3-3 圆轴扭转
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圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
第三节圆轴剪切与扭转变形_化工设备机械类
12
挤压面积的计算
d
挤压力
t Fbs
Abs=td
bs
Fbs Abs
计算挤压面
①挤压面为平面，计算挤压面就是该面
②挤压面为弧面，取受力面对半径的投 影面
13
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
剪应力强度条件： FS
A
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
塑性材料： 0.6 0.8 bs 1.7 2
脆性材料： 0.8 1.0 bs 0.9 1.5
14
§3-1 剪切与挤压
§3.1.3 剪切与挤压强度计算
A
A向
B向
B
注意：实际挤压面 是半圆柱
剪力FS
挤压力Fbs 剪力作用 面积
挤压力计算 面 积 Abs
剪应力 — 1、计算面积是剪力的真实作用区
2、名义剪应力是真实的平均剪应力
挤压应力 — 1、计算面积不一定是挤压力真实作用区 2、名义挤压应力不一定是平均挤压应力
m1
m4
n
A
B
C
D
T
– –
4.78
6.37
x
9.56
38
§3.2.3 扭转时内力的计算
39
§3-3 圆轴扭转时的应力
•分析圆轴扭转时的应力需要考虑三方面的关系：一是 变形几何关系；二是应力应变关系；三是静力学关系。 一、利用几何关系求剪应变分布规律
1、实验观察和假设推论
40
41
实验现象：
（1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无 变化，只是绕轴线转了不同的角度； （2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同 一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5
m
因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
解： 1） 计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
第六章 圆轴的扭转
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1 2 3
T1 M B 468N m
圆轴的扭转工程力学
杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
返回
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
下一页 返回
3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
返回
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
第三章 材料力学-扭转
上计算中对此并未考核。
例题3-2、3-4好好看一下（重要）
第三章 扭转
§3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) 来度量。
Me
Me
A D B C
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭 d T 转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的 d x GI p 相对扭转角为 l T d dx l 0 GI p
！把重点放在前两条上面（红色字体）
第三章 扭转
受力特点: 杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用面垂直于杆件轴线
的力偶。
Me
Me
变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外，
还伴随有弯曲或拉、压等变形。
第三章 扭转
D
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
T M 1.98KNm
轴的内，外径之比
M M t
d D 2t 0.934 D D
d
D
D 4 (1 4 ) IP 7.82105 mm4 32 IP Wt 2.06104 mm3 D 2
由强度条件 由刚度条件
max
第三章
扭转
扭转这一章节一般出一道大题，而且这一章题型比较独立，不牵涉其 他章节的知识点，这一章题分值大概15分，而且题型比较简单，把公式记 牢，概念好好理解，应该问题不大。
• 铁大考试大纲： 扭转（5-10%） （1）掌握圆轴扭转时横截面上的扭矩计算和切应力计算方 法，掌握握圆轴扭转的变形计算方法。 （2）熟练运用强度条件和刚度条件对圆轴进行设计。 （3）理解应变能的概念并能够进行杆件的应变能计算。 （4）了解矩形截面杆自由扭转时的应力和变形计算方法。
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
第六章圆轴的扭转
第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算
圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角 来度量：
即
MTl
GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用 单位扭转角[ ]，即
max
MT GI p
(rad/m)
或
max
MT 180
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度γ 。
圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平 面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间 的距离不变。
结论： 1. 扭转变形的实质是剪切变形；
2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力τ ，没有正应力σ。
第二节 剪切——剪切胡克定律
一.剪切的概念
剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力的 合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。
常见的剪切变形
键 轴
轮
F
mn
Fm
F
n
F
(a)
(b)
实用计算中，通常假设剪切应力τ在剪切面上是 均匀分布的，如图d。则:
Q
A
不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为:
几何量，单位：mm3或m3。
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即
max
M T max W
许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并考 虑安全系数后加以确定。
圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题
采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承受 能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切应 力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁厚 尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有较 高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。
圆轴扭转
空心圆截面：
Wt
D3
16
(1
d4 D4
)
D3
16
(1 4 )
四 等直圆杆扭转时的应力
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求 最大、最小切应力。
解：
max
T
Wt
T
16
D3
(1
d4 D4
)
max min
16 1000
4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上标出数值和正负号
例题1 画出图示杆的扭矩图 3kN·m Ⅰ 5kN·m Ⅱ 2kN·m
解： AC段
m 0
AⅠ 3kN·m
CⅡ
T1 T2
3kN·m
B 2kN·m
T1 3 0 T1 3kN m
BC段 m 0
T2 2 0 T2 2kN m
ρ
τdA b dA
O2 T
四 等直圆杆扭转时的应力
4 极惯性矩
【公式3-16；公式3-18】
IP
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP
32
(D4
d4)
d D
极惯性矩单位： m4
四 等直圆杆扭转时的应力
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
例题3 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第三节
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，垂 直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等， 方向或同时指向交线，或同时背离交线（定理具有普 遍意义，不管该平面上是否同时存在正应力） 反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力， 另一面上也没有相应的切应力。 纯剪切应力状态(纯切应力状态)／纯剪切 (shearing state of stresses) ——单元体四个侧面上均只有切应力而无正应力。 圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态
a dy
t´ t
b
t
t´ d d z
dx
t
c
例1 圆轴，Mx=2.15kN•m, D=50mm，求(1)距轴心 r=10mm处t , (2) t max, (3) 若采用d/D1=0.5 , t max不 变 ， D =？ 4 3 pD pD Mx t max 解: Ip= —— Wp= —— 32 16 Mx O (2) t max = —— = 87.6MPa Wp (1) t r= t max×r /R = 87.60×10/25 = 35.04MPa
§3-3 圆轴扭转时横截面上的切应力
轴(shaft)
横截面上的应力的三个问题? (1)应力形式？ t (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
一、试验现象与平面假设 1、试验现象
(1)纵向线仍为直线，且都 倾斜同一微小角度g 。圆 周表面所有矩形网格，变 形后错动为平行四边形网 格。 (2)圆周线形状不变，仅绕 轴线作相对转动，不同截 面转过不同角度；变形很 小时，圆周线大小、间距 均不改变。
2、圆轴扭转的平面假设：
平面假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍 为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两 横截面之间的距离不变。 (1)各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 (2)圆轴无轴向正应变和横向正应变，因而扭转圆轴横截 面上无正应力，只可能存在切应力。 (3)倾斜的角度g 就是圆轴表面处的切应变。
工程力学材料力学(3)
§3-1 工程实际中的扭转问题
在工程实际中，尤其是在机械传动中的许多构件，其主要变形是 扭转。例如丝锥攻丝和转动轴的工作情况。
受力特点： 受力特点 ： 在垂直于扭转构件轴线的平面内作用有两个大小相等， 转向相反的力偶。 变形特点： 变形特点 ： 在上述两力偶的作用下，各横截面绕轴线发生相对转 动。这时任意两横截面间将有相对的角位移，这种角位移称为扭转 扭转 角。图中的φAB就是截面B相对于截面A的转角
∑M
x
= 0, T = M A
取右段为研究对象，可得相同的结果 由此可见，杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内 的力偶，其力偶矩称为扭矩 扭矩。 扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小相等、转 向相反。为了使轴的同一截面上的扭矩的正负号相同，可采用右手螺 右手螺 旋法则规定其正负号。 旋法则
工程力学课件
2、静力学关系 、 圆轴扭转时，平衡外力偶矩的扭矩，是由横截面上无数的微剪力 组成的。如图所示，设距圆心ρ处的切应力为τp，如在此处取一微面 积dA，则此微面积上的微剪力为τρdA 。各微剪力对轴线之矩的总和， 即为该截面上的扭矩，即
T = ∫ ρτ ρ dA
dφ τ ρ = Gρ dx 因此 T = Gρ 2 dφ dA = G dφ ∫A dx dx
(a)
(b)
(c)
工程力学课件
由图可知：当切应力不超过材料的 剪切比例极限 (τp)时，切应力与切应变 之间成正比关系，这个关系称为剪切 剪切 胡克定律，可用下式表示： 胡克定律
τ = G ⋅γ
式中，G为材料的剪切弹性模量 剪切弹性模量，单位与弹性模量E相同，其 剪切弹性模量 数值可通过试验确定，钢材的G值约为80 GPa。 理论与试验表明：剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在如 下关系：
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
第三章 扭转
三、剪切胡克定律
d a
p
d c a b
q
Me
c d’ b
Me
q q
γ
a’ d’ c’
p p
c’ b’
Me
a’ b’
Me
p
q
:直角的改变量 切应变 γ :直角的改变量
φ
圆筒两端面的相对扭转角
p
d’ c’ a’ b’
q
γ
r ϕ = l
对于线弹性材料, 对于线弹性材料, 或者对于
φ
τ
≤τ p 时,有
d’
§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 二、切应力互等定理 三、剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
1、变形观察 2、横截面上扭转应力分布规律的分析 3、扭转应力的大小
1、变形观察
p q
a b
（1）圆周线不变 大小、 （大小、间距都 Me 不变）。 不变）。 纵向线倾斜， （2）纵向线倾斜， 倾斜角相同。 倾斜角相同。 （3）表面矩形变 成平行四边形。 成平行四边形。 Me
T =−M −M +M 3 2 3 1 = 6.37kN⋅ m
4.78
6.37
9.56
M =15.9 kN⋅m 1
M =4.78 kN⋅m 2
M1 2
B
1
2 M 3
M 1
A
3
M 4
D
M =4.78 kN⋅m 3
C
2 2
3 3
M4 =6.37 kN⋅m
M 2
B
1
M 3
C
M 4
A
M 1
D
3
1
2
若将主动轮A和从动轮 调换 若将主动轮 和从动轮D调换， 和从动轮 调换， 求轴的扭矩图。 求轴的扭矩图。
圆轴的扭转强度条件
圆轴的扭转强度条件
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目录
引言 圆轴的扭转强度基础 圆轴的扭转强度条件 圆轴的扭转强度应用 结论
01
引言
主题介绍
圆轴的扭转强度条件是机械工程中的重要概念，涉及到圆轴在受到扭矩作用时的承载能力和稳定性。
圆轴在机械传动、车辆、航空航天等领域广泛应用，因此对其扭转强度条件的掌握对于保证机械系统的安全性和稳定性至关重要。
直径与长度
圆轴的圆度和表面粗糙度影响扭矩传递的平稳性和效率，圆度越好，表面粗糙度越低，则传递效果更佳。
圆度与表面粗糙度
圆轴的几何特性
材料的抗拉强度决定了圆轴在受到扭力时的承载能力，抗拉强度越高，抗扭能力越强。
材料的弹性模量影响圆轴在受到扭力时的变形程度，弹性模量越大，变形越小，稳定性越好。
圆轴的材料特性
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截面尺寸和形状
扭矩的大小和作用方式决定了圆轴所受的扭矩载荷，从而影响其扭转强度。
扭矩大小和作用方式
温度、湿度和腐蚀等环境因素也会对圆轴的扭转强度产生影响。
环境因素
圆轴的扭转强度影响因素
圆轴的扭转强度实验方法
实验设备：实验需要使用扭矩测试仪来测量圆轴在不同扭矩下的扭转角度和转角扭矩。
实验步骤
1. 选择合适的圆轴试样，测量其直径、长度、材料等参数。
考虑圆轴的工作环境和循环载荷情况，进行疲劳寿命评估，确保圆轴具有足够的耐久性。
圆轴的强度校核方法
05
结论
பைடு நூலகம்
主题总结
圆轴的扭转强度条件是工程中一个重要的力学问题，涉及到圆轴在扭矩作用下的稳定性。本文通过理论分析和实验验证，得出了圆轴的扭转强度条件，为工程实践提供了重要的理论依据。
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
w_第三章_扭转
P 若功率P的单位为马力，则： M e 7024 ( N m) n
扭转内力：扭矩 扭转内力：扭矩T T ＝ Me 扭矩的正负号符号规则 : 按右手螺旋法则，扭矩的 矢量方向与横截面外法线方向 一致时为正。反之为负。
Me
Me
Me
T（+） n Me
（ +） T n T（-） n （ -） T n
Me
强度安全。
D 53mm
（2） W p
D3
16 max Q A D 2 （3） 2 3.2 2 Q A D d
T
空心优于实心
3-4 圆轴扭转变形与刚度条件 一 扭转变形
Tl GI p
单位：(弧度)
G I p : 截面抗扭刚度
单位长度扭转角
180 T ( ) m l G Ip
T
圆轴扭转的强度条件
max
T D T I p 2 Wp
Wp
2I p D
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
max
T Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Me Me
Me
已知：PA = 40kW，PB =100kW，PC = 60kW， n = 955 rpm 求:作图示传动轴的扭矩图。 解：1、外力偶计算
M e A 9549
M eB
M eC
P 400 Nm n P Nm 9549 1000 n P 9549 600 Nm n
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MT • IP
MT —横截面上扭矩，N·m；
I —横截面上任一点半径，mm； P —抗扭矩
1 当 =R时，
max
MT • R IP
2
令上式 Wt
W t —抗扭截面系数
W 实心轴— t 0.2D 3
W 空心轴— t 0.2D 3 1 a4
a
d D
课 堂练习
3-3
圆轴扭转
3、扭矩计算
圆轴扭转时,横截面上也会产生一个抵抗扭转变形的内力，这个内力是一个力 偶矩，称为扭矩。
（1）截面法——求内力（扭矩）截、取、代、平
截
M
m
M
平 以左边部分为对象，建立平衡方程：
m M
取
M
MT
代
M - MT 0
MT M
3-3
圆轴扭转
（2）扭矩符号规定：
右手螺旋定则：指外法线为正
第3章 杠件的基本变形
3-3 圆轴扭转
3-3
圆轴扭转
一.扭转工程实例
——以扭转变形为主的杆件称为轴
3-3
圆轴扭转
1、扭转的概念
（1）受力特点：在垂直于轴线的横截 面内作用一对等值、反向的力偶。
（2）变形特点：杆件各个横截面均绕 杆的轴线发生相对转动
轴表面的纵线变成螺旋线，这种变 形称为扭转。
课 堂练习 讨论（1）: 试指出图示各轴哪些产生扭转变形?
3-3
圆轴扭转
章节小结
1.扭转概念 2.外力偶矩计算 3.扭转内力（扭矩）计算 4.扭转应力计算 5.扭转强度、刚度条件 6.提高抗扭能力
（1）求轴内最大剪应力
（2）假设材料的许用切应力 55MPa ，
试校核传动轴强度。 （3）如果传动轴设计成实心轴，直径应为多少？
3-3
圆轴扭转
6、提高抗扭能力
根据强度条件：
max
M T max Wt
（1）提高抗扭截面系数 W t
相同横截面积下： 空心轴>实心轴
（2）降低最大扭矩
合理安排轴上零件的位置
3-3
圆轴扭转
4 、圆轴扭转的应力
（1）结论1：根据实验观察，圆周在扭转时，横截面上无正应力，只有垂直于半径的切应力。
实心轴
空心轴
（2）应力分布规律：横截面上任一点的切应力与过该点的半径垂直，与半径大小成正比，半径最大， 切应力最大。
3-3
圆轴扭转
4 、圆轴扭转的应力 了解
（3）切应力计算公式：
材料的许用切应力 ，表示为：
max
M T max Wt
塑性材料 0.5 0.6
脆性材料 0.8 1.0
圆轴扭转多受动载荷作用，因此 取值应比静载荷下的许用应力低些。
课 堂练习
例：，如图所示，已知汽车传动轴由无缝钢管制成,外径 D 90mm ,
内径 d 85mm，传递的最大力偶矩 M max 1500 N • m 。
课 堂练习
讨论（1）: 某圆轴传递的功率为100 kw，转速为50 r／min， 其外力偶矩M＝（ ）Nm。
课 堂练习 讨论（1） 汽车爬坡时，使用高速挡还是低速挡？
讨论（2）在同一台机器的几根逐级传动轴中，高速轴粗，还是低速轴粗？为什么？
低速轴粗。 功率一定，外力偶矩与 转速成反比，转速越低， 力偶矩越大，轴越粗。
讨论：
圆周扭转时，横截面上只有
应力，而没有
应力。
课 堂练习
讨论：
指出以下应力分布图中哪些是正确的（ ）
A、图(a)(d) 正确 B、图(b)(c) 正确
C、图(c)(d) 正确 D、图(b) (d) 正确
3-3
圆轴扭转
5 、圆轴扭转时的强度和刚度条件
为了保证圆轴受扭能正常工作而不致破坏，应使圆轴内的最大工作切应力不得超过
讨论（2）：下列实例中属于扭转变形的是（ ）
A、起重吊钩 B、钻头钻孔 C、火车车轴 D、零件钻孔
3-3
圆轴扭转
2、圆轴扭转外力偶矩计算
在工程实际中，只需要知道传动轴的转速n和传递的功率P，即可得出传动轴
所需要的外力偶矩M，表示式为：
M
9550
P
n
M—轴外力偶矩，N·m
P—轴功率，kW
n—轴转速，r/min
第一步，伸 出右手，对应 扭矩位置
第二步，弯曲四指表示 扭矩转向，此刻根据大 拇指所指的方向来判断。
第三步，判断——大拇指指向与截 面外法线一致时，扭矩为“正”；反 之为负。
课 堂练习
例: 主动轮PA=120kW，从动轮PB=30kW，PC=40kW， PD=50kW，转速n=300r/min，试计算各截面的扭矩，并判 断正负。