高中高三数学上学期12月月考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省襄阳市枣阳市白水高中高三（上）12月月考数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）
1．向量与的夹角为120°，||=2，||=5，则（2﹣）•=（）
A．3 B．9 C．12 D．13
2．在△ABC中，a=3，b=5，c=7，那么这个三角形的最大角是（）
A．135°B．150°C．90° D．120°
3．等比数列{a n}中，a3，a5是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）
A．8 B．﹣8 C．±8D．以上都不对
4．等差数列{a n}中，若a2=1，a6=13，则公差d=（）
A．3 B．6 C．7 D．10
5．下列说法中，正确的是（）
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．﹣831°是第二象限角
D．﹣95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
6．设x，y，z均大于0，则三个数：x+，y+，z+的值（）
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
7．不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）
A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（﹣∞，0）
8．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）
A．两个圆B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
9．不等式x﹣＜1的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D．（﹣1，3）
10．设直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B 两点，则|AB|=（）
A．2 B．1 C．D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）
11．设A={y|y=x2+1，x∈R}，，则A∩B=．
12．已知函数，则函数y=f（x）的单调递减区间是．
13．已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，则a=，b=．
14．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=；f（n）=（答案用n表示）．
15．将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b n}，C={c1，c2，…，}，若A、B、C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M为“完并集合”．
（1）若M={1，x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为．（写出一个即可）
（2）对于“完并集合”M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是．
16．在等比数列{a n}中，若a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=．
17．椭圆上一点P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为
．
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
18．已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x=cos2y．
19．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线．
（1）若l1⊥l2，求a的值；
（2）若l1∥l2，求a的值．
20．已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
21．已知函数．
（1）求f（x）在上的最大值；
（2）若直线y=﹣x+2a为曲线y=f（x）的切线，某某数a的值；
（3）当a=2时，设，且x1+x2+…+x14=14，若不等式f（x1）+f（x2）+…+f （x14）≤λ恒成立，某某数λ的最小值．
22．已知函数．
（1）证明函数f（x）的图象关于点对称；
（2）若，求S n；
（3）在（2）的条件下，若（n∈N+），T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜mS n+2对一切n∈N+都成立，试某某数m的取值X围．
2015-2016学年某某省襄阳市枣阳市白水高中高三（上）12月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）
1．向量与的夹角为120°，||=2，||=5，则（2﹣）•=（）
A．3 B．9 C．12 D．13
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】利用（2﹣）•展开，通过数量积求出值即可．
【解答】解：（2﹣）•=2﹣=8﹣2×5cos120°=8+5=13．
故选D．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．
2．在△ABC中，a=3，b=5，c=7，那么这个三角形的最大角是（）
A．135°B．150°C．90° D．120°
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：判断得到C为最大角，
∵在△ABC中，a=3，b=5，c=7，
∴cosC===﹣，
则C=120°，
故选：D．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3．等比数列{a n}中，a3，a5是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）
A．8 B．﹣8 C．±8D．以上都不对
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用一元二次方程的根与系数关系求得a3a5=64，再由等比数列的性质得a4．【解答】解：在等比数列{a n}中，
a3，a5是方程x2﹣34x+64=0的两根，
由根与系数关系得：a3a5=64，a3+a5=34＞0，
∴a3＞0，a5＞0．
再由等比数列的性质得：a42=a3a5=64．
∴a4=±8．
故选：C
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等比数列的性质，比较基础．
4．等差数列{a n}中，若a2=1，a6=13，则公差d=（）
A．3 B．6 C．7 D．10
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】把已知数据代入等差数列的通项公式可得d的方程，解方程可得．
【解答】解：由等差数列的通项公式可得a6=a2+4d，
代入数据可得13=1+4d，
解得d=3
故选：A
【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．
5．下列说法中，正确的是（）
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．﹣831°是第二象限角
D．﹣95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
【考点】终边相同的角．
【专题】规律型．
【分析】对于选项A，B，通过举反例说明其不成立；对于C，D利用终边相同的角的形式，得到结论．【解答】解：对于A，例如460°是第二象限，当不是钝角，故A错
对于B，例如460°是第二象限角，190°是第三象限角但460°＞190°，故B错
对于C，﹣831°=﹣360°×3+249°是第三象限的角，故C错
对于D，984°40′=﹣95°20′+3×360°；260°40′=﹣95°20′+360°故D对
故选D
【点评】解决角的终边所在的象限问题，一般利用与α终边相同的角的集合公式{β|β=2kπ+α}（k∈Z）
6．设x，y，z均大于0，则三个数：x+，y+，z+的值（）
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
【考点】进行简单的合情推理．
【专题】推理和证明．
【分析】举反例否定A，B，C，即可得出答案．
【解答】解：已知x，y，z均大于0，
取x=y=z=1，则x+=y+=z+=2，否定A，C．
取x=y=z=，则x+，y+，z+都大于2．
故A，B，C都不正确．
因此只有可能D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）
A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】通过对自变量xX围的讨论，去掉绝对值符号，即可得出不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集．
【解答】解：①当x＞时，|2x﹣1|+|x+1|=2x﹣1+（x+1）=3x，∴3x＞2，解得x＞，又x＞，∴x＞；
②当﹣1≤x≤时，原不等式可化为﹣x+2＞2，解得x＜0，又﹣1≤x≤，∴﹣1≤x＜0；
③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x＞2，解得x＜﹣，又x＜﹣1，∴x＜﹣1．
综上可知：原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的常用方法之一，属于中档题．
8．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）
A．两个圆B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．
【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，
ρ=1是半径为1的圆，
θ=π是一条射线．
故选C．
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
9．不等式x﹣＜1的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D．（﹣1，3）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】直接利用分式不等式求解即可．
【解答】解：不等式x﹣＜1化为：，
即：，由穿根法可得：不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）
故选：C．
【点评】本题考查分式不等式的解法，考查计算能力．
10．设直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B 两点，则|AB|=（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】由曲线C1：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．直线l：
（t为参数），消去参数化为=0．求出圆心C1（0，0）到直线l的距离d，利用|AB|=2
即可得出．
【解答】解：由曲线C1：（θ为参数），化为x2+y2=1，
直线l：（t为参数），消去参数化为y=（x﹣1），即=0．
∴圆心C1（0，0）到直线l的距离d==．
∴|AB|=2==1．
故选：B．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）
11．设A={y|y=x2+1，x∈R}，，则A∩B=[3，+∞）．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据二次函数求出值域得到A，根据函数的定义域求出B，最后根据交集的定义求出所求即可．【解答】解：A={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞），=[3，+∞），
则A∩B=[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题主要考查了二次函数的值域和函数的定义域，同时考查了交集的定义，属于基础题
12．已知函数，则函数y=f（x）的单调递减区间是[﹣+kπ，+kπ]（k∈R）．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数y=f（x）的解析式为 2+2cos（2x+），令
2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，求出x的X围，即可求得函数y=f（x）的单调递减区间．
【解答】解：函数=+cos2x+1=2+2（cos2x﹣sin2x）=2+2cos（2x+）．
令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
故函数y=f（x）的单调递减区间是[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的单调减区间，属于中档题．
13．已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，则a= ﹣3 ，b= ﹣9 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数在x=﹣1有极大值，在x=3有极小值，
∴f′（﹣1）=0且f′（3）=0，
即，
解得a=﹣3，b=﹣9，
故答案为：﹣3，﹣9
【点评】本题主要考查函数极值和导数之间的关系，比较基础．
14．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）= 10 ；f（n）=n（n+1）（n+2）（答案用n表示）．
【考点】数列的求和．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】由题意知第一堆乒乓球只有1层，个数为1，第二堆乒乓球有两层，个数分别为1，1+2，第三堆乒乓球有三层，个数分别为1，1+2，1+2+3，第四堆乒乓球有四层，个数分别为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，因此可以推知第n堆乒乓球有n层，个数分别为1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，据此解答．
【解答】解：由题意知，f（1）=1，f（2）=1+1+2，f（3）=1+1+2+1+2+3，…，f（n）=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，
分析可得：f（n）﹣f（n﹣1）=1+2+3+…+n==+；
f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+[f（n﹣2）﹣f（n﹣3）]+…+f（2）﹣f（1）+f （1）
==n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）．
故答案为：10； n（n+1）（n+2）．
【点评】本题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f（1）、f（2）、f（3）的值通过归纳推理得到f（n）的表达式，在求和时注意累加法的运用．
15．将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b n}，C={c1，c2，…，}，若A、B、C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M为“完并集合”．
（1）若M={1，x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为7，9，11 ．（写出一个即可）（2）对于“完并集合”M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是{6，10，11，12} ．
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】新定义．
【分析】（1）讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k建立等式可求出x的值；（2）讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，然后比较得元素乘积最小的集合即可．
【解答】解：（1）若集合A={1，4}，B={3，5}，根据完并集合的概念知集合C={6，x}，∴x=“4+3=7，“若集合A={1，5}，B={3，6}，根据完并集合的概念知集合C={4，x}，∴x=“5+6=11，
“若集合A={1，3}，B={4，6}，根据完并集合的概念知集合C={5，x}，∴x=3+6=9，故x的一个可能值为7，9，11 中任一个；
（2）若A={1，2，3，4}，B={5，8，7，9}，则C={6，10，12，11}，
若A={1，2，3，4}，B=“{5，6，8，10 }，则C={7，9，12，11}，
若A={1，2，3，4}，B={5，6，7，11}，则C={8，10，12，9}，
这两组比较得元素乘积最小的集合是{6，10，11，12}
故答案为：7，9，11，{6，10，11，12}
【点评】这类题型的特点是在通过假设来给出一个新概念，在新情景下考查考生解决问题的迁移能力，要求解题者紧扣新概念，对题目中给出的条件抓住关键的信息，进行整理、加工、判断，实现信息的转化
16．在等比数列{a n}中，若a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3= 4或﹣4 ．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．
【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：
a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=，a1=1或a1=﹣16．
则a3=a1q2=4或﹣4
故答案为4或﹣4
【点评】考查学生利用等比数列性质的能力．
17．椭圆上一点P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为
、．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先设椭圆的右焦点的坐标和长轴的两端点坐标，进而根据P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，求得|PF|=a，推断出点P为椭圆的短轴端点，进而根据椭圆的方程求得P的坐标．【解答】解：设椭圆的右焦点F（c，0），长轴端点分别为（﹣a，0）、（a，0）
则，故点P为椭圆的短轴端点，即、
故答案为：、．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆的方程和椭圆的定义的运用．
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
18．已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x=cos2y．
【考点】分析法和综合法；等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质可得，sinθ+cosθ=2sinx，s inθcosθ=sin2y，再利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式证得不等式成立．
【解答】证明：∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx，①sinθcosθ=sin2y，②…
①2﹣②×2，可得（sinθ+cosθ）2﹣2sinθcosθ=4sin2x﹣2sin2y，即4sin2x﹣2sin2y=1．
∴，即2﹣2cos2x﹣（1﹣cos2y）=1．
故证得2cos2x=cos2y．…
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，同角三角函数的基本关系、及二倍角公式的应用，属于中档题．
19．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线．
（1）若l1⊥l2，求a的值；
（2）若l1∥l2，求a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．
（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．
【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，
解得a=．
∴a=．
（2）∵a=1时，l1不平行l2，
∴l1∥l2⇔，
解得a=﹣1．
【点评】本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．
20．已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，﹣2）在l上，能求出点A的纵坐标．
（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，
由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，
∴，即点A的纵坐标y0=2．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，
设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，…
所以椭圆方程为，且过，∴b2=p+4…
由，
∴，…
=
将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，
椭圆方程为．…
【点评】本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
21．已知函数．
（1）求f（x）在上的最大值；
（2）若直线y=﹣x+2a为曲线y=f（x）的切线，某某数a的值；
（3）当a=2时，设，且x1+x2+…+x14=14，若不等式f（x1）+f（x2）+…+f （x14）≤λ恒成立，某某数λ的最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（1）先求f'（x），令f'（x）=0，可得极值点，分极值点在区间[，2]内、外进行讨论可得函数的最大值；
（2）设切点为（t，f（t）），则，解出方程组可求；
（3）f（x1）+f（x2）+…+f（x14）≤λ恒成立，等价于f（x1）+f（x2）+…+f（x14）的最大值小于等于λ．a=2时可得f（x），且由（2）知y=4﹣x为其切线，先由图象分析然后可证明f（x）≤4﹣x，由此对f（x1）+f（x2）+…+f（x14）放大，f（x1）+f（x2）+…+f（x14）≤4×14﹣（x1+x2+…+x14）=56﹣14=42，从而可求最大值，注意检验等号取得条件．
【解答】解：（1），
令f'（x）=0，解得x=（负值舍去），由，解得．
（ⅰ）当0＜a时，得f'（x）≥0，∴f（x）在[，2]上的最大值为．
（ⅱ）当a≥4时，由，得f'（x）≤0，∴f（x）在[，2]上的最大值为f（）=．（ⅲ）当时，∵在时，f'（x）＞0，在＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[，2]上的最大值为f（）=．
（2）设切点为（t，f（t）），则，
由f'（t）=﹣1，有=﹣1，化简得a2t4﹣7at2+10=0，即at2=2或at2=5，①
由f（t）=﹣t+2a，有=2a﹣t，②
由①、②解得a=2或a=．
（3）当a=2时，f（x）=，
由（2）的结论直线y=4﹣x为曲线y=f（x）的切线，
∵f（2）=2，∴点（2，f（2））在直线y=4﹣x上，
根据图象分析，曲线y=f（x）在直线y=4﹣x下方．
下面给出证明：当x∈[，2]时，f（x）≤4﹣x．
∵f（x）﹣（4﹣x）=﹣4+x==，
∴当x∈[，2]时，f（x）﹣（4﹣x）≤0，即f（x）≤4﹣x．
∴f（x1）+f（x2）+…+f（x14）≤4×14﹣（x1+x2+…+x14），
∵x1+x2+…+x14=14，∴f（x1）+f（x2）+…+f（x14）≤56﹣14=42．
∴要使不等式f（x1）+f（x2）+…+f（x14）≤λ恒成立，必须λ≥42．
又当x1=x2=…=x14=1时，满足条件x1+x2+…+x14=14，且f（x1）+f（x2）+…+f（x14）=42，
因此，λ的最小值为42．
【点评】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．
22．已知函数．
（1）证明函数f（x）的图象关于点对称；
（2）若，求S n；
（3）在（2）的条件下，若（n∈N+），T n为数列{a n}的前n项和，
若T n＜mS n+2对一切n∈N+都成立，试某某数m的取值X围．
【考点】数列与不等式的综合；数列与函数的综合．
【专题】综合题．
【分析】（1）确定函数的定义域，设M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数y=f（x）图象上的两点，其中x1，x2∈（0，1）且x1+x2=1，证明f（x1）+f（x2）=2即可；
（2）由（1）知当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=2，将条件倒序，再相加，即可求S n；
（3）利用裂项法求数列的和，将T n＜mS n+2对一切n∈N+都成立，转化为恒成立，确定右边的最大值，即可得到m的取值X围．
【解答】（1）证明：因为函数的定义域为（0，1），
设M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数y=f（x）图象上的两点，其中x1，x2∈（0，1）且x1+x2=1，
则有=
因此函数图象关于点对称…
（2）解：由（1）知当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=2
由①，可得
②
①+②得S n=n﹣1…
（3）解：当n≥2时，
当n=1时，a1=1，T1=1
当n≥2时，…═
∴（n∈N+）
又T n＜mS n+2对一切n∈N+都成立，即恒成立
∴恒成立，
又设，，所以f（n）在n∈N+上递减，所以f（n）在n=1处取得最大值1
∴2m＞1，即
所以m的取值X围是…
【点评】本题考查函数的对称性，考查数列的求和，考查裂项法，考查恒成立问题，分离参数，确定函数的最值时关键．。