5、函数的单调性与最值(含答案)

5函数的单调性与最值
1.函数的单调性 (1)增函数、减函数
自左向右看图象是04上升的
自左向右看图象是05下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)D 叫做函数y ＝f (x )2．函数的最值
1．(1)函数y ＝1
x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0
⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.( )
(3)若函数y ＝f (x )，x ∈D 的最大值为M ，最小值为m (M ＞m )，则此函数的值域为[m ，M ]．( )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．
答案 [－1,1]，[5,7]
3函数y ＝4x －x 2＋3，x ∈[0,3]的单调递增区间是________，最小值是________，最大值是________．
答案 [0,2] 3 7
4函数f (x )＝(2a －1)x －3是R 上的减函数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12 5函数f (x )＝3
x ＋1
(x ∈[2,5])的最大值与最小值之和等于________． 答案 3
2
6．函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)
答案 D
7．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]
D ．[2，＋∞)
8．试讨论函数f (x )＝
ax
x －1
(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 解法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ·x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1
＝a (x 2－x 1)
(x 1－1)(x 2－1). 由于－1<x 1<x 2<1，
所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，
函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，
函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 解法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′
(x －1)2
＝
a (x －1)－ax (x －1)2＝－a
(x －1)2
.
当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 练习二
1．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，4)
答案 B
2．函数f (x )＝6x －x 2的单调递减区间是________． 答案 [3,6]
3．用定义法证明：f (x )＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上单调递增．
证明 ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝log 2(x 1－2)－log 2(x 2－2)＝log 2
x 1－2
x 2－2
. 又由2＜x 1＜x 2，得0＜x 1－2
x 2－2＜1.
所以log 2x 1－2
x 2－2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0.
所以f (x 1)＜f (x 2)．
所以函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．
4．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )
A.3
2 B ．－8
3 C ．－2 D ．2
答案 A
5．函数y ＝x －x －1的最小值为________． 答案 3
4
6．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧
a ，a ≥
b ，
b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x
∈R )的最小值是________．
答案 3
2
7．函数f (x )＝2a x －2020
a x ＋1的值域为________．
答案 (－2020,2)
8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案 3 9．函数y ＝
3x ＋1
x －2
的值域为________． 答案 {y |y ∈R 且y ≠3}
10．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 答案 [3，＋∞)
11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且函数f (x )在(－∞，0)上是
减函数，若a ＝f (－1)，b ＝f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫log 214，c ＝f (20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜b ＜c
答案 B
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x ≥0，
1，x <0，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围
是( )
A ．(0，2－1)
B ．(－1，2＋1)
C ．(0，2＋1)
D ．(－1，2－1) 答案 D
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(a －3)x ＋5，x ≤1，2a －log a x ，x >1，对于任意x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0
成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,3]
B ．(1,3)
C ．(1,2]
D ．(1,2) 答案 C
14．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x ∈[－2,1]时，f (x )＝x 2－2x －4，则关于x 的不等式f (x )<－1的解集为( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，3)
C ．(－1,3)
D ．(－1，＋∞) 答案 D
15．函数y ＝x －5
x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．a ＝－3
B ．a <3
C ．a ≤－3
D ．a ≥－3 答案 C
练习三
1．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 1
2 B ．f (x )＝x
3 C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
D ．f (x )＝3x
答案 D
2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( )
A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 答案 B
3．已知f (x )在R 上是减函数，a ，b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 答案 D
4．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大
小关系为( )
A ．c >a >b
B ．c >b >a
C ．a >c >b
D ．b >a >c 答案 D
5．若函数y ＝ax 与y ＝－b
x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增 答案 B
6．函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案 B
7．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
A ．y ＝
1
f (x )
在R 上为减函数 B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数 C ．y ＝2－f (x )在R 上为减函数 D ．y ＝－[f (x )]3在R 上为增函数 答案 C
8．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2，则
a ＝________.
答案 2
5
9．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．
答案 (3，＋∞)
10．已知函数f (x )＝4－mx
m －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取
值范围是________．
答案 (－∞，0)∪(1,4] 练习四
1．(2019·安徽合肥模拟)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0
答案 B
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log a x ，x >3，
mx ＋8，x ≤3.若f (2)＝4，且函数f (x )存在最小值，则实
数a 的取值范围为( )
A ．(1，3]
B ．(1,2] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33
D ．[3，＋∞) 答案 A
3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
1，x ＞0，
0，x ＝0，
－1，x ＜0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区
间是________．
答案 [0,1)
4．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0，且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a ＝________；若函数g (x )＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围为________．
答案 1
3 [－1，＋∞) 5．已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )． (1)若a ＝－2，证明：f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2
. 设x 1<x 2<－2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).
因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).
因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述，0<a ≤1.
6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1
时，f (x )<0.
(1)证明：f (x )为单调递减函数；
(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解 (1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1
x 2
>1，由于当x >1时，f (x )<0，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，
因此f (x 1)<f (x 2)，
所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
93＝f (9)－f (3)，
而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。