第五节 多自由度体系的水平地震作用
工程结构抗震设计基础 Part.1 第2章2 结构的弹性地震反应分析与抗震验算规定
2.8 建筑结构的抗震验算规定 2.8.1 一般规定 1、地震作用及计算方法 总的考虑： (1) 在抗震计算中，一般可在建筑结构的两个主轴方向 分别考虑水平地震作用，各方向的水平地震作用由该方 向的抗侧力构件承担； (2) 有斜交的抗侧力构件的结构，宜分别考虑各抗侧力 构件方向的水平地震作用；
(3) 对于质量和刚度明显不均匀、不对称的结构，应
(3) 按式(3-110)求顶部附加水平地震作用Δ Fn；
(4) 按式(3-111)求各质点的水平地震作用Fi(i＝1,2,…,n)； (5) 按力学方法求各层结构的地震作用效应。
《例题2-7》
试按振型分解法和底部剪力法计算下图所示三层框架 结构相应于多遇地震时的各楼层地震剪力。设防烈度8度，
近震，场地类别Ⅲ类。 (ml＝116620 kg，m2＝110850kg，
(弯矩、剪力、轴力或变形等)； 最后，按一定的组合原则，将各振型的作用效应
进行组合便得到多自由度体系的水平地震作用效应。
1
振型的地震作用
单自由度：
多自由度： 振型分解后，相应于振型j质点i的位移地震反应 质点产生的惯性力为质点所受的地震作用：
2 振型的最大地震作用 利用反应谱，可求出振型的最大地震作用：
或
结构底部总剪力FEk为
FEk
2 1GE FEj j 1 n n j Gi X j ji G j 1 1 i 1 E n 2
(3 102)
记
所以
FEk 1Geq
(3 105)
式中：FEk——结构总水平地震作用(底部剪力)标准值； α 1——相应于结构基本周期T1时的地震影响系数值，按图3-25反应谱 或式(3-40)确定； Geq——结构等效总重力荷载； GE——结构总重力荷载代表值，GE =Σ Gi , Gi为集中于质点i的重力 荷载代表值(见后面式(3-120))。 β ——等效总重力荷载换算系数，对于单质点体系等于1.0，对于二 层以上的多层建筑，其值在0.8～0.98之间。《抗震规范》规定，多质点体 系取0.85；
《建筑结构抗震》课程教学大纲
《建筑结构抗震》教学大纲课程名称：建筑结构抗震（Resisting Earthquake Of课程代码： 07116010The Building）课程类别：学科专业课课程性质：必修（选修）总学时：48 理论学时：48学分：3先修课程：工程力学、结构力学、混凝土结构、钢结构设计原理-适用专业：土木工程专业开课院部：建筑工程学院一、课程性质、目的课程性质：地震是一种自然灾害，强烈地震会造成建筑物倒塌或损坏，我国作为一个地震多发频发的国家，故建筑结构抗震是土木工程专业的专业必修课。
本课程主要介绍地震作用的基本原理及结构抗震的设计方法，使学生掌握结构抗震的基本理论及设计方法，具有较强的实用性。
课程目的：本课程的目的是介绍地震作用的基本原理及结构抗震的设计方法，通过本门课程的学习，使学生初步理解与掌握建筑结构抗震的概念、原则和方法，结构地震作用的计算原理，多层钢筋混凝土结构和砌体结构的抗震设计，为学生进行毕业设计以及今后对实际工程进行抗震设计打下基础。
？二、课程内容和建议学时分配第一章地震与抗震概论 2课时【教学基本要求】1、了解地震及地震动的基本知识，熟悉抗震设防目标；2、掌握地震震级、地震烈度及抗震设计的总体要求。
【教学内容】1、地震与地震动；2、地震震级与地震烈度；{3、地震灾害概说；4、工程抗震设防；5、抗震设计的总体要求。
【教学重点和难点】重点：1、构造地震的成因及地震的基本术语；2、建筑抗震设防依据及我国抗震设防中的“三水准、两阶段”。
难点：*1、地震震级与地震烈度；2、抗震设计的总体要求。
第二章场地与地基 4课时【教学基本要求】1、了解建筑场地；2、掌握场地土及场地覆盖层厚度的基本概念；3、熟练应用天然地基及基础抗震承载力验算方法。
【教学内容】>1、场地划分与场地区划；2、地基抗震验算；3、地基土液化及其防治。
【教学重点和难点】重点：1、场地地段的划分、场地类别的划分；2、地基基础抗震验算，天然地基及基础抗震承载力验算；3、地基土液化的判别，软土地基抗震措施。
浅谈计算水平地震作用的两种方法
表 1-2 各振型的剪力值及贡献率
第二振型
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ振型
剪力
贡献率
剪力
贡献率
0.75
1.1%
0.23
——
（-0.62） 1.3% （-0.53） 1.0%
（-1.05） 15.1%
0.39
1.9%
层间剪力
6.96 5.28 2.70
从表 1-2 知，各个振型在地震总反应中的贡献将随着频率的增加而迅速减少， 故频率最低的几个振型控制着结构的最大地震反应。因此在计算中，一般只算 2-3 个振型即可。
学报，2008 年（增刊 1).
[1] 中华人民共和国建设部主编. GB5011-2010 建筑抗震设计规范[S].北京：中国建筑工业出 版社，2010.
[2] 王社良.抗震结构设计（第 3 版）[M].武汉：武汉理工大学出版社，2007. [3] 金春福. 浅谈建筑结构抗震设计方法[J]. 中国科技信息 2006 年第 1 期. [4] 黄吉锋,邵弘,杨志勇. 复杂建筑结构竖向地震作用的振型分解反应谱分析[J]. 建筑结构
（1-1）
式中 F ——作用在第 j 振型第 i 质点上的地震作用绝对最大标准值；
α ——相应于第 j 振型自振周期T 的地震影响系数，按图 1-1 确定；
γ ——j 振型的振型参与系数，可按式（1-2）计算；
X ——j 振型 i 质点的水平位移，即振型位移；
m ——集中于 i 质点的质量；
g——重力加速度；
∑
γ=
∑
(1-2)
F = ∑F
（1-3）
式中 F ——第 i 质点水平地震作用效应； F ——j 振型 i 质点的地震作用效应。
抗震设计中反应谱的应用
抗震设计中反应谱的应用一．什么就是反应谱理论在房屋工程抗震研究中,反应谱就是重要的计算由结构动力特性所产生共振效应的方法。
它的书面定义就是“在给定的地震加速度作用期间内,单质点体系的最大位移反应、速度反应与加速度反应随质点自振周期变化的曲线。
用作计算在地震作用下结构的内力与变形”,反应谱理论考虑了结构动力特性与地震动特性之间的动力关系,通过反应谱来计算由结构动力特性(自振周期、振型与阻尼)所产生的共振效应,但其计算公式仍保留了早期静力理论的形式。
地震时结构所受的最大水平基底剪力,即总水平地震作用为:FEK = kβ(T)G式中,k为地震系数,β(T)则就是加速度反应谱Sa(T)与地震动最大加速度a的比值,它表示地震时结构振动加速度的放大倍数。
β(T)=Sa(T)/a反应谱理论建立在以下基本假定的基础上:1)结构的地震反应就是线弹性的,可以采用叠加原理进行振型组合;2)结构物所有支承处的地震动完全相同:3)结构物最不利地震反应为其最大地震反应:4)地震动的过程就是平稳随机过程。
二．实际房屋抗震设计中的应用为了进行建筑结构的抗震设计,必须首先求得地震作用下建筑结构各构件的内力。
一般而言,求解建筑结构在地震作用下构件内力的方法主要有两种,一种就是建立比较精确的动力学模型进行动力时程分析计算,这种方法比较费时费力,其精确度取决于动力学模型的准确性与所选取地震波就是否适当,并且对于工程技术人员来说,这种方法不易掌握;第二种方法就是根据地震作用下建筑结构的加速度反映,求出该结构体系的惯性力,将此惯性力作为一种反映地震影响的等效力,即地震作用,然后进行抗震计算,抗震规范实际上采用了第二种方法,即地震作用反应谱法。
实践也证明此方法更适合工程技术人员采用。
由于目前抗震规范中的地震作用反应谱仅考虑结构发生弹性变形情况下所得的反应谱,因此当结构某些部位发生非线性变形时,抗震规范中的反应谱就不能适用,而应采用弹塑性反应谱来进行计算。
2016春华南理工建筑结构抗震随堂练习答案
2016年春华南理工网络教学建筑结构抗震随堂练习答案第一章结构抗震设计的基本知识·1.1地震的基本知识1.建筑抗震设计中所提到的地震主要指（）A.构造地震B.火山地震C.陷落地震D.诱发地震答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.下列关于地震波的说法错误的是（）A.地震波只有纵波和横波两种B.纵波相对于横波来说，周期较短，振幅较小C.横波的传播方向和质点振动方向垂直，纵波的传播方向和质点震动方向一致D.建筑物和地表的破坏主要以面波为主答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.关于地震震级和地震烈度，下列说法正确的是（）A.两者都是表达地震发生时能量的大小B.一次地震只有一个震级一个烈度C.一次地震只有一个震级，但不同地区的地震烈度不同D.震级表达地震时建筑物的破坏程度，烈度表达地震释放的能量大小答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C4.地震烈度和下列哪些因素无关（）A.地震的震级B.地震的持续时间C.震中距D.地震的类型答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D5.近震与远震，下列说法中（）是正确的?A.近震指距震中距离较近的地震B.远震的地震影响比近震要小；C.远震是某地区所遭受地震影响来自设防烈度比该地区设防烈度大二度或二度以上地区的地震；D.震级较大、震中距较远的地震，对周期较短的刚性结构的破坏，比同样烈度震级较小，震中距较近的破坏要重。
答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.实际地震烈度与下列何种因素有关（）A.建筑物类型B.离震中的距离C.行政区划D.城市大小答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B1.2地震的活动性1.以下地区不是世界主要地震带的是（）。
A．环太平洋地震带 B.沿北冰洋、大西洋和印度洋中主要山脉的狭窄浅震活动带C．南极洲 D.欧亚地震带答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.3地震震害1.地震的次生灾害有（）。
第五节 水平地震作用和风荷载计算
第五章水平地震作用和风荷载计算第一节横向水平地震作用计算一、重力荷载计算计算结构在地震作用下的动力反应时要采用集中质量法，即计算地震作用时的重力荷载G是假设集中作用在各层楼盖处的集中作用力，集中质量的界限范围应该取为：1/2h i～1/2h i+1，i＝1，2，……，n。
h为楼层高度，n为结构的层数。
（一）第11层重力荷载代表值1、结构构件重量屋面板重量：（33．6＋1.5×2）2×6.57＝8800.91kN，次梁重量：[25×0.3×（0.6－0.14）＋17×0.01×（0.6－0.14）×2＋17×0.01 ×0.3] ×(36.6×3+8.7×2) +25×0.3×（0.4－0.14）＋17×0.01×（0.4－0.14）×2＋17×0.3×0.01×1.35×20+2.14×（33.6＋1.35×2）×4=848.51kN,主梁重量：（25×0.4×（0.8－0.14）＋17×0.01×（0.8－0.14）×2＋17×0.01 ×0.4）×（33.6×5+8.4×3+8.4×3）+（25×0.3×（0.8－0.14）＋17×0.01×（0.8－0.14）×2＋17×0.01×0.3）×（7.2×4+7.175×3）＝1767.48kN，合计楼盖重量：8800.91+848.51+1767.48＝11416.90kN。
框架柱重量：（25×0.7×0.7＋17×0.01×0.7×4）×（3.5－0.8）×7+（25×0.6×0.6＋17×0.01×0.6×4）×（3.5－0.8）×12＝545.48kN，剪力墙重量：{（25×0.3×9.625＋17×0.01×9.625×2）×[（3.5－0.14）－25×2.2×0.3×2.4－25×0.85×0.3×1.7]}+ [25×0.2×9.625×（3.5－0.14）]+ [75.46×（3.5－0.14）－25×1.2×0.3×2.1×3－25×1.85×0.3×2.1]+[ 75.46×（3.5－0.14）－25×1.2×0.3×2.1×2－25×1.5×0.3×2.1]+ (25×0.2×7.225＋17×0.01×7.225×2)×（3.5－0.14）+[75.46×（3.5－0.14）－25×1.7×0.3×2.1]+ [25×19.4×0.3×（3.5－0.14）－25×0.8×0.3×2.0×2－25×2.375×0.3×2.1－25×3.25×0.3×2.8]+ 25×2.4×0.2×（3.5－0.14）×2+25×[2.4×0.2×（3.5－0.14）×2＋25×3.25×0.3×0.7]+ [25×2.4×0.2×（3.5－0.14）×2－25×1.2×0.2×2.1]+ [25×3.3×0.2×（3.5－0.14）－25×1.4×0.2×2.1]+ [25×19.4×0.3×（3.5－0.14）－25×0.85×0.3×1.7－25×3.25×0.3×2.8]=2298.91kN,合计竖向构件总重量：545.48+2298.91＝2844.39kN2、非结构构件重量隔墙重量：11.8×0.19×（3.5－0.4）×[（9.9×3＋6.3×4＋4.2×12＋6.5×5＋3.3×2＋1.8×2）+（36.6×1＋9.9×1＋1.8×4＋5.4×1＋6.6×10＋28.8×1）]=2517.85kN,玻璃幕墙重量：1.2×36.6×3.5×4＝614.88kN，合计非结构构件重量：2517.85+614.88＝3132.73kN。
结构抗震设计原理》复习思考题答案
地震按其成因分为哪几种类型按其震源的深浅又分为哪几种类型答：构造地震、火山地震、陷落地震、爆炸地震、诱发地震。
浅源地震、中源地震、深源地震。
什么是地震波地震波包含了哪几种波各种地震波各自的传播特点是什么，对地面和建筑物的影响如何答：地震引起的振动以弹性波的形式从震源向各个方向传播并释放能量（波动能），这就是地震波。
它包括体波和面波。
特点：体波中，纵波周期短，振幅小，速度快，产生颠簸，可以在固体液体中传播。
横波周期长，振幅大，只能在固体中传播，产生摇晃。
面波振幅大，周期长，只能在地表附近传播，能量大，破坏大，产生颠簸摇晃。
故面波的危害最大。
什么是震级什么是烈度、基本烈度和抗震设防烈度三种烈度如何确定答：震级是表征一次地震大小或强弱的等级，是地震释放能量多少的尺度。
烈度：表示某一地点地面震动的强烈程度或者说地震影响的强弱程度。
确定方法：当设计基准期为五十年时，50年内众值烈度的超越概率为%，这就是第一水准的烈度。
基本烈度：在50年期限内，一般场地条件下，可能遭遇超越概率为10%的地震烈度值。
确定方法：一般情况下，取50年内超越概率10% 的地震烈度，为第二水准烈度。
抗震设防烈度：按国家规定的权限批准作为一个地区抗震设防依据的地震烈度。
确定方法：一般情况下，取50年内超越概率10% 的地震烈度。
确定方法：它所产生的烈度在50年内的超越概率为2%，作为第三水准烈度。
基本烈度与众值烈度相差度，基本烈度与罕遇烈度相差1度。
简述众值烈度、基本烈度和罕遇烈度的划分及其关系。
答：当设计基准期为五十年时，50年内众值烈度的超越概率为%，这就是第一水准的烈度。
一般情况下，取50年内超越概率10% 的地震烈度，为第二水准烈度。
烈度在50年内的超越概率为2%，作为第三水准烈度。
基本烈度与众值烈度相差度，基本烈度与罕遇烈度相差1度。
何谓“抗震概念设计” “抗震概念设计”包括哪些方面的内容答：定义：抗震概念设计是根据地震灾害和工程经验等形成的基本设计原则和设计思想，进行建筑和结构总体布置并确定细部的过程。
建筑结构抗震设计与实例第5章
3) 质量和刚度明显不对称的结构，应考虑双向水平 地震作用下的扭转影响。其他情况，可以采用调 整地震作用效应的方法计入扭转影响；
4) 不同方向抗侧力结构的共同构件，应考虑双向水 平地震作用的影响。
5) 8度和9度的大跨度结构、长悬臂结构及9度时的 高层建筑，应考虑竖向地震作用。
8度Ⅲ、Ⅳ场地
＞80
9度
＞60
表5.2 地震9度
多遇地震
18
35
70
（55） （110） 140
罕遇地震
—
220 400 （310） （510） 620
三、重力荷载代表值的计算
❖ 进行结构抗震设计时考虑的重力荷载称为重力荷载 代表值。重力荷载包括恒载和活载。由于地震发生 时，活载往往达不到其标准值，因此，在计算质点 的重力荷载可对活载进行折减按P98表5.3采用。
输入加速度调整
当结构采用三维空间模型等需要双向（2个水平 方向）或3向（2个水平方向和1个竖向）地震波输入 时，其加速度最大值通常按下列比例调整： 1（水平1）：0.85（水平2）：0.65（竖向）
表5.1 采用时程分析的房屋高度范围
烈度、场地类型 房屋高度范围（米）
7度及8度Ⅰ、Ⅱ类场地
＞100
2. 乙类建筑：地震作用应符合本地区抗震设防烈度
要求。一般情况6~8度时，提高1度进行抗震设防， 9度时应比9度设防更高的要求。
3. 丙类建筑：地震作用和抗震措施均应符合本地区
抗震设防烈度要求。
4. 丁类建筑：一般情况下（具体规定除外），地震
作用应符合本地区抗震设防烈度要求，抗震措施可 适当降低，但6度抗震时不降低。 5. 抗震设防烈度为6度时，除特殊要求外，一般情况 下对乙类、丙类和丁类建筑可不进行地震作用计算。
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
多自由度体系的水平地震作用(精)
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
地震作用和结构抗震设计要点3
地基与结构相互作用的考虑
《抗震规范》规定 1)结构抗震计算，一般情况下，可不考虑地基与结构相
互作用的影响； 2)8度和9度时建造在Ⅲ，Ⅳ类场地土上，采用箱基、刚
性较好的筏基和桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑， 当结构基本周期处于特征周期的1.2倍至5倍范围时， 若计入地基与结构动力相互作用的影响，对刚性地基 假定计算的水平地震剪力可按下列规定折减，其层间 变形可按折减后的楼层剪力计算。
mg(
xg max )( g
Sa ) xg max
Gk
G
为地震影响系数， 质点所受水平地震力与该质点重力之比。
我国《建筑抗震设计规范》（GB 50011-2010） 将地震影响系数曲线分为4个部分，覆盖的房屋 自振周期从0至6S。
加速度影响曲线，无量刚化，弹性反应谱
GB 50011-2010, Fig. 5.1.5
FXji j tj X jiGi FYji j tjYjiGi Ftji j tj ri2 jiGi
单向地震作用下
SEk
mm
jk S j Sk
j 1 k 1
双向地震作用下
SEk SEk
S
2 x
(0.85S y )2
S
2 y
(0.85S x )2
时程反应法
适用情况：
特别不规则的建筑，甲类建筑和表中所列的高层建筑
2max
When：Tg Ti 5Tg
（ Tg T
） 2 m ax
加速度影响曲线
When : 5Tg Ti 6.0s [2 0.2 1 (T 5T g)]max
Geq 结构等效总重量
For SDOM,
For MDOM,
Geq =G1
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
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反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
多自由度弹性体系地震
推动相关领域科技
进步
多自由度弹性体系地震反应研究 涉及土木工程、力学、地震学等 多个学科领域，其研究成果将推 动相关领域的科技进步。
服务国家重大工程
建设
随着我国经济社会的快速发展， 重大工程建设日益增多。研究多 自由度弹性体系地震反应，对于 保障国家重大工程建设的安全具 有重要意义。
02 多自由度弹性体系基本概 念及理论
多自由度弹性体系定义与特点
定义
多自由度弹性体系是指具有多个独立 位移自由度的结构系统，在地震等动 力作用下表现出弹性响应。
特点
多自由度弹性体系具有多个振动模态 和频率，各模态之间可能相互耦合， 体系的动力响应复杂。
地震波传播原理及影响因素
地震波传播原理
地震波是由震源释放的能量在地壳中传播形成的弹性波，包括体波（纵波和横波）和面波等多种类型 。
减震控制技术应用局限性
尽管减震控制技术在理论上具有显著效果， 但在实际应用中受到多种因素制约，如成本 、技术成熟度等。
未来发展趋势预测及建议
高性能计算技术应用
随着高性能计算技术的不断发展，未来有望实现对多自由度弹性体 系地震响应的更快速、更精确模拟。
非线性因素深入研究
针对多自由度弹性体系的非线性因素，开展更深入的研究，提高地 震响应预测的准确性。
减震控制技术创新与应用拓展
继续探索和创新减震控制技术，降低应用成本，拓展其在多自由度 弹性体系中的应用范围，为减轻地震灾害做出更大贡献。
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结构优化措施提高抗震性能
结构体系选择
优先选择抗震性能良好的结构 体系，如框架-剪力墙结构、筒
体结构等。
结构布置优化
建筑结构抗震设计多自由度弹性体系的地震反应
2024/10/13
结构抗震设计
19
2）、主振型和自由振动方程的通解
对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入 频率方程可求得相应的n个主振型，除第一主振型外的其 它振型统称为高阶振型。
n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n
个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解
X 11
sin（1t
1）
X 21
s in（ 2 t
）
2
x（2 t）
X 12
sin（1t
1）
X 22
s in（ 2 t
）
2
其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条件确定。
由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
2024/10/13
结构抗震设计
2024/10/13
结பைடு நூலகம்抗震设计
11
则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比 值分别为：
当 时， 1
xx11（ （21 tt） ）
X 12 X 11
m112 k11 k12
当 时， 2
xx22（ （21 tt） ）
X 22 X 21
m1 2 2 k11 k12
上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
m1——集中在质点1上的质量。
自由度体系地震作用计算原理
03
抗震验算
非线性单自由度体系在任意加速度作用下反应的数值计算
分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分通常提供了最方便的解法。但是必须强调，因为在这两种方法的推导过程中都使用了叠加原理，所以它们只能适用于线性体系，也即在反应过程中休系的特性保持不变的情况。另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体系并不能视作线性的。例如，足以引起严重破坏的地震运动下的建筑物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。 对于非线性分析，最有效的方法大概是逐步积分法，在这种方法中，采用一系列短时间增量△t计算反应，而通常为了计算方便起见，取△t为等步长，在每个时刻间隔的起点和终点建立动力平衡条件，并以一个假没的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范图内体系的运动(通常忽略在时间间隔内可能产生的不平衡)。体系的非线性特性可用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的新特性来说明，利用本计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从而可得到整个反应；因此，这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体系来逼近。
单自由度体系地震反应
添加副标题
线性单自由度体系在任意加速度作用下反应的数值计算 非线性单自由度体系在任意加速度作用下反应的数值计算
结构地震反应是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为地震内力反应、地震位移反应、地震加速度反应等。结构地震反应是一种动力反应，其大小与地面运动加速度、结构自身特性等有关，一般根据结构动力学理论进行求解。结构地震反应又称地震作用效应。
按照建筑场址的场地条件、设防烈度、震中距远近等因素，选取若干条具有不同特性的典型强震加速度时程曲线，作为设计用的地震波输入。
8-多自由度体系地震反应分析
X 1i X 2i 2 X i i m mN X Ni
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
X i i2 X j m
0
振型对质量正交性的物理意义
Wij i2 X j mX i 0
T
m1 m2
X 1i X 2i
mN
X Ni
2 j
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
振型对刚度的正交性: 由3-43得
m2 X 2 j m1 2 j X1 j
m1 m2
X1 j X2j
i振型
mN 2 jX
m1 m2
X1 j X2j
mN
X Nj
j振型
j振型上的惯性力在 i振型上作的虚功
由虚功互等定理
W ji Wij
2 X i 0 ( 2 j i )X j m T
X j Wji 2 j X i m
T
X i 2 j X j m
T
X Tj mX i
m2 mn
1 , 2 ,, n T x x x x
T 1 1,1, ,1
刚度方程： K x F
图 多自由度体系的变形
x x1 , x2 ,, xn
T
多自由度体系无阻尼运动方程 多自由度有阻尼体系运动方程
设方程的解为 x sin(t ) ( 1 , 2 ,, n T 各质点振幅）
2 关于时间t微分两次得 x sin(t )
代入振动方程得：
(K 2 M ) sin(t ) 0
第五节 多自由度体系的水平地震作用
第五节 多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法多质点弹性体系地震反应同单质点弹性体系一样，可以通过运动方程的建立和求解来实现。
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系，利用振型分解和振型正交性原理，将求解n 个多自由度弹性体系的地震反应分析分解成n 个独立等效的单自由度体系的最大地震反应，分别利用标准反应谱，求得结构j 振型下，质点i 的F ，再按一般力学方法，求j 振型水平地震作用产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力和变形），最后，按一定法则将各振型的作用效应进行组合，（但应注意，这种振型间作用效应的组合，并非简单的求代数和。
）便可确定多自由度体系在水平地震作用下产生的作用效应。
由于各个振型在总的地震效应中的贡献总是以自振周期最长的基本振型（第一振型）为最大，高振型的贡献随振型阶数增高而迅速减小。
实际上，即使体系的自由度再多，也只计算对结构反应起控制作用的前k 个振型就够了，一般需考虑的振型个数k=2—3，即取前2—3个振型的地震作用效应进行组合，就可以得到精度很高的近似值，从而大胆减少计算工作量。
1、振型的最大地震作用第j 振型I 质点最大地震作用i ji j j ji G X F γα=式中： j α —— 相应于第j 振型自振周期T 的地震影响系数j γ —— j 振型的振型参与系数∑∑===n i jiin i jii j X m X m 121γ ji X —— j 振型i 质点的水平相对位移——振型位移i G —— 集中于i 质点的重力荷载代表值上述方法繁琐，工作量大，计算不方便，因此工程中为了简化计算，在满足一定条件下，可采用近似的计算法，即底部剪力法。
2、振型组合（1）SRSS （平方和开方法）∑=2j S S（2）CQC （完整二次项组合法）二、底部剪力法1、 适用条件：（1） 高度不超过40m ；（2） 以剪切变形为主（房屋高宽比小于4）（3） 质量和刚度沿高度分布比较均匀（4） 近似于单质点体系当结构满足上述条件时，结构振动位移反应以基本振型（第一振型）为主，且基本振型接近于直线。
多自由度水平地震作用
§4 多自由度体系地震反应分析
无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为：
} [ K ]{u} {0} [ M ]{u
设结构作简谐振动，其位移反应为： {u} { } sin( t ) 式中，ω—自振频率；θ—初始相位角; {ϕ}—仅与位置坐标有关的向量。 2 ([ K ] [ M ]){} 0 可以得到特征方程： 根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的 充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方 程： | [ K ] 2 [ M ] | 0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.1 动力方程的建立
实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续 分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该 是无限的。 但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于 复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有 限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般 工程设计的精度要求。 因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散 化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度 体系。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需 要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振 型的规格化。 振型规格化的方法可采用下述三种方法之一： (1)特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一 坐标值为1，其它元素按比例确定； (2)最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素 分别除以其中的最大值；
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
T {i }T [ K ]{ j } 2 { } [ M ]{ j } j i
左式不变，而对右式进行转置运算可得
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
7第七讲 多自由度弹性体系的水平地震作用
S1 (k11 x1 k12 x2 )
阻尼力
D1 (c11 x1 c12 x2 )
x x m
1 g 1
1
I
质点1的动力平衡方程
I1 + D1 + S1 = 0 得：
m1 1 c11 x1 c12 x2 k11 x1 k12 x2 m1 g x x
k11 k12 k1n 两边左乘一个 X 0 m1 T m2 t )} X T0[c](X {k)( t )} X T [ k ] X {q( t ( X M )} j [ M ][ ] X T {q ,[k ] q ,[c ] T { x j } [ M ]{ xk } X [ M ]{ I }g ( t ) M j ( j k ) x mn 0 根据振型的正交性有： 假定： k12 kknnn kkn1 11 1 m 0
2
1
2( )
j振型的反应:
记 j (t ) 为阻尼比 j ，频率 j 的SDOF体系地震位 移反应，则：
j (t ) 1
j
t 0
g ( )e j j ( t ) sin j ( t )d x
j振型的圆频率
j振型的阻尼比 (j=1,2,3… …,n)
q j (t ) j j (t )
质点的地震反应位移为：
x t X q t
第i质点的位移Leabharlann xi ( t )
j 1
n
j
j ( t ) X ji
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第五节 多自由度体系的水平地震作用
一、振型分解反应谱法
多质点弹性体系地震反应同单质点弹性体系一样，可以通过运动方程的建立和求解来实现。
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系，利用振型分解和振型正交性原理，将求解n 个多自由度弹性体系的地震反应分析分解成n 个独立等效的单自由度体系的最大地震反应，分别利用标准反应谱，求得结构j 振型下，质点i 的F ，再按一般力学方法，求j 振型水平地震作用产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力和变形），最后，按一定法则将各振型的作用效应进行组合，（但应注意，这种振型间作用效应的组合，并非简单的求代数和。
）便可确定多自由度体系在水平地震作用下产生的作用效应。
由于各个振型在总的地震效应中的贡献总是以自振周期最长的基本振型（第一振型）为最大，高振型的贡献随振型阶数增高而迅速减小。
实际上，即使体系的自由度再多，也只计算对结构反应起控制作用的前k 个振型就够了，一般需考虑的振型个数k=2—3，即取前2—3个振型的地震作用效应进行组合，就可以得到精度很高的近似值，从而大胆减少计算工作量。
1、振型的最大地震作用
第j 振型I 质点最大地震作用
i ji j j ji G X F γα=
式中： j α —— 相应于第j 振型自振周期T 的地震影响系数
j γ —— j 振型的振型参与系数
∑∑===n i ji
i
n i ji
i j X m X m 121γ ji X —— j 振型i 质点的水平相对位移——振型位移
i G —— 集中于i 质点的重力荷载代表值
上述方法繁琐，工作量大，计算不方便，因此工程中为了简化计算，在满足一定条件下，可采用近似的计算法，即底部剪力法。
2、振型组合
（1）SRSS （平方和开方法）
∑=2
j S S
（2）CQC （完整二次项组合法）
二、底部剪力法
1、 适用条件：
（1） 高度不超过40m ；
（2） 以剪切变形为主（房屋高宽比小于4）
（3） 质量和刚度沿高度分布比较均匀
（4） 近似于单质点体系
当结构满足上述条件时，结构振动位移反应以基本振型（第一振型）为主，且基本振型接近于直线。
先计算出作用于结构的总水平地震作用，也就是底部的剪力，然后将此总水平地震作用按照一定的规律在分配给各个质点。
2、 基本公式：
（1）结构底部剪力（总水平地震作用标准值）EK F
∑∑∑=====n i i
ji j j
i JI J J N I JI J G
G X G G X F V 11110γαααγα
∑==n i i G G 1
结构总水平地震作用EK F
Gq G G X G V F n j n J i ji
j j n j EK j 112
111120αγααα=⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛==∑∑∑===
∑∑==⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=n j n J i ji j j G G X q 12
11γαα1
215.1++=n n q 85
.0=q eq EK G F 1α= ∑==n i i eq G G 1
85.0
（2）质点的地震作用（质点水平地震作用标准值）
i i i i i i i i G H G X F F ηγαγα1111==≈ ① i
i
H X 1=η 质点水平相对位移与质点计算高度比例系数
质点计算高度
∑∑∑=====
=n j j j n j j i N J J EK G H G H F F 11111111ηγαηγα ∑==n j j
j EK
G H F 1
11ηγα
② EK n j j
j i
i i F H G H G F ==∑=1
（3）顶层附加水平地震作用标准值
对于基本自振周期较长的多层钢筋混凝土房屋、多层内框架砖房按上述公式分配计算所得的 比振型分解反应谱的计算结果小。
为减小这一误差，《规范》采取以下方法进行调整。
()n EK n j j
j
i i i F H G H G F δ-=∑=11 3.109 EK n n F F δ∆=
3.106
式中： —— 按 —T 曲线采用，对于多层砌体房屋、底层框架和多层内框架砖房， —— 顶部附加地震作用系数。
* 对于多层内框架砖房，
* 对于多层钢筋混凝土房屋，按表3.4采用。
* 其他房屋不考虑。
（4）鞭端效应：对于突出屋面的部位，比如屋顶间（电梯机房、水箱间等）、女儿墙、烟囱等，它们的质量和刚度相对而言突然变小，在地震作用下其地震反应随之增大，这种现象，工程称之为“鞭端效应”。
《规范》规定：
* 采用底部剪力法时，采取极大系数的方法进行调整。
其值为3，即局部突出屋顶处的地震
作用效应应按计算结果极大至3倍考虑，但增大的部分不应往下传递
（计算以下各层地震时不考虑），但与该突出部分相连的构件应予计
入。
* 采用振型分解法时，突出屋面部分可作为一个质点。
* 对于 的建筑有突出下屋时计算所得的 应置于主体房屋的顶部而不应置于局
部突出小屋的屋顶处。
* 除此之外，其他有关局部位置的剪力和弯矩，也要按有关部门规定予以调整。
Ⅱ。