【三维设计】高中数学 第一部分 第一章 §3 3.1 第二课时 等比数列的性质及应用课件 北师大版必修5

[一点通] 解等比数列应用题的步骤
(1)审题．解决数列应用题的关键是读懂题意；
(2)建立数学模型．将实际问题转化为等比数列的问题；
(3)解数学模型．注意隐含条件，数列中n的值是正整数； (4)还原．即最后转化为实际问题作出回答．
4．某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到 2012年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年 比上一年增长的百分率相同，则这个百分率是多少？ 2011年生产这种零件多少万件？
a3＋a10＝5 a3a10＝a5a8＝6 a3＝2 ⇒ a10＝3 a3＝3， 或 a10＝2.
a20 a10 2 3 7 ∴ ＝q ＝ ＝ 或 . a13 a3 3 2
2 3 答案： 或 3 2
3．已知等比数列{an}，a2a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项
a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1· qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元． (2)由(1)得a4＝a1· q3＝13.5×0.93≈9.8(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到9.8万元．
2 a11＋q＋q ＝7， ⇒ a1q＝2.
① ②
2 将 a1＝q代入①得 2q2－5q＋2＝0， 1 ∴ q＝ 2 或 q ＝ . 2
a1＝1， 由②得 q＝2
－
a ＝4， 1 或 1 q＝ . 2
－
∴an＝2n 1 或 an＝23 n.
[一点通]
理解教材新知 第 一 章 数 列 §3.1 等比 数列 第二 课时 等比 数列 的性 质及 应用 考点一
把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
3.1 等比数列
第二课时 等数列的性质及应用
已知数列{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
问题1：将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组
成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，
已知等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝7，
a1a2a3＝8.求an.
[思路点拨] 利用性质 a1a3＝a2 2，转化为 a1，a3
的方程组求解，也可以直接转化为首项 a1 和公比 q 的 方程组求解．
[精解详析] ∴a2＝2.
3 法一：∵a1a3＝a2 2，∴a1a2a3＝a2＝8.
a1＋a3＝5， 从而 a1a3＝4.
B．320
D．120
解析：由 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等比数列，得 a5＋a6＝ a3＋a42 802 ＝ ＝320. 20 a1＋a2
答案：B
a20 2． 在等比数列{an}中， a5a8＝6， a3＋a10＝5， 则 ＝________. a13
解析：由题意及等比数列的性质知
解得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1.
1 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝ . 2 故 an＝2n 1 或 an＝23 n.
－ －
法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已 知得
2 a1＋a1q＋a1q ＝7 a1q· a1q2＝8 a1· 2 a11＋q＋q ＝7 ⇒ 3 3 a1q ＝8
提示：是．公比是qk＋1.
2 问题 4：数列中，a2 ＝ a · a 是否成立？ a a9 是否成 5 3 7 5＝a1·
立？为什么？
提示：两个关系式都成立．
2 8 2 6 2 8 ∵a5 ＝(a1· q4)2＝a2 1q ， a3a7＝ (a1q )(a1q )＝ a1 q ， a1a9 ＝ 8 a1(a1q8)＝a2 q 1 ， 2 ∴a5 ＝a3a7＝a1a9.
它的首项与公比分别是多少？
提示：是．首项是ak＋1，公比仍是q.
问题2：取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个 新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首
项与公比分别是多少？
提示：是．首项是a1，公比为q2. 问题3：在数列{an}中，每隔k项取出一项，组成一 个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的 公比是多少？
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值． (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得 到多少钱？ [思路点拨] 根据题意，前后两年车的价值存在倍
数关系，所以可建立等比数列模型来解决．
[精解详析]
(1)从第一年起，每年车的价值(万元)
依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝ 13.5(1－10%)2，….
特别地，若 m＋n＝2k，m、n、k∈N＋，则 aman＝a2 k.
1 1 (4)若等比数列{an}的公比为 q，则{a }是以q为公比的等 n 比数列． (5)等比数列{an}中， 序号成等差数列的项构成等比数列． (6)若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}也为等比数列．
[例1]
解：∵a3a7＝a2a8＝36，又 a3＋a7＝15，
a3＝3 ∴ a7＝12
4 a3＝12， 或 a＝3a7 1 4 ∴q ＝ ＝4 或 q ＝ . a3 4 2 ∴q＝± 2或 q＝± . 2
[例2]
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预
测这种车每年按10%的速度贬值．
问题5：数列中a5与a8的关系怎样，an与am有何关系？
提示：a8＝a5q3，an＝amqn－m.
等比数列的常见性质 (1)等比数列{an}中，任意两项 am，an 的关系是 am＝anqm－n. (2)公比为 q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数 m， 所得数列仍是等比数列，公比仍为 q. (3)若 m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则 am· an＝ap· aq .
等比数列的运算一般有两种：一种是
基本运算，即转化为基本量，通过解方程或方程组求
解的运算；一种是性质运算，巧妙避开解方程组，这
种方法使问题简单化，起到事半功倍的效果．
1．(2012· 沈阳高二检测)已知等比数列{an}，若a1＋a2＝20， a3＋a4＝80，则a5＋a6等于 ( )
A．480
C．240