人教版八年级上册数学 全册全套试卷(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学
全册全套试卷（Word版含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.
(1) 求证：△ACD≌△BCE；
(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.
(3) 连接OE，直接写出线段OE 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422
-
【解析】
试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE
≌；
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45
DAC
∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．
()3OE BQ
⊥时，OE取得最小值.
试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC,DC=EC,45
ACB DCE
∠=∠=，
45
ACD DCB ECB DCB
∴∠+∠=∠+∠=，
∴∠ACD=∠BCE；
在△ACD和△BCE中，
,
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(SAS)
ACD BCE
∴≌；
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H，
(2)过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45
DAC
∴∠=，
ACD BCE
≌，
45
PBC DAC
∴∠=∠=，
∴在Rt BHC中,
22
424
22
CH BC
=⨯=⨯=，
54
PC CQ CH
===
，，
3
PH QH
∴==，
6.
PQ
∴=
()3OE BQ
⊥时，OE取得最小值.
最小值为：42 2.
OE=-
2．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若
AB=82，BC=16．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设
BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．
【答案】（1）4；（2）8
【解析】
【分析】
（1）过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，由点P 和点Q 同时出发，且速度相同，得出BP=CQ ，根据PF ∥AQ ，可知∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，则可得出∠B=∠PFB ，证出BP=PF ，得出PF=CQ ，由AAS 证明△PFD ≌△QCD ，得出，再证出F 是BC 的中点，即可得出结果；
（2）过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，可得BE=
12BF ，由（1）证明方法可得△PFD ≌△QCD 则有CD=
12
CF ，即可得出BE +CD =8． 【详解】
解:（1）如图①，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，
∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ ，
∵PF ∥AQ ，
∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB ，
∴∠B=∠PFB ，
∴BP=PF ，
∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，
∴△PFD ≌△QCD ，
∴DF=CD=12
CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ，
∴F 是BC 的中点，即FC=
12BC=8， ∴CD=12
CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．
如图②，点P 在线段AB 上，
过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，
易知△PBF 为等腰三角形，
∵PE ⊥BF
∴BE=12
BF ∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=
12CF ∴()111182222
BE CD BF CF BF CF BC λ+==
+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．
3．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．
（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；
（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；
（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．
【答案】（1）
212
；（2）证明见解析；（3）32【解析】
【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=
1()2
AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．
【详解】
解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222
ABC S AC BC =
⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE 是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM 与△DEN 中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE
∴△AEM ≌△DEN （AAS ）
∴ME=NE
∴点E 在∠ACB 的平分线上，
即CE 是ACB ∠的平分线
（3）由（2）可知，点E 在∠ACB 的平分线上，
∴当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，
∵△AEM ≌△DEN
∴AM=DN ，
即AC-CM=CN-CD
在Rt △CME 与Rt △CNE 中，CE=CE ，ME=NE ，
∴Rt △CME ≌Rt △CNE （HL ）
∴CM=CN
∴CN=1
() 2
AC CD
+，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE=
2
2()
2
CN AC CD
=+，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
2
(31)22 2
+=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
2
(37)52 2
+=
∴点E的运动路程为：522232
-=，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
4．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝
BD＝CD，即AD＝1
2
BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于
1
2
BC．
理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，
即可证得AH＝BC，此时AD＝1
2
BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用
的方法．
（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；
（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出
△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．
（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转
（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．
【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．
【详解】
（1）证明：如图2中，
∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，
∴AB∥CH，
∴∠BAC+∠ACH＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝∠BAC＝90°，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△HCA（SAS），
∴AH＝BC，
∴AD＝DH＝BD＝DC，
∴AD ＝12
BC ． 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：有这样分关系式．
理由：如图4中，延长ED 到H 山顶DH ＝DE ．
∵ED ＝DH ，∠EDB ＝∠HDC ，DB ＝DC ，
∴△EDB ≌△HDC （SAS ），
∴∠B ＝∠HCD ，BE ＝CH ，
∵∠B +∠ACB ＝90°，
∴∠ACB +∠HCD ＝90°，
∴∠FCH ＝90°，
∴FH 2＝CF 2+CH 2，
∵DF ⊥EH ，ED ＝DH ，
∴EF ＝FH ，
∴EF 2＝BE 2+CF 2．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF 2＝BE 2+CF 2．
证明方法类似（2）．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .
（1）如图，连接AE ，
①AE 与AC 的数量关系是__________；
②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；
（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）①根据轴对称性，即可得到答案；
②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证∆FCG是等边三角形，得GF=FC，再证∆ACG≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.
【详解】
（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AB和AE关于射线AD的对称，
∴AB=AE.
故答案是：AB=AE；
②∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，
∵ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，
∴∠ACE=1
180(602)60
2
αα⎡⎤
--=+
⎣⎦，
∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α
+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：
作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，
∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，
∴∠ABC=∠AFC=60°，
∴∆FCG是等边三角形，
∴GF=FC，
∵ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACG=∠BCF=α.
在∆ACG和∆BCF中，
∵
CA CB
ACG BCF
CG CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，
∴AG=BF，
∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AG=BF=EF，
∵AF-AG=GF，
∴AF-EF=CF.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相交于点 F，且∠CAD＝
1
2
∠ABE．
(1)求证：BF＝AC；
(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；
(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.
【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.
【解析】
【分析】
（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；
(2)由∠AEB=90°-2x ，进而得到∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，由BF ＝AB ，可得：
∠EFD=∠BFA=90°-x ，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC ，即可求解；
(3)设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，根据勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设∠CAD=x ，
∵∠CAD ＝
12
∠ABE ，∠BAC ＝90º， ∴∠ABE=2x ，∠BAF=90°-x ，
∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，
∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x ，
∴∠BAF =∠AFB ，
∴BF ＝AB ；
∵AB ＝AC ，
∴BF ＝AC ； （2）由（1）可知：∠CAD=x ，∠ABE=2x ，∠BAC ＝90º，
∴∠AEB=90°-2x ，
∵EF ＝EC ，
∴∠EFC=∠ECF ，
∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x ，
∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，
∵BF ＝AB ,
∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ，
∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，
∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；
（3）由（2）可知：EF ＝EC ，
∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，
∴AB=BF=AC=3+x ，
∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，
∵∠BAC ＝90º，
∴222AB AE BE +=，
∴222
(3)3(32)x x ++=+，
解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）
∴BF=3+x=3+1=4.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.
7．已知:三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为BC 的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出
∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出
∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.
【详解】
解：（1）连结AD ,
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD⊥BC ,BD=AD ,
∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,
又∵BE=AF ,
∴△BDE≌△ADF（SAS）,
∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）连结AD
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD=BD ,AD⊥BC ,
∴∠DAC=∠ABD=45° ,
∴∠DAF=∠DBE=135°,
又∵AF=BE ,
∴△DAF≌△DBE（SAS）,
∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
【点睛】
本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线
．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有
∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出
△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°．
∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 12
=
∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°． （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）； （3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即
11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．
由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
③当点D 在线段MA 的延长线上时．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．
由（1）
得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.
（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；
（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.
（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.
【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302
CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.
（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.
（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得
AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°
，即可证得AOP ∆是等边三角形.
【详解】
（1）∵ABC ∆为等边三角形
∴60BAC ∠=︒
∵O 为BC 中点
∴1302
CAO BAC ∠=∠=︒ 且,90AO BC AOC ⊥∠=︒
∵OA OD =
∴AOD ∆中，30D CAO ∠=∠=︒
∴180120AOD D CAO ∠=︒-∠-∠=︒
∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒
（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E
∵//OE AB
∴60EOC ABC ∠=∠=︒
60CEO CAB ∠=∠=︒
∴COE ∆为等边三角形
∴OE OC CE ==
180120AEO CEO ∠=︒-∠=︒
180120DCO ACB ∠=︒-∠=︒
又∵OA OD =
∴EAO CDO ∠=∠
在AOE ∆和COD ∆中
AOE DOC
EAO CDO
OA OD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
AOE DOC AAS
∆≅∆
∴CD EA
=
∵EA AC CE
=-
BO BC CO
=-
∴EA BO
=
∴BO CD
=，
∵AB AC
=，AD AC CD
=+
∴AD AB BO
=+
（3）AOP
∆为等边三角形
证明过程如下：
连接,
PC PD，延长OC交PD于F ∵P D
、关于OC对称
∴,90 PF DF PFO DFO
=∠=∠=︒在ODF
∆与OPF
∆中，
PF DF
PFO DFO
OF OF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
ODF OPF SAS
∆≅∆
∴OP OD
=,POC DOC
∠=∠
∵OA OD
=
∴AO=OP
∴AOP
∆为等腰三角形
过O作//
OE AB，OE交AD于E 由（2）得AOE DOC
∆≅∆
∴AOE DOC ∠=∠
又∵POC DOC ∠=∠
∴AOE POF ∠=∠
∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠
即AOP COE ∠=∠
∵AB ∥OE ，∠B=60°
∴60COE B ∠=∠=︒
∴60AOP COE ∠=∠=°
∴AOP ∆是等边三角形.
【点睛】
本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.
10．如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE .
（1）求∠DBC 的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；
（3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）∠DBC 60α=︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）BD =2AE +CE ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接CD ，由轴对称的性质可得AC=DC ，∠DCP =∠ACP =α，由△ABC 是等边三角形可得AC=BC ，∠ACB =60°，进一步即得∠BCD =602α︒+，BC=DC ，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC 、BD 相交于点H ，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE ≌△DCE ，可得
∠CAE =∠CDE ，进而得∠DBC =∠CAE ，然后根据三角形的内角和可得∠AEB =∠BCA ，即可作出判断；
（3）如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，先利用三角形的外角性质得出
∠BEC 60=︒，进而得△CME 是等边三角形，可得∠MCE =60°，ME=CE ，然后利用角的和差关系可得∠BCM =∠DCE ，再根据SAS 证明△BCM ≌△DCE ，于是BM=DE ，进一步即可得出
线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系.
【详解】
解：（1）如图1，连接CD ，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，
∠DCP =∠ACP =α，
∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠ACB =60°，
∴∠BCD =602α︒+，BC=DC ，
∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022
BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-；
（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.
理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，
∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ，
∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；
（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .
证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，
∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，
∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，
∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，
∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，
∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，
∵AE=DE ，
∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．观察下列各式:
()()2111,x x x -+=-
()()23 111,x x x x -++=-
()()324 111,x x x x x -+++=-
()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-
······
()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=
(其中n 为正整数) ;
()()3029282(51)5555251-+++++
()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+
+-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213
-- 【解析】
【分析】
（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；
（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；
（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.
【详解】
（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；
（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5
()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+
=201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦
-+ =2020(2)13
--- =2020213
-- 【点睛】
本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.
12．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1．
∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0，
∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；
（2）若代数式M ＝214
a +2a +1，求M 的最小值； （3）已知a 2+2
b 2+4
c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值． 【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=12
2. 【解析】
【分析】
（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取14
，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解．
【详解】
（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M ＝
21a 4+2a+1 ＝
14（a 2+8a+16）﹣3 ＝14
（a+4）2﹣3
∴M 的最小值为﹣3
（3）∵a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c+2＝0，
∴（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+（2c ﹣1）2＝0，
∴a ﹣b ＝0，b ﹣1＝0，2c ﹣1＝0
∴a ＝b ＝1，1c=
2 ， ∴a+b+c=12
2
.． 【点睛】
本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
13．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]
＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]
＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]
＝(1＋x)n (1＋x)
＝(1＋x)n ＋1.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
14．探究
阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()22
8060x x -+-的值”
解：设()80x a -=，()60x b -=，
则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=，
所以()()22228060x x a b -+-=+()2
2220230340a b ab =+-=-⨯=.
解决问题：
（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()22
4515x x -+-的值. （2）若x 满足()()22
202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值. （3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.
【答案】（1）940；（2）2018；（3）2900
【解析】
【分析】
（1）根据材料提供的方法进探究，设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有
()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-，据此即可求出
()()
224515x x -+-的值； （2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()
2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=，则可求出()()
20202018x x --的值； （3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，知S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700,设x-20=a ，30-x=b ，则有-ab=700，据此即可求出阴影部分的面积.
【详解】
解：（1）设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，
则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-
∴()()()()222
2224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-⨯-=；
（2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则
()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=
∴()()20202018x x --=-()()20202018x x -- ()()
222+-44040-201822
m n m n mn +-=== ∴()()20202018x x --=-mn=2018；
（3）根据题意知
S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700
设x-20=a ，30-x=b ，
∴-ab=700，
∴()()()()222
222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯-=
∴S 阴影=1500+700+700=2900
故答案为：（1）940；（2）2018；（3）2900
【点睛】
本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．
15．下面是某同学对多项式()()22676114x x x x -+-++进行因式分解的过程．
解：设2
6x x y -=，
原式(7)(11)4y y =+++（第一步） 21881y y =++（第二步）
2(9)y =+（第三步）
()2
269x x =-+．（第四步） 请你回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______；
A ．提公因式法
B ．平方差公式
C ．两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______； （3）仿照以上方法因式分解：()()222221x x x x --++．
【答案】（1）C ；（2）4(3)-x ；（3）4(1)x -
【解析】
【分析】
（1）根据公式法分解因式可得答案；
（2）先将269x x -+分解因式得2(3)x -，由此得到答案；
（3）设22x x y -=，得到原式()21y =+，将22x x y -=代回得到()2
221x x -+，再将括号内根据完全平方公式分解即可得到答案.
【详解】
解：（1）由21881y y ++2(9)y =+是运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C ；
（2）∵269x x -+=2(3)x -，
∴()2
269x x -+=4(3)-x ，
故答案为：4(3)-x ；
（3）设22x x y -=， 原式()21y y =++，
221y y =++，
()2
1y =+， ()2
221x x =-+， 4(1)x =-．
【点睛】
此题考查特殊方法分解因式，完全平方公式分解因式法，分解因式时注意应分解到不能再分解为止.
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．已知：方程
﹣=﹣的解是x =，方程﹣=﹣的解是x =，试猜想：
（1）方程+
=+的解； （2）方程﹣=﹣的解（a 、b 、c 、d 表示不同的数）．
【答案】（1）x =4；（2）x =
． 【解析】
通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．
解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：
，
化简可得：，
整理可得：2x=15﹣8，
解得：x=，
这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），
这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；
解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：
，
化简可得：，
解得：x=，
这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），
这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；
所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，
由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，
分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，
所以方程的解为x==4；
（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd﹣ab，分母为（a+b）﹣（c+d），
所以方程的解为x=．
17．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用
20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2
3
，公司需付甲工厂加工费用
为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．
【解析】
【分析】
（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】
（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则：解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天
需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
18．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？【答案】返回时的平均速度是80千米/小时.
【解析】
分析：根据题意，设去时的平均速度是x千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.
详解：设去时的平均速度是x千米/小时.
由题：9012018
1.660 x x
=+
解得：50
x=
检验：50x =是原方程的解.
并且，当50x =时，1.680x =，符合题意.
答：返回时的平均速度是80千米/小时.
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.
19．在计算23224
x x x x +-++-的过程中，三位同学给出了不同的方法： 甲同学的解法：原式=222222(3)(2)26284444
x x x x x x x x x x x +--+-----==----； 乙同学的解法：原式=3231312(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++--=-=++-+++=1； 丙同学的解法：原式=（x+3）（x ﹣2）+2﹣x=x 2+x ﹣6+2﹣x=x 2﹣4．
（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x 取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．
【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案；
（2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x 值无关，但是要注意所选取的x 不能使分式无意义.
试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的； 故答案为：丙，乙；
（2）不合理，
理由：∵当x≠±2时，
22232(3)(2)22444x x x x x x x x x +-+--+=-+---=222262444
x x x x x x +--+-=--=1， ∴乙同学的话不合理，
20．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．
【答案】小红骑自行车的速度是每小时20千米.
【解析】
【分析】
设骑自行车的速度为x 千米/时，则驾车的速度为4x 千米/时．依据“小王每天骑自行车上
班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．
【详解】
解：设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米.根据题意得：
202045
460
x x
=+
解得x＝20
经检验x＝20是分式方程的解，并符合实际意义
答：小红骑自行车的速度是每小时20千米.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
21．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝1
3
∠CAB，∠CDP＝1
3
∠CDB”，试探究∠P与
∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；
②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到
2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到。