市2008年高考数学（理）压轴试卷
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分 ，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.不等式
2
03x x ->+的解集是 ( D ) (A)(32)-， (B)(2)+∞， (C)),3()2,(+∞⋃--∞
(D)),2()3,(+∞⋃--∞ 2. =++-i i i 1)21)(1(
( C )
(A)i --2
(B)i +-2
(C)i -2 (D)i +2
3.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝a n(n ＋1)(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(
1
2＜ξ＜5
2
)的值为( A )
(A)56
(B)34
(C)45
(D)23
4.两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码符合要求的是( D )
(A)48,49
(B)62,63
(C)75,76 (D)84,85
5.设l ，m ，n 是空间三条互相不重合的直线，α，β是空间两个不重合的平面，则下列结论中
①当m ⊂ α，且n ⊄ α时，“n ∥m ”是“n ∥α”的充要条件 ②当m ⊂ α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充要条件 ③当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 ④当m ⊂ α且n 是l 在α内的射影时，“m ⊥n ”是“l ⊥m ”的充要条件 正确的个数有( B )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
6.已知向量a ≠b ，|b |＝1，记f(x)= |a －x b |，对任意x ∈R ，恒有f(x)≥f(1)，则( B ) (A)a ⊥b (B)a ⊥(a －b ) (C)b ⊥(a －b ) (D) (a ＋b )⊥(a －b )
7. 若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪
⎨⎪⎩
≥，
≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( C )
(A)5a <
(B)7a ≥
(C)57a <≤
(D)5a <或7a ≥
8. 有一半径为R 的圆柱（如右图），被与轴成45º角平面相截得“三角”圆柱ABC ，则此“三
角”圆柱的展开图为（ D ） |
9．某医学院研究所研制了5种消炎药X 1、X 2、X 3、X 4、X 5和4种退烧药T 1、T 2、T 3、T 4，现从中
取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X 1、X 2两种消炎药必须搭配使用，但X 3、T 4两种药不能搭配使用，则不同的试验方案有
（ C ）
A ．16种
B ．15种
C ．14种
D ．13种 10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,0(,)1,1(,)0,1(C B A ，映 射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系
v uO '上的点),2('22y x xy P -，则当点P 沿着折线C B A --运 动时，在映射f 的作用下，动点'P 的轨迹是（ A ）
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：(本大题共5小题；每小题5分，共25分.) 11. 若)2tan(,3)tan(,2tan αβαβα-=-=则的值为
7
1
；
(A)
(B)
(C)
(D)
12、已知P 是椭圆9252
2y x +=1上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，2
1||||2121=⋅PF PF ，则△F 1PF 2的面积为 __33
13、某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏
的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元. 则这两筐椰子原来共有 120 个.
14、如图为类似课本研究性学习课题《杨辉三角》中的竖直平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢球从入口处自上而下沿通道自由落入C 处的概率是
8
3
15、已知53
2
)51(x
x -
1的展开式中的常数项为T ，)(x f 是以T 为周期的偶函数，且当k kx x f x g x x f x --=-=∈)()(,]3,1[,)(,]1,0[函数内若在区间时有4个零点，则实数
k 的取值范围是 ]4
1
,0( 。

三、解答题：(本大题共6小题；共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、(本题满分12分) 已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，
2
1），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．
解：设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）
因为
12
)
1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，
由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，
若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数． ∵ x (sin =⋅b a ，x sin 2()2⋅，
11sin 2)2
1
2≥+=x ，x 2(cos =⋅d c ，1)(1,2)⋅ 122cos ≥+=x ，
∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2
+>+⇔>⋅⋅x f x f f f d c b a 1sin 22
+⇔x
02cos 222cos 12cos 122cos <⇔+>+-⇔+>x x x x 02cos <⇔x 2
ππ2+
⇔k 2
3π
π22+
<<k x ，Z ∈k ． ∵ π0≤≤x ， ∴ 4
π34π<<x ． 当0<m 时，同理可得4π0<≤x 或
π4π
3≤<x ． 综上：)()(d c b a ⋅⋅>f f 的解集是当0>m 时，为}4
π
34π|{<<x x ； 当0<m 时，为4π0|{<≤x x ，或
}π4
π
3≤<x ． 17、（本题满分12分）
甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字，就是其获得奖金，取后放回同时该人摸奖结束。

规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得奖金减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会。

（Ⅰ）求甲、乙两人均获得1000元奖金的概率； （Ⅱ）试求甲抽得奖金数的期望值；
解：（Ⅰ）甲从四个小球中任取一个，有四种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率是
1
4
（2分）同理，乙从中四个小球中任取一个，能取到1000元奖金的概率也是
1
4
，由于甲抽到1000元与乙抽到1000元之间是相互独立的，……（4分），因此甲、乙两人均抽中1000元奖金的概率是111
.4416
p =
=……（5分） （Ⅱ）设甲摸得的奖金数为随机变量ξ，则ξ可能的取值有：1000，800，600，500，400，300，0共7种……（7分）依题意有P （ξ=1000）= P （ξ=800）P （ξ=600）=1
4
；……（8分） ξ=500表示第一次抽到0元，第二次抽到1000元，故减半为500元， ∴P （ξ=500）=P （ξ=400）=P （ξ=300）=P （ξ=0）=111
.4416
=……（9分） 因此，ξ的分布到如下：
故甲摸得的奖金数的期望值是 E ξ=1111111
10008006005004003000675()44416161616
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元…（12分）
18、（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，底面是等腰直角三角形，
90=∠ACB ，侧棱
21=A A ，D 、E 分别是C C 1与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ．
（1）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）; （2）求点1A 到平面AED 的距离．
（1）3
2
arcsin
……………………………6分
（2）3
6
2……………………12分
19、（本小题满分12分）
已知函数)1()1ln(
)(+-+=x a x x x f ，其中a 为常数. （1）若当0)(),1[>'+∞∈x f x 时，恒成立，求a 的取值范围；
（2）求1)()(+-
'=x ax
x f x g 的单调区间. 解：（1）x
x x a a x x x x f +++<>-+++='1)1ln(01)1ln()(，则……2分 令2
)1(1
11)(1)1ln()(x x x h x x x x h ++
+='++
+=，则 E
G C
1A
1
C 1
B D
A B
当，时，0)(),1[>'+∞∈x h x ∴),1[)(+∞在x h 上单调递增， ∴，2ln 21)1(+=
<h a ∴a 的取值范围是)2ln 2
1
,(+-∞ ………6分 （2）2
)
1(2)(),1(1)1()1ln()(+-+='+∞-∈-+-+
+=x a
x x g x a x x a x x g ，， ①当a >1时，)(0)()2,1(x g x g a x ，，<'--∈是减函数；
)(0)(),2(x g x g a x ，，>'+∞-∈是增函数 ………8分
②当)(,0)(),1(,1x g x g x a >'+∞-∈≤，时是增函数 …………10分 综上所述，当a>1时，增区间为),2[+∞-a ，减区间为]2,1(--a ， 当1≤a 时，增区间为),1(+∞- ……12分
20.(本题满分13分) 已知圆A ：425)2(2
2
=
++y x ，圆B ：41)2(2
2=+-y x ，动圆P 与圆A 、圆B 均外切，直线l 的方程为a x =（a ≤2
1
）.
（Ⅰ） 求动圆P 的圆心的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点B 的直线与曲线C 交于M 、N 两点，（1）求｜MN ｜的最小值；（2）若MN 的中点R 在l 上的射影Q 满足MQ ⊥NQ ，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则│PA │＝25+
r ，│PB │=2
1
+r , ∴│PA │－│PB │=2.
故点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
其方程为13
2
2
=-y x （x ≥1）. ………………………………………3分 （Ⅱ）(1)设MN 的方程为2+=my x ，代入双曲线方程，得
()
09121322
=++-my y m
.
由⎪⎩⎪
⎨⎧<>∆≠-0
,0,
0132
12y y m ，解得3333<<-m . ………………………………………5分
设()()2211,,,y x N y x M ,则
()
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-+=-+=131********
22212
m m m y y m MN . 当02
=m 时,6min =MN . ………………………………………7分 (2)由（1）知⎪⎭⎫
⎝⎛--22316,312m m m R ，⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-2316,m m a Q . 由NQ MQ ⊥,知MN RQ 2
1
=
. 所以()
2223113312m m a m -+=--，从而2
22312
11313m
m m a --=-+=. 由3
3
33<
<-
m ,得1-≤a . ………………………………………13分 另解：
(1)若MN 的斜率存在，设斜率为k ，则直线MN 的方程为)2(-=x k y ，代入双曲线方程,得0344)3(2
2
2
2
=--+-k x k x k .
由⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧>-+-=>--=+>∆≠-.0334,034,
0,032
221222
12k k x x k k x x k 解得32>k . …………………………………5分 设()()2211,,,y x N y x M ,则
MN ＝21k +│21x x -│＝6＋
63
24
2>-k .
当直线斜率不存在时，21x x =＝2，得1y ＝3，2y ＝－3.此时MN ＝6.
所以min MN ＝6. ……………………………………………7分
(2)当MQ ⊥NQ 时，│RQ │＝
2
MN ＝a x R -.①
又21x MB M －＝2
1x NB N -＝2，即1x MB M -++N x NB ＝2 ，
所以│MN │＝24-R x ， 故4
2MN +=R x . ②
将②代入①，得│MN │＝2－a 4.
由│MN │＝2－a 46≥,得a ≤－1. ………………………………………13分 21．（本题满分14分）对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的
不动点。

如果函数2()(,*)x a
f x b c N bx c
+=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。

（1）试求函数()f x 的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{}n a 满足1
4()1n n
S f a =，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；
（3）设1
n n
b a =-
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<。

（1）设
22(1)0(1)x a
x b x cx a b bx c
+=⇒-++=≠- 201201c b
a b ⎧
+=-⎪⎪-⇒⎨⎪⨯=⎪-⎩
∴012a c b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ∴2()(1)2x f x c x c =+- 由21
(2)1312
f c c --=<-⇒-<<+ 又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b ==
∴2
()(1)2(1)
x f x x x =≠- …… 3分
于是2222
22(1)22()4(1)2(1)
x x x x x
f x x x ---'==-- 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x << 故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，
单调减区间为(0,1)和(1,2) ……4分
（2）由已知可得22n n n S a a =-， 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=- 两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+=
∴1n n a a -=-或11n n a a --=-
当1n =时，2111121a a a a =-⇒=-，若1n n a a -=-，则21a =这与1n a ≠矛盾 ∴11n n a a --=- ∴n a n =- ……6分
于是，待证不等式即为111ln 1n n n n
+<<+。

为此，我们考虑证明不等式
111ln ,01x x x x x
+<<>+ 令11,0,t x x +=>则1t >，11
x t =-
再令()1ln g t t t =--，1
()1g t t
'=- 由(1,)t ∈+∞知()0g t '>
∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于是1ln t t -> 即11
ln
,0x x x x
+>> ① 令1()ln 1h t t t =-+，22111
()t h t t t t
-'=-= 由(1,)t ∈+∞知()0h t '>
∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是1
ln 1t t
>-
即11
ln ,01
x x x x +>>+ ② 由①、②可知
111ln ,01x x x x x
+<<>+ ……10分 所以，
111ln 1n n n n +<<+，即1111ln n n
n a n a ++-<<- ……11分 （3）由（2）可知1n b n =
则111
123n T n
=++++ 在
111ln 1n n n n +<<+中令1,2,3,,2007n =，并将各式相加得 111232008111
ln ln ln 1232008122007232007
+++<+++<++++
即200820071ln 2008T T -<< ……14分。