【数学】湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考试题(文)

湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考
数学试题（文）
第Ⅰ卷
一、选择题
1.已知集合{}(,)|2M x y x y =+=，{}(,)|2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）
A ．{}0,2
B ．(2,0)
C ．{}(0,2)
D ．{}(2,0)
2.欧拉公式i e cos isin x
x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i
e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知函数2
lg(54)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（ ） A ．
5
3
B ．53
-
C ．
52
D ．52
-
4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A ．
110
B ．
16
C ．
15
D ．
56
5.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，A ，B ，C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（ ）
6.设等差数列{}n a 满足27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得0n S >的最大
的自然数n 是（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
7.如图程序框图中，输入ln 2x =，3log 2y =，1
2
z =
，则输出的结果为（ ）
A ．ln 2
B ．3log 2
C ．
12
D ．无法确定
8.已知双曲线
22
142
x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）
A ．4
B ．4(1
C ．
D
9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且s i n ()3
2
c B π
+
=
，20CA CB ⋅=，7c =，则ABC ∆的内切圆的半径为（ ）
A B ．1 C ．3
D
10.抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点F 与双曲线2
2
221y x -=的一个焦点重合，过点F
的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ，若OMN ∆的面
积为
1
2
，则||AF 的长为（） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：
原点处标0，点(1,0)处标1，点(1,1)-处标2，点(0,1)-处标3，点(1,1)-
-处标4，点(1,0)-
处标5，点(1
,1)-处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签2
2017的格点的坐标为（ ）
A ．(2017,2016)
B ．(2016,2015)
C ．(1009,1008)
D ．(1008,1007)
12.已知函数3()1f x x a =-++（
1
e e
x ≤≤，e 是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．310,
2e ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
B ．3
0,e 4⎡⎤-⎣⎦
C ．3
312,e 4e ⎡⎤+-⎢
⎥⎣⎦
D ．3[e 4,)-+∞， 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题
13.若变量x ，y 满足不等式组20,
5100,80,
x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
则2y z x =+的最大值为 ．
14.如图，有5个全等的小正方形，BD xAE yAF =+，则x y +的值是 ．
15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为 ．
16.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，称1
2
S S 为“规划合理度”，则“规划合理度”的最小值是 ．
三、解答题
17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=，981S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令12
1
n n n b a a ++=
，12n n T b b b =+++…，若300n T m -≤对一切*n N ∈成立，求实
数m 的最小值．
18.如图所示的矩形ABCD中，1
2 2
AB AD
==，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且//
EF AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60︒，连接BD，FD.
（1）探究：在线段EF上是否存在一点M，使得//
GM平面BDF，若存在，说明点M 的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求三棱锥G BDF
-的体积的最大值，并计算此时DE的长度．
PM溶度，制19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 2.5
定了空气质量标准：
某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；
（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：
列联表，并回答是否有90%根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22
的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20.已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：
24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3
MF =
． （1）求椭圆1C 的方程；
（2）与圆22
(1)1x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点A ，B ，
若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数2
λ的取值范围．
21.已知函数()ln f x x =，2
1()2
g x ax bx =
+，0a ≠． （1）若2b =，且()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不
平行．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,
x m y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
24
1sin ρθ
=+，且直
线l 经过曲线C 的左焦点F ． （1）求m 的值及直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
若关于x 的不等式||x a b +≤的解集为[]6,2-． （1）求实数a ，b 的值； （2）若实数y ，z 满足1||3ay z +<
，1||6y bz -<，求证：2||27
z <．
【参考答案】一、选择题
1-5:DBCBA6-10:CABDA11、12：CB 二、填空题
13.1 14.1 15.64π3
16.9
4
三、解答题
17.解：（1）∵等差数列{}n a 中，11326a a +=，981S =，
∴75226,981,a a =⎧⎨=⎩解得7513,9,
a a =⎧⎨=⎩∴7
5139
2752a a d --===-， ∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-． （2）∵1211111
()(21)(23)22123
n n n b a a n n n n ++=
==-++++w ，
∴1111111111()()2355721232323
n T n n n =
-+-++-=-+++…， ∵
111()2323
n -+随着n 的增大而增大， ∴{}n T 递增，又
1
023
n >+，
∴1
6
n T <
，∴5m ≥， ∴实数m 的最小值为5．
18.（1）证明：如图所示，取线段EF 的中点M ， 因为G 为线段ED 的中点，M 为线段EF 的中点， 故GM 为EDF ∆的中位线，故//GM DF ，
又GM ⊄平面BDF ，DF ⊂平面BDF ，故//GM 平面BDF ．
（2）解：∵//CF DE ，且AE 与CF 的夹角为60︒， 故AE 与DE 的夹角为60︒， 过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ，
所以DE EF ⊥，AE EF ⊥，故DP 为点D 到平面ABFE 的距离，
设DE x =，则4AE BF x ==-， 由（1）知//GM DF ， 故
1111(4)3322)G BDF M BDF D MBF MBF V V V S DP x x
x x ---∆⎡⎤
===⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦=
-⋅≤
当且仅当4x x -=时等号成立，此时2x DE ==． 故三棱锥G BDF -
DE 的长度为2． 19.解：（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.0520.1⨯=，
由频率分布直方图可知：(0.0040.0060.005)500.11m +++⨯+=，解得0.003m =． （2）因为空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为0.3:0.152:1=，
按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记作1A ，2A ，3A ，4A ， 空气中度污染天气被抽取2天，记作1B ，2B ，
从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A
B ，12(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个，
记事件A 为“至少有一天空气质量中度污染”，则事件A 所包含的基本事件有：11(,)A B ，
12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共9
个， 故93
()155
P A =
=， 即至少有一天空气质量中度污染的概率为35
． （3）列联表如下：
由表中数据可得2
2
240(90223890) 3.214 2.70618060128112
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯， 所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．
20.解：（1）由题意得1(0,1)F ，所以22
1a b -=，又由抛物线定义可知15
||13
M MF y =+=
，
得23M y =
，于是易知2()3M ，从而27||3
MF ==， 由椭圆定义知，122||||
a MF MF =+4=，得2a =，故23
b =， 从而椭圆1C 的方程为
22
134
x y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则由OA OB OP λ+=知，120x x x λ+=，
120y y y λ+=， 且22
00134
x y +=，① 又直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）与圆22
(1)1x y ++=
1=，
由0k ≠，可得2
21t
k t =
-（1t ≠±，0t ≠），② 又联立22
(),
4312,
y k x t x y =+⎧⎨
+=⎩消去y 得22222
(43)63120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立，
且2122643k t x x k +=-+，22122
312
43k t x x k
-=+， 所以12122
8()243kt
y y k x x kt k +=++=
+，
所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++，代入①式，得4222
222222
12161(43)(43)k t k t k k λλ+=++，
所以22
2
2
443k t k λ=+，
又将②式代入得，2222411()1t t
λ=
++，0t ≠，1t ≠±，
易知22211(
)11t t ++>，且22211()13t t ++≠，所以2
44(0,)(,4)33
λ∈． 21.解：（1）2b =时，21()ln 22h x x ax x =--，则1'()2h x ax x =--221ax x x
+-=-，
因为函数()h x 存在单调递减区间，所以'()0h x <有解， 又因为0x >，则2
210ax x +->有0x >的解， 所以22121
(1)11a x x x
>
-=--≥-， 所以a 的取值范围为(1,0)(0,)-+∞．
（2）设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，120x x <<， 则点M ，N 的横坐标为122x x x +=
，1C 在点M 处的切线斜率为12112
2
12
|x x x k x x x +===+，
2C 在点N 处的切线斜率为121222
()
|
2
x x x a x x k ax b b +=
+=+=+， 假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行，则12k k =，即1212()2
2
a x x
b x x +=++，
则
222221212122112121122()()()()()ln ln ,
222
x x a a a
x x b x x x bx x bx y y x x x x -=-+-=+-+=-=-+
所以2
212
11
2(
1)
ln 1x x x x x x -=+，设21x
t x =，则2(1)ln 1t t t -=+，1t >，①
令2(1)()ln 1t r t t t -=-+，1t >，则2
22
14(1)'()(1)(1)t r t t t t t -=-=
++， 因为1t >时，'()0r t >，所以()r t 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0r t r >=，
则2(1)
ln 1t t t
->
+，这与①矛盾，假设不成立， 故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行． 22.解：（1）因为曲线C 的极坐标方程为2
2
41sin ρθ
=
+，即222
sin 4ρρθ+=，将2
2
2
x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22
142
x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为
22
142
x y +=，于是2222c a b =-=
，(F ， 直线l 的普通方程为x y m -=
，将(F
代入直线方程得m =，所以直线l 的普
通方程为0x y -=．
（2）设椭圆C
的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos )θθ（π
02
θ<<
），所以椭圆C
的内接矩形的周长为2(4cos ))L θθθϕ=+=+
（其中tan ϕ=，
此时椭圆C
的内接矩形的周长取得最大值
23.解：（1）由||x a b +≤，得b x a b -≤+≤，即b a x b a --≤≤-，则6,
2,b a b a --=-⎧⎨
-=⎩
解得2,4a b =⎧⎨=⎩
．
（2）由（1）可知，1|2|3y z +<
，1
|4|6
y z -<，
又因为9|||(2)2(4)||2|2|4|z y z y z y z y z =+--≤++-1122363<+⨯=，所以2||27
z <．。