2020高考数学二轮复习 导数基础篇

高考冲刺之导数（基础篇）
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导数的物理意义
若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．4．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．
5．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答． 两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定．
(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3
，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3
的极值点．
(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 易误警示
直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点． 两个条件
(1)f ′(x )＞0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．
(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 三个步骤
求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．
当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 小题分类
1.（导数与积分）定积分ln 20
e x dx ⎰的值为（ ）
A. －1
B. 1
C. 2e 1-
D. 2e 【答案】
B
（2）当0x >时，函数2y x =与函数2x
y =的图像所围成的封闭区域的面积是 【答案】
4
27
（3）用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1
()4
x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线1
4
x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是 【答案】
3512
（4）若dx x c dx x b xdx a ⎰
⎰
⎰-=
-=
=
1
21
1
1,1,，则c b a ,,的大小关系是 （ ）
A.c b a <<
B.b c a <<
C.c a b <<
D.a
b c << 【答案】A
变式
设a ＝⎠⎛0
π(sinx ＋cosx)dx ，则(a x －1x )6的二项展开式中含x 2
的系数是( )
A ．192
B ．－192
C ．96
D ．－96
解析：因为a ＝⎠⎛0
π(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)| π
0＝(－cosπ＋sinπ)－(－
cos0＋sin0)＝2，所以(a x －
1x
)6
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2x －
1x 6
，则可知其通项T r ＋1＝(－1)r C r 626－r x 6－r
2－r 2＝(－1)r C r 626－r x 3－r ，令3－r ＝2⇒r ＝1，所以展开式中含x 2项的系数是(－1)r C r 626－r ＝(－1)1C 162
6－1
＝－192，故答案选B.
（2）若等比数列{a n }的首项为2
3，且a 4＝⎠
⎛1
4(1＋2x)dx ，则公比等于________．
解析：⎠
⎛1
4(1＋2x)dx ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a 4＝18＝23·q 3
⇒q ＝3.
2.(导数的单调性)若()2
24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A ．()1,0-
B ．()()1,02,-⋃+∞
C ．()2,+∞
D ．()0,+∞ 【答案】C
（2）函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且
(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递
减区间是
（ ）
A ．[2,21]()k k k Z +∈
B ．[21,2]()k k k Z -∈
C ．[2,22]()k k k Z +∈
D ．[22,2]()k k k Z -∈ 【答案】A
（3）已知函数2()(21)(R x
f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数). 若函数()f x 在
[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围． 【答案】解： ]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---x ax ax e e x ax e
ax x f x x x
令3)1(2)(2
++-=x a ax x g ①若0=a ，则32)(+-=x x g ，在)11
(，-内，0)(>x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在区间]11
[，-上单调递减.………………7分②若0>a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11
>+=
a
a x ，当且仅当0)1(≥g ，即10≤<a 时，在)11
(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11
[，-上单调递减.③若0<a ，则3)1(2)(2
++-=x a ax x g ，其图象是开口向下的抛物线， 当且仅当⎩⎨
⎧≥≥-0
)1(0)1(g g ，即035
<≤-a 时，在)11
(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11
[，-上单调递减. 综上所述，函数)(x f 在区间]11
[，-上单调递减时，a 的取值范围是13
5
≤≤-a ．…12分 3.（导数与切线斜率）设R a ∈,函数()e e x x
f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇
函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是3
2
，则切点的横坐标为（ ） A. ln 22-
B.ln 2-
C.ln 2
2
D. ln 2 【答案】D
（2）已知函数)0()1
(2131)(23>++-=
a x x a
a x x f ，则)(x f 在点))1(,1(f 处的切线的斜率
最
大
时
的
切
线
方
程
是
______________
【答案】3
1=
y (3)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.2
3 【答案】A
4.(导数与图像)函数y ＝f （x ）在定义域（－3
2，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导
函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为
A ．[－1
3
，1]∪[2，3）
B ．[－1，12]∪[43，8
3
]
C ．[－32，12]∪[1，2）
D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[4
3，3）
【答案】A
（2）设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是
【答案】C
（3）已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2
>'--x f x x 的解集为（ ）【答案】D
A ．),1()2,(+∞⋃--∞
B ．)2,1()2,(⋃--∞
C ．),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞
D. ),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞
5.（导数的运用）已知定义在R 上的函数)(),(x g x f 满足
x a x g x f =)
()
(，且),()()()(x g x f x g x f '<'
2
5
)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 的值是（ ） A ．2
B ．
2
1 C ．3 D ．
3
1
【答案】B
（2）已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =1，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有
)(x f '<)(2
1R x ∈，则不等式212)(22
+<
x x f 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．)1,(--∞ C ．)1,1(- D
．
)1,(--∞∪),1(+∞
【答案】D
（3）函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意2)(,'
>∈x f R x ,则42)(+>x x f 的解集为（ ）
A.)1,1(-
B.),1(+∞-
C.)1,(--∞
D.R 【答案】B
（4）()cos(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<,若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=
【答案】
（5）)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数 ，且满足()()'≤xf x f x ，对任意的正数
b a 、，若b a <，则必有 A ．)()(a bf b af ≤ B ．)()(b bf a af ≥ C ．)()(b bf a af ≤
D ．)()(a bf b af ≥【答案】A
大题冲关
1.（研究函数的单调性、极值、最值等问题） 例1.设函数2
()(1)2ln(1)f x x x =+-+．
（I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a<2时，求函数2
()()1g x f x x ax =---在区间
[03]，上的最小值．
解：（I ）定义域为(1,)-+∞． 12(2)
()2(1)11
x x f x x x x +'=+-
=
++． 令()0f x '>，则
2(2)
01
x x x +>+，所以2x <-或0x >．
因为定义域为(1,)-+∞，所以0x >．令()0f x '<，则2(2)
01
x x x +<+，所以20x -<<．
因为定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<．所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．
（II ）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x a
g x a x x x
--'=--
=++． 因为0<a<2，所以20a ->，02a a >-．令()0g x '> 可得2a
x a >-． 所以函数()g x 在(0,
)2a a -上为减函数，在(,)2a a
+∞-上为增函数． ①当032a a <
<-，即3
02
a <<时，
在区间[03]，上，()g x 在(0,
)2a a -上为减函数，在(,3)2a a
-上为增函数． 所以min 2
()()2ln
22a g x g a a a
==---． ②当32a a ≥-，即322
a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数．
所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--． 综上所述，当302a <<
时，min 2()2ln 2g x a a =--；当3
22
a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--．
例 2.已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）2
2)1()
ln 1
(
)(x b x x x x a x f -+-+=
'Θ，由题意知：⎪⎩
⎪⎨⎧-='=21)1(1)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212
1
b a b 1==∴b a
（
Ⅱ
）
由
（
Ⅰ
）
知
x
x x x f 1
1ln )(+-=
，所以，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-=
+--x x k x x x x x x f )1)(1(ln 211
)11ln ()(22
设)0(,)1)(1(ln 2)(2>--+=x x x k x x h 则，2
22)1)(1()(x
x
x k x h ++-=' ⑴如果0≤k ，由2
2
2)1()1()(x x x k x h --+='知，当1≠x 时， 0)(<'x h ，而0)1(=h
故，由当0)(),,1(,0)()1,0(<'+∞∈>'∈x h x x h x 时当时得：
0)(-11
2
>x h x
从而，当0>x 时，,0)1ln (
)(>+--x k x x x f 即x
k
x x x f +->1ln )( ⑵如果)1,0(∈k ，则当，)11
,1(k x -∈时，0)(,02)1)(1(2>'>++-x h x x k Θ
而0)1(=h ；0)(>x h 得：0)(-11
2
<x h x
与题设矛盾； ⑶如果1≥k ，那么，因为0)(>'x h 而0)1(=h ，),1(+∞∈∴x 时，由0)(>x h 得：
0)(-11
2
<x h x 与题设矛盾； 综合以上情况可得：(]0,∞-∈k
例3．设函数2()2
x k
f x e x x =--.
（Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值（Ⅱ）若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围.
解：（Ⅰ）0k =时，()x f x e x =-，'()1x
f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当
(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.
所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加故()f x 的最小值为(0)1f = （Ⅱ）'()1x
f x e kx =--，()x
f x e k ''=-
当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增， 而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增， 而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ .当1k >时，由()0f x ''=得ln x k = 当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，
而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减， 而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <. 综上得k 的取值范围为(,1]-∞.
变式训练 1.已知函数3
2
()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4
π
，求()f x 在[]1,1-上的最小值；
（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．
答案【（1）当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. （2）(3,)+∞.】
变式训练 2.已知函数2
()()x
k
f x x k e =-.
(1)求()f x 的单调区间； (2)若对(0,)x ∀∈+∞，都有1
()f x e
≤
，求k 的取值范围。

解：(1)/
22
1()()x
k f x x k e k =-，令/
()0f x =得x k =±
当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减；
当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增 （2）k 的
取值范围为1[,0)
2-。

2.（研究函数的零点存在问题） 例 1.已知函数223
241)(23
4--++-
=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]2,1上单调递增.
（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若关于x 的方程
m f x =)2(有三个不同实数解，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）若函数[]p x f y +=)(log 2的图象与坐标轴无交点，求实数p 的取值范围.
解：（Ⅰ）∵函数
)(x f 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]2,1上单调递增，
∴1=x 为其极小值点，
0)1(='f ，2
1
=
a
（Ⅱ）由（1）得
222
1
3241)(234--++-=x x x x x f
()()()12122)(23+---=-++-='x x x x x x x f
可得函数
)(x f 的极大值为3
8
)2(,125)1(-=-
=-f f ，极小值为1237)1(-=f
∵关于x 的方程m f x =)2(有三个不同实数解，令)0(2>=t t x ，即关于t 的方程
m t f =)(在()+∞∈,0t 上有三个不同实数解，即)(t f y =的图象与直线m y =在
()+∞∈,0t 上有三个不同的交点，画出)(t f y =的图像，观察可得3
81237-<<-
m 综合①②得
12
17
125<<p 例2.已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，
求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数
m 的取值范围．
（1）由题意得：2
'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<
∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-
∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③
由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴32
()69f x x x x =-+-
（2）设切点Q (,())t f t ，,
()()()y f t f t x t -=-
232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m -
232(3129)(1)26m t t t t =-+--+-32()221290g t t t t m =--+-=
令2
2
'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有
三个根。

需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨
<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩16
11
m m <⎧⇒⎨
>-⎩ 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-
课后练习
1.【北京市朝阳区2020届高三上学期期末理】已知函数1
()()2ln ()f x a x x a x
=--∈R ．
（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设函数()a
g x x
=-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的
取值范围．
【答案】解：函数的定义域为()0,+∞，
222
122()(1)ax x a
f x a x x x -+'=+-=． …………………………………………………1分
（Ⅰ）当2a =时，函数1
()2()2ln f x x x x
=--，(1)0f =，(1)2f '=．
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． 2.【北京市东城区2020届高三上学期期末理】已知a ∈R ，函数()ln 1a
f x x x
=+-． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，1
()ln 1f x x x
=
+-，),0(+∞∈x ， 所以22111()x f x x x x -'=-+=，),0(+∞∈x .因此1
(2)4
f '=．
即曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14. 又1
(2)ln 22
f =-，
所以曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线方程为11
(ln 2)(2)24
y x --=-，
即44ln 240x y -+-=．
（Ⅱ）因为()ln 1a f x x x =
+-，所以221()a x a
f x x x x
-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．
①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0e a <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，
当(],e x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],e a 上单调递增，
所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．………………………………10分 ③若e a ≥，则当(]0,e x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当e x =时，函数()f x 取得最小值
e
a
．…………………………………12分 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；
当0e a <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当e a ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为
e
a ． 3.【北京市房山区2020届高三上学期期末理】知函数1
)(2+-=x ax
b x f . （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求,a b 的值； （Ⅱ）当2
21b a =-时，讨论函数()f x 的单调性.
解：（Ⅰ）222
(1)2()
'()()(1)a x x b ax f x x R x -+--=
∈+ 222
2(1)
ax bx a
x --=+ 依题意有，22
2'(1)0(11)a b a
f --==
=+ 2(1)211b a f -==+
解得0b =，4a =- 经检验， 4,0a b =-=符合题意， 所以，4,0a b =-=
(Ⅱ) 当2
21b a =-时，222222
(1)(1)('()(1)(1)ax a x a ax x a f x x x ---+-==++）
当0a =时，22'()(1)x
f x x =
+
解'()0f x =， 得0x =
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >
所以减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞.当0a ≠时，解'()0f x =， 得
121
,x x a a
=-=，
当0a >时，1a a -
<当1(,)x a ∈-∞-或(,)x a ∈+∞时，'()0f x >；当1
(,)x a a
∈-时，'()0f x <
所以增区间为1
(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1
(,)a a
-
. 当0a <时，1a a -
>当(,)x a ∈-∞或1(,)x a ∈-+∞时，'()0f x <；当1
(,)x a a
∈-时，'()0f x >
所以增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞,1
(,)a
-
+∞. 综上所述：当0a =时, ()f x 减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)-∞；
当0a >时, ()f x 增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1
(,)a a
-
； 当0a <时, 增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞，1
(,)a
-
+∞. 4.已知函数2()(0)x
ax bx c
f x a e ++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x x x x
ax b e ax bx c e ax a b x b c
f x e e
+-++-+-+-'== 令2
()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，
因为0x e >，所以'()y f x =的零点就是2
()(2)g x ax a b x b c =-+-+-的零点，且
()f x '与()g x 符号相同.又因为0a >，所以30x -<<时，g(x)>0,即()0f x '>， ………………………4分
当3,0x x <->时,g(x)<0 ,即()0f x '<， …………………………………………6分 所以()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 的极小值点，所以有
3
393,0,
93(2)0,a b c e e
b c a a b b c --+⎧=-⎪⎪
-=⎨⎪---+-=⎪⎩
解得1,5,5a b c ===， 所以255
()x
x x f x e
++=. Θ()f x 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）
， ∴(0)5f =为函数()f x 的极大值, ∴()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和
(0)f 中的最大者.
而555
(5)5f e e
--=
=>5，所以函数f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值是55e ．.…14分 5.（本小题满分13分）已知函数()()3
2
2
,.f x x ax bx a a b R =+++∈
（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）()2
32f x x ax b '=++， 于是，根据题设有
()()
2
13201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩ 当4
11a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+>，所以函数有极值点； 当33a b =-⎧⎨=⎩
时，
()()2
310f x x '=-≥，所以函数无极值点．所以 11b =-．
（Ⅱ）()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立， ……………7分
即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()
2
max
32b x ax
≥--．
令()2
22
32333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭
，当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；
当40a -≤<时，()2
max
33a a
F x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．又 2max
1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 163b ≥
． 综上，b 的最小值为16
3
．。