汕头市2012届高三毕业班教学质量检测试题-数学(文科)

绝密★启用前 试卷类型：A
汕头市2012年普通高中高三教学质量测评试题
文 科 数 学
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和坐号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：
锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 圆柱的表面积2
22S r rl ππ=+，其中r 是底面圆的半径，l 是母线的长．
第一部分 （选择题 满分50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．复数(2)z i i =+的虚部是（ ※ ）
A ． 2
B ． -2
C ． 2i
D ． -2i
2．已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,[)2,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ※ ）
A ． {0,1,2}
B ． {0,1}
C ． {1,2}
D ． {1}
3．设曲线2
ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）
（第2题图）
A ．1
B ．
1
2
C ．1
2
-
D ．1-
4．对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计， 得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以 上的人数为（ ※ ）
A ． 300
B ． 100
C ． 60
D ． 20 5．下列各式中错误．．
的是（ ※ ） A ． 330.80.7> B ． 0..50..5log 0.4log 0.6> C ． 0.10.10.750.75-< D ． lg1.6lg1.4>
6．已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和为100，那么615a a 的最大值为（ ※ ） A ． 25
B ． 50
C ． 100
D ． 不存在
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的 圆，那么这个几何体的表面积为（ ※ ）
A ．π4
B ．π3
C ．π2
D ．
π2
3 8．实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+≤⎩
，且()0z ax y a =+>取得最小
值的最优解有无穷多个, 则实数a 的取值范围是（ ※ ） A ． 4
5
-
B ． 1
C ． 2
D ． 无法确定
9．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ※ ）
A ． ()2sin 26x f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B ． ()2cos 44f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
0.060
0.056 0.040 0.034 0
组距
频率（kg ）
45 50 55 60 65 70 0.010
（第4题图）
主视图
侧视图
俯视图
（第7题图）
C ． ()2cos 23x f x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭ D ． ()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
10．已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式
1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ※ ）
A ．()1,+∞
B ．(),0-∞
C ．()0,+∞
D ．(),1-∞
第二部分 （非选择题 满分100分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11．已知sin π 0()(-1)+1 >0
x x f
x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5
()6f 的值为 ※ ．
12．ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于 ※ ．
13. 已知某算法的流程图如图所示,若将输出的),(y x 值依次记为
),(11y x ,),(22y x ， ),,(,n n y x
（1）若程序运行中输出的某个数组是(,6)t -，则=t ※ ； （2）程序结束时,共输出),(y x 的组数为 ※ ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）过点(2,)3
π
且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ※ ．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是
O 的切线，切点为A ，直线PO 交O 于B 、C 两点，
2AC =，120PAB ∠=︒，则O 的面积为 ※ ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知集合{
}
2
230A x x x =+-<，{}
(2)(3)0B x x x =+-<，
（第13题图）
P
A
B
O
C
（第15题图）
（1）在区间()3,3-上任取一个实数x ，求“x A
B ∈”的概率；
（2）设(),a b 为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“a b A B -∈”的概率.
17．（本小题满分14分）
已知向量()()
2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π
⎛
⎫
=- ⎪⎭
，函数()1f x m n =-⋅． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；
（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到． 18. （本题满分12分）
某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为8.2元，销售价为4.3元，全年分 若干次进货，每次进货均为x 包，已知每次进货的运输劳务费为5.62元，全部洗衣粉全年保管费为
x 5.1元.
（1）将该商店经销洗衣粉一年的利润y （元）表示为每次进货量x （包）的函数； （2）为使利润最大，每次应进货多少包？
19．（本小题满分14分）
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且
2AB =，1AD EF ==.
（1）求证：AF ⊥平面CBF ；
（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ； （3）求三棱锥F CBE -的体积.
C
（第19题图）
20. （本题满分14分）
已知函数()f x xlnx =， （1）求()f x 的最小值；
（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知一非零向量列{}
n a 满足：()11,1a =，()()11111
,,2
n n n n n n n a x y x y x y ----==-+()2n ≥. （1）证明：{}
n a 是等比数列；
（2）设n θ是1,n n a a -的夹角()2n ≥，n b =21n n θ-，12n n S b b b =++
+，求n S ；
（3）设n c =2log n n a a ，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
汕头市2012年普通高中高三教学质量测评
文科数学参考答案和评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查
内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答 有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
D
A
B
C
A
D
B
C
B
二．：
11．12． 12．3
π
． 13．27，1006． 14．sin 3ρθ= 15．4π．
说明：第13题填对一空得3分，填对2空得5分.
解答过程分析：
1．选A ．解析：(2)z i i =+12i =-+，虚部是2.特别提醒：不是2i ． 2．选D ．解析：阴影部分的元素x A ∈且x B ∉，即U
A B ⋂
,选项D 符合要求．
3．选A ．解析：由2y ax '=，又点（1，a ）在曲线2
ax y =上，依题意得1
22x k y a ='
===，
解得1a =．
4．选B ．解析：60kg 以频率为0.04050.01050.25⨯+⨯=，故人数为4000.25100⨯=（人）． 5．选C ．解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数3y x =，为增函数， 故A 是对；对于B 、D ，构造对数函数0.5log y x =为减函数，lg y x =为增函数，B 、D 都正确；对 于C ，构造指数函数0.75x y =，为减函数，故C 错．
6．选A ．解析：()
()1202012020101002
a a S a a +=
=+=，故12010a a +=，615120a a a a =
2
120252a a +⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
． 7．选D ．解析：这是一个横放的圆柱体，其底面半径12r =，高1h =，底面面积24
S r ππ==底，侧面积2S rh ππ==侧，故322
S S S π
=+=
侧表底． 8．选B ．解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax +y =0
并平移使之与过点C （3
4
,32）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a >0，只能和AC 重合，∴a =1
9．选C ．解析：由点A 、点C 的横坐标可知4T π=，∴24T ππω==
，1
2
ω=，排除B 、D ，又点()0,1在图象上，代入()2sin 26x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭得12sin 6π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
不成立，
排除A ，只有C 合适．说明，本题得出的是最佳选项，由图象无法确定振幅的值．
10．选B ．解析：(1)f x +是奇函数，即其的图象关于点(0,0)对称，将(1)f x +向右平移1个单位长度，得()f x ，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，由1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，知
12120()()0x x f x f x ->⎧⎨
-<⎩或1212
()()0x x f x f x -<⎧⎨->⎩，()f x 为R 上的减函数；又将(1)0f =，不等式(1)0f x -<即(1)(1)f x f -<，有11x ->，故0x <.
11．填
1
2
．解析：55111111sin 11666622f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
12．填
3
π．解析：()()a b c b c a +++-()()()2
23b c a b c a b c a bc +++-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-=
==，又0A π<<，∴3
A π
=． 13．填27，1006．解析：（1）按框图，x 是公比为2的等比数列的项，y 是公差为-2的等差数列的项，当6y =-时，为第4项，这时x 是等比数列的第4项，即27t =；（2）n 是公差为2的等差数列的项，当2012n >时，最大的项数为1006，即输出),(y x 共1006组． 14
．填sin ρθ=
(2,)3
π
化为
，过且平
行于x
轴的直线为y =
sin ρθ=
法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程sin ρθ=
15．填4π．解析：由弦切角定理，PAC ABC ∠=∠，由120PAB ∠=︒，90CAB ∠=︒得30PAC ABC ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆中，22224R BC AC ===⨯=，4R =，2S R π==4π．
三．解答题：
16．（1）由已知{}31A x x =-<<，{}
23B x x =-<<，…………………………2分
设事件“x A
B ∈”的概率为1P ，
这是一个几何概型，则131
62
P =
=。

………………………………………5分 （2）因为,a b Z ∈，且,a A b B ∈∈，
所以，{}2,1,0a ∈--，{}1,0,1,2b ∈-基本事件由下表列出，共12个：
a b -共有12个结果，即12个基本事件：
-1，-2，-3，-4，0，-1，-2，-3，1，0，-1，-2 …………………9分
又因为()3,3A
B =-，
设事件E 为“a b A B -∈”，则事件E 中包含9个基本事件，………………11分
事件E 的概率93
()124
P E =
=。

………………………………………… 12分
17．解：（1）∵m •n (2sin 2cos sin 2x x x x ππ⎛⎫=--+-
⎪⎝⎭
2cos 2cos 2cos 21x x x x x =-+=++………………2分
∴()f x =1-m •n 2cos 2x x =-，…………………………………………3分
∴()f x =2sin 26x π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭。

………………………………………………………4分 （2）由222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，
解得()6
3
k x k k Z π
π
ππ
-
+≤≤
+∈，……………………………………6分
∵取k=0和1且[]0,x π∈，得03
x π
≤≤和
116
x π
π≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,6
ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

……………………………8分 法二：∵[]0,x π∈，∴112666
x ππ
π-
≤-
≤
，
∴由2662x πππ-≤-≤和3112266
x πππ≤-≤
， …………………………6分
解得03
x π
≤≤
和
116
x π
π≤≤， ∴()f x 的单调递增区间为0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,6ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦。

……………………………8分 （3）()sin g x x =的图象可以经过下面三步变换得到()f x 2sin 26x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象： ()sin g x x =的图象向右平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到()f x 2sin 26x π⎛
⎫
=
- ⎪
⎝
⎭
的图象. …………………………………………14分（每一步变换2分） 18．
解：（1） 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥,
平面ABCD
平面ABEF AB =，
CB ∴⊥平面ABEF ，
∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，………………………………… 2分 又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，
∴AF ⊥平面CBF . ………………………………………… 4分
（2）设DF 的中点为N ，则MN
//12CD ，又AO //1
2
CD ， 则MN
//
AO ，四边形MNAO 为平行四边形，
∴//OM AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ∴//OM 平面DAF . ……………… （3）∵BC ⊥面BEF ，∴1
3
F CBE C BEF BEF V V S BC --∆==
⨯⨯B 到EF 的距离等于O 到EF 的距离，
过点O 作OG EF ⊥于G ，连结OE 、OF ，
∴OEF ∆为正三角形， ∴OG 为正OEF ∆的高，
∴OG =
=，…………………………………………………… 11分 ∴1
3
F CBE C BEF BEF V V S BC --∆==
⨯⨯ ……………………………………… 12分
1111113232EF OG BC =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=。

………………… 14分 19．解：（1）由题意可知：一年总共需要进货
x
6000次（*
∈N x 且x ≤6000），………2分 ∴x x
y 5.15.626000
60008.260004.3-⋅-
⨯-⨯=，………………………………5分 整理得：2
33750003600x
x y --=（*∈N x 且x ≤6000）.……………………6分
（2）375000337500033600360022x x y x x ⎛⎫
=--=-+ ⎪⎝⎭（*∈N x 且x ≤6000）， ∵2
3375000x
x +≥150075025625002233750002
=⨯==⋅x x ， （当且仅当2
3375000x
x =
，即500=x 时取等号）…………………………………9分 ∴当500=x 时，210015003600max =-=y （元），
答：当每次进货500包时，利润最大为2100元。

……………………………………12分
20．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. ……………2分
令()0f x '>，解得1x e >
；令()0f x '<，解得1
0x e
<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，在1
,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增. 所以，当1x e =
时，()f x 取得最小值11
()f e e
=-. ……………………… 6分 （2）解法一：依题意，得()1f x ax ≥+在[)1,+∞上恒成立，
即不等式1
ln a x x
≤+
对于[)1,x ∈+∞恒成立 . ……………………………………8分
令1()ln g x x x
=+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭. ………………………10分 当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=
-> ⎪⎝⎭， 故()g x 是()1,+∞上的增函数， 所以()g x 的最小值是(1)1g =，…………… 13分 所以a 的取值范围是(],1-∞. ……………………………………………………14分 解法二：令()()(1)g x f x ax =-+，则()()1ln g x f x a a x ''=-=-+，
① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>+≥，
故()g x 在()1,+∞上为增函数，
所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-；…………………… 10分
② 若1a >，方程()0g x '=的根为10a x e -=，
此时，若()01,x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数.
所以()01,x x ∈时，()(1)10g x g a <=-<，
即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾.
综上，满足条件的a 的取值范围是(],1-∞. ………………………………… 14分
21.解：（1）()()222211111111
2
2222n n n n n n n n a x y x y x y a -------=-++=+=()2n ≥……3分
∴数列{}n a ，首项为12a =的等比数列；……………………4分 （2）∵1n n a a -=()
11,n n x y --()()2221111111111,222n n n n n n n x y x y x y a --------+=+=， ∴n θ=4
π，……………………………………………………………………………………6分 ∴n b =21142
n n ππ⨯-=-，……………………………………………………………7分 ∴()221112224n n S n n n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

…………………9分
（3）假设存在最小项，设为n c ，
∵12222n n n a --⎛== ⎭，……………………………………………………10分
∴22222
n n n c -
-=⨯，………………………………………………………………11分 由1n n c c +<得当5n ≥时，567c c c <<<
； 由1n n c c +<得当5n ≤时，541c c c <<<；……………………………………13分
故存在最小项为3
25322c -=-⨯。

…………………………………………………14分。