专题13 电学比例问题(解析版)

专题13 电学比例问题
电学比例问题是中考中电学考题中常常出现的一种形式，通过比例能很好考查学生对电路同一时刻不同用电器电流、电压、电阻、电功、电功率之间的关系，也能考查不同时刻同一用电器电流、电压、电阻、电功、电功率之间的关系。

电学图像问题是用图像来反映物理量之间的关系或描述某个物理过程，通过图像可以直观、简洁的反映物理量之间的关系或物理过程，主要考查学生识别图像、从中提取信息的能力，从而解决物理问题。

一、电学比例问题：
1、同一电路，不同电阻的比例关系： （1）串联电路：
物理量规律 各量之间的关系 比例关系
电流规律 电流处处相等，即I 1=I 2 12
11
I I =
电压规律 U 1=I 1R 1，U 2=I 2R 2，I 1=I 2 1122
U R
U R = 电功率规律 P=UI ，I 1=I 2
1
111122222
P U I U R P U I U R === 电功规律 W=UIt ，I 1=I 2，通电时间相同t 1=t 2 111111222222W U I t U R W U I t U R === 电热规律
Q=I 2
Rt ，I 1=I 2，通电时间相同t 1=t 2
211111222222
Q I R t R Q I R t R == （2）并联电路：
物理量规律 各量之间的关系
比例关系 电压规律 各支路两端的电压都相等U=U 1=U 2 1211U U = 电流规律 U 1=I 1R 1，U 2=I 2R 2，U 1=U 2，所以I 1R 1= I 2R 2 1221I R I R = 电功率规律 P=UI ，U 1=U 2
1
111222221P U I I R P U I I R === 电功规律
W=UIt ，U 1=U 2，通电时间相同t 1=t 2
111112222221
W U I t I R W U I t I R === 电热规律 Q=I 2
Rt ，U 1=U 2，通电时间相同t 1=t 2
111
21111122222
221
212
=U R t Q I R t R R U Q I R t R R t R ==22
（）（） 例题1（2021黑龙江齐齐哈尔）如图所示的电路中，L 1|有“6V 3W ”字样，L 2标有“3V 3W ”字样，闭合开关后，两灯均发光，此时两电压表示数之比为U 1：U 2= ；若两灯并联后接入3V 电路中，则L 1、L 2两灯的实际电功率之比为P 1：P 2= 。

（忽略温度对灯丝电阻
考点透视
迷津点拨与点对点讲
的影响）。

【答案】5：1 1：4。

【解析】根据2
U P R =可知,L 1的电阻221116V =123W U R P ==Ω（），L 2的电阻22
222
3V =33W U R P ==Ω（）。

闭合开关后，两灯串联，电压表V 1测量电源电压，电压表V 2测量L 2两端的电压，且串联电路中电流处处相等，根据欧姆定律的变形式U=IR 可知，此时两电压表示数之比为122121235
=31U R R U R +Ω+Ω==Ω；两灯并联后接入3V 电路中，根据并联电路的电压特点可知两灯两端的电压都为3V ，根据2U P R =可知，L 1、L 2两灯的实际电功率之比为1
1
2231=
124P P R R Ω==Ω。

【点拨】规律总结：串联电路中，
121
1
I I =，电压、电功率、电功、电热都与电阻成正比，即1111122222
U P W Q R U P W Q R ====，根据数学中的合比性质可知：电阻R 1与电路总电压、总电功率、总电功、总电热之间的关系之比为11
11112
U P W Q R U P W Q R R ====+；并联电路中，
1211U U =，电流、电功率、电功、电热都与电阻成反比，即
1111222221
I P W Q R
I P W Q R ====。

对点练：（2020广西贺州）现有两个定值电阻R 1和R 2，分别标有“10V 0.5A ”和“5V 1A ”的字样，将它们串联接在同一电路中，则电路两端允许接入的最大电压是______V ，当它们工作时间相同时，电阻R 1和R 2上产生的热量之比Q 1︰Q 2=______。

【答案】12.5 4︰1。

【解析】电阻R 1、R 2的阻值分别为11110V 20Ω0.5A
U R I =
==，2225V
5Ω1A U R I ==
=。

将R 1和R 2串联在电路中时，电路允许通过的最大电流为0.5A ，电路中的总电阻R=R 1+R 2=20Ω+5Ω=25Ω 那么电路两端允许接入的最大电压U=IR=0.5A×25Ω=12.5V；根据Q=I 2
Rt 知，当两个电阻串联在电路中，通电时间相同时，两个电阻产生的热量之比等于两电阻之比，为
1122
204
51
Q R Q R Ω===Ω。

2、同一电阻，不同电路中的比例关系：
对于同一电阻R ，在不同电路中（不同时刻）电流往往是不同的，所以电阻R 两端的电压、
消耗的电功率和电功、电阻R 产生的电热也是不同的。

对于这类问题，利用欧姆定律分别求出在不同电路（不同时刻）时电阻两端的电压、通过不同电阻的电流、消耗的电功、电热和电功率，然后再列比例式。

例题2、（2021四川省南充）如图所示，灯泡L 1、L 2分别标有“2.5V 0.5A ”和“3V 0.5A ”字样（灯丝电阻不变），R=5Ω，电源电压恒定。

若S 、S 1、S 2均闭合，L 2正常发光，电流表示数为I 1，则电源电压为 V
；若只闭合S ，电流表读数为I 2，则I 1：I 2= 。

【答案】3 2：1。

【解析】三个开关均闭合时，L 1被短路，R 与L 2并联，且L 2正常发光，由并联电路电压规律可知，U=U 2额=3V ，电流表测量通过R 的电流，其示数13V
==0.6A 5U I R =Ω
；
只闭合开关S 时，R 与L 1串联，L 2开路，L 1的电阻111 2.5V
==50.5A
U R I =
Ω额额
，电路的总电阻R 总=R 1+R=5Ω+5Ω=10Ω，电流表的示数23V =
=0.3A 10U I R =Ω
总，则I 1：I 2=0.6A:0.3A=2:1。

【点拨】同一电阻上的各物理量在不同状态中的比例关系：221
111122
22222P W Q I U P W Q I U ====。

对点练：(2021四川省攀枝花)如图所示电路中，R 1为定值电阻，R 为滑动变阻器，灯泡L 标有“4V 2W“”字样。

滑动变阻器的滑片P 滑到某一位置，把滑动变阻器分为左右两部分，且右边阻比左边电阻小3Ω。

只闭合开关S 1，电压表V 1的示数为U 1；只闭合开关S 2，电 压表V 2的示数为U 2，两次灯泡均正常发光，且U 1：U 2=4：3，求：
（1）灯泡正常发光时的电流； （2）滑动变阻器的总电阻。

【答案】（1）0.5A （2）5Ω。

【解析】（1）灯泡正常发光时的电流2W
0.5A 4V
P I U =
==； （2）只闭合开关S 1，R 的左侧、灯泡L 串联，电压表V 1测R 左侧两端的电压，示数为U 1；
只闭合开关S 2，R 1、R 的右侧、灯泡L 串联，电压表V 2测R 1的电压，示数为U 2；两次灯泡均正常发光，故两次电路中的电流相同，则有R 1+R 右=R 左，R 左-R 右=3Ω，解得R 1=3Ω，由U 1：U 2=4：3得
1214==33
R R U U R =Ω左左，解得R 左=4Ω，R 右=4Ω-3Ω=1Ω，滑动变阻器的总电阻R=R 左+R 右=4Ω+1Ω=5Ω。

3、不同的电阻在不同的电路中的比例关系： 各物理量在不同电路中的规律：
物理量 串联电路 并联电路 电流 I 1=I 2=I I 1+I 2=I 电压 U 1+U 2=U U 1=U 2=U
电阻 R 1+R 2=R
12111R R R
+=
电功
W=Pt=UIt=I 2
Rt=2
U t R W 1+W 2=W 总
电功率
P=UI= I 2
R=2
U R
P 1+P 2=P 总
并联电路的特点写出串联分流、并联分压的比例式，然后将比例式中的物理量恰当的表示出来，建立关系式：主要从“同一电阻上的各物理量在不同状态中的比例关系”和“各物理量在不同电路中的规律”两个规律进行分析，建立等式，最后综合题中告诉的已知条件和比例关系进行计算求解。

例题3 （2021天津）（多选）如图所示的电路，电源电压为12V ，灯泡L 1标有“6V 3W ”字样。

闭合开关S ，滑动变阻器的滑片P 位于某一位置时，L 1正常发光；将L 1换成“4V 2W ”的灯泡L 2，滑片P 位于另一位置时，L 2也正常发光。

先后两种情况下（ ）
A ．L 1、L 2电阻之比为3：2
B ．电流表示数之比为1：1
C ．电压表示数之比为4：3
D ．变阻器功率之比为3：4
【答案】ABD 。

【解析】由图可知, 灯泡与滑动变阻器串联， 电压表测滑动变阻器两端的电压， 电流表测
电路中的电流。

由2
U P R =可得灯泡L 1和L 2的电阻分别为()2
2
111
6V 123W U R P ==
=Ω额， ()2
222
4V 82W
U R P =
==Ω2额，则L 1、L 2电阻之比为
1212Ω3
8Ω2
R R ==，A 正确；灯泡L 1和L 2正常发光,通过它们的电流分别为1
113W 0.5A 6V P I U =
==额，222W 0.5A 4V
P I U ===2额，即电流表示数之比为1:1，B 正确；电压表示数之比
112212V 6V 6V 3
====12V 4V 8V 4U U U U U U ----额滑滑额， C 错误；变阻器功率之比
1112223==4
P U I P U I 滑
滑滑滑，D 正确。

故选ABD 。

【点拨】不同电阻，阻值不同，在不同的电路中，不同时刻，通过它们的电流以及它们两端的电压也往往不同，由于R 、I 、U 不同也会造成P 、W 、Q 不同，这时可辨别好是串联电路还是并联电路，再结合“同一电路，不同电阻的比例关系”进行分析，就能解决问题。

对点练：（2021江苏省苏州）如图，甲、乙为两只相同电表，当闭合S 1，S 2时，甲、乙两表示数之比为4:3，则两表均为______表，两电阻大小之比R 1:R 2为______，电路总功率为P 1，同时更换两电表种类，调整开关状态，使两表均有正常示数，此时电路总功率为P 2，则P 1:P 2为______。

【答案】电压 1：3 3：16。

【解析】当闭合S 1，S 2时，若甲是电流表，会造成电源短路，因此甲是电压表，若乙是电流表，两表示数单位分别为A 和V ，示数之比无法为4:3，则两表均为电压表。

R 1、R 2串联，甲测总电压，乙测R 2两端电压，两表之比为4:3，即
12243
U R R U R +==甲乙，可求得121
3R R =；两
表均为电压表时，总功率为222
112111
34U U U P R R R R R =
==++；同时更换两电表种类，即两表为电流表，要使两表均有正常示数，应闭合S 1，断开S 2，使R 1、R 2并联，此时总功率为22222212111
433U U U U U P R R R R R =+=+=
，因此前后总功率之比为2
11221
43
4163U P R U P R ==。

1、（2021天津）电阻R1、R2的U-I图像如图所示，则R1：R2=______。

将R1、R2接入电源电压不变的电路中，如图所示。

当只闭合S时，电路消耗的总功率为P1；当S和S1都闭合时，电路消耗的总功率为P2，则P1：P2=______。

【答案】2：1 2：3。

【解析】R1阻值为1
1
1
6
6
1
V
Ω
A
U
R
I
===，R
2
阻值为2
2
2
6V
3Ω
2A
U
R
I
===，则比值为1
2
6Ω2
3Ω1
R
R
==；设电源电压为U，当只闭合S时，电路消耗的总功率为
2
1
12
U
P
R R
=
+
；当S和S1都闭合时，电路消耗的总功率为
2
2
1
U
P
R
=，电功率比值为
2
1121
2
212
1
22
213
U
P R R R
U
P R R
R
+
====
++。

2、（2021湖北省十堰）如图所示，电源电压保持不变，闭合开关S后，两灯均发光（设灯丝电阻不变），电压表示数为U，过一段时间后，突然两灯均熄灭，且有一个电表的示数变大，已知两灯中仅有一个出现了故障。

请你判断故障情况是 ______；若此时电压表是示数为4U，则小灯泡L1、L2的电阻之比为 ______；排除故障后，将小灯泡L1、L2的位置互换，则示数一定不发生变化的是 ______表（选填“电流”、“电压”或“电流和电压”）。

【答案】L2断路 3∶1 电流。

【解析】闭合开关S，小灯泡L1、L2串联，电压表测L2两端电压，电流表测该电路电流。

过一段时间后，突然两灯均熄灭，说明电路中灯泡不可能发生短路，只可能时断路，如果灯L1断路，则两表示数都为零，不符合题意；如果灯L2断路,电流表示数为零，电压表示数接近于电源电压，两灯都不亮，符合题意，由此判断故障情况是灯L2断路；由以上分析可知，此时电压表示数接近于电源电压为4U，L2两端电压为U，所以L1两端电压为3U，根据串联点对点提高训练
电路的分压规律，小灯泡L 1、L 2的电阻之比
1122331
R U U R U U ===；排除故障后，将小灯泡L 1、L 2的位置互换，与电压表并联部分的电阻发生了改变，电压表示数会发生变化。

电路中总电阻不变，电源电压也不变，所以电路中电流不变，电流表示数不变。

所以示数一定不发生变化的是电流表。

3、(2021黑龙江省绥化)如图所示，已知R 1:R 2=3:1，当开关S 闭合，甲、乙两表为电压表时，两表示数之比U 甲:U 乙=_________；当开关S 断开，甲、乙两表为电流表时，两表示数之比 I 甲:I 乙=_________。

【答案】4：1 3：4。

【解析】当开关S 闭合，甲、乙两表为电压表时，两电阻串联，甲测电源电压，乙测R 2电
压，电压比为()121222314
11
I R R U R R U IR R +++====甲乙；当开关S 断开，甲、乙两表为电流表时，两电阻并联，甲表测R 2电流，乙表测干路电流，电流比为
2
11212
33
314
U I R R U U I R R R R ====+++甲乙。

4、（2021江苏年级专题练习）如图所示，电源电压不变，闭合开关S ，电压表V 1示数为U 1，电压表V 2示数为U 2，通过电阻R 3的电流为I 3′；断开开关，把电压表V 1换成电流表A 1，电压表V 2换成电流表A 2，再闭合开关，通过电阻R 1的电流为I 1，通过电阻R 2的电流为I 2，通过电阻R 3的电流为I 3.已知U 1：U 2=7:5，I 3′：I 3=1：2，则电阻R 1：R 2：R 3=______，电流I 1：I 2：I 3=______。

【答案】1：3：4 12：4：3。

【解析】由图知，闭合开关S ，R 1、R 2、R 3串联，电压表V 1测R 2和R 3的总电压示数为U 1，电压表V 2测R 1和R 3的总电压示数为U 2，通过电阻R 3的电流为I 3′，则
2312137
==5
R R U U R R ++…①
电源电压为U= I
3′（R 1+R 2+R 3）；当把电压表V 1换成电流表A 1，电压表V 2换成电流表A 2，再
闭合开关时，R 1、R 2、R 3并联，此时通过电阻R 3的电流3123333
'=I R R R U I R R ++=
（），所以由I 3′：I 3=1:2得，R 3= R 1+R 2……②，由①②联合解得R 1：R 2：R 3=1：3：4；结合上面的结论，根据并联电路中电流与电阻成反比的原理有I 1：I 2：I 3=12：4：3。

5、（2021四川省达州）灯L 1、L 2分别标有“3V 0.75W ”和“3V 1.5W ”字样，通过L 1、L 2的电流随其两端电压变化的图像如图所示。

若将L 1、L 2并联接在3V 电源两端，则电路消耗的总功率为 W ；若将L 1、L 2串联，要使正常发光，则电源电压应为 V ；若将灯L 1与滑动变阻器串联接在6V 电源两端，调节滑片，当滑动变阻器的功率是L 1功率的2倍时，L 1的功率为P 1；若将灯L 2与滑动变阻器串联接在6V 电源两端，调节滑片，当滑动变阻器的功率是L 2功率的3倍时，L 2的功率为P 2，则P 1：P 2= 。

【答案】2.25 4 16：21。

【解析】若将L 1、L 2并联接在3V 电源两端，此时两灯正常发光，消耗的实际功率都等于额定功率，故电路消耗的总功率P 总=0.75W+1.5W=2.25W ；从图中可知L 1的额定电流为0.25A ，L 2的额定电流为0.5A ，若将L 1、L 2串联，串联电路中电流处处相等，要使L 1正常发光，则电路中的电流应为0.25A ，从图中可知L 1两端的电压为3V ，L 2两端的电压为1V ，根据串联电路的电压特点可知电源电压应为U=3V+1V=4V ；若将灯L 1与滑动变阻器串联接在6V 电源两端，调节滑片，当滑动变阻器的功率是L 1功率的2倍时，则L 1的功率为总功率的
1
3
，串联电路中电流处处相等，根据P=UI 可知，L 1两端的电压为总电压的
13，即为U 1′=1
3
×6V=2V ，从图中可知通过L 1的电流为0.2A ，则L 1的功率为P 1=U 1′I 1′=2V ×0.2A=0.4W ；若将灯L 2与滑动变阻器串联接在6V 电源两端，调节滑片，当滑动变阻器的功率是L 2功率的3倍时，则L 2的功率为总功率的
1
4
，串联电路中电流处处相等，根据P=UI 可知L 2两端的电压为总电压的
14，即为U 2′=1
4
×6V=1.5V ，从图中可知通过L 2的电流为0.35A ，L 2的功率为P 2=U 2′×I 2′=1.5V ×0.35A=0.525W ，则P
1：P 2=0.4W ：0.525=16:21。

6、（2021湖北省宜昌）甲、乙两电热丝电阻之比为2:3，通过的电流之比为3:1，则相同时间内产生的热量之比为（ ）
A ．2:1
B ．6:1
C ．1:2
D ．1:6
【答案】B 。

【解析】相同时间内产生的热量之比为
2
2
22326
===131
Q I R t I R Q I R t I R ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲甲甲甲甲乙乙乙乙乙，故选B 。

7、（2020甘肃兰州如图所示，电源电压保持不变，灯L 标有“6V 0.6W”字样，不考虑温度对灯丝电阻的影响，闭合开关S ，当滑动变阻器的滑片P 移动到中点时，灯L 正常发光，电压表示数为4 V ，当滑片P 移到最大阻值时，灯L 与滑动变阻器的电功率之比为( )
A ．4∶3
B ．3∶4
C ．3∶2
D ．2∶3
【答案】B 。

【解析】根据题意可知，灯泡的额定电压为6V ，额定功率为0.6W ，则灯泡正常发光时的电流I=P 额/U 额=0.6W/6V=0.1A ；灯泡的电阻R L =U 额/I 额=6V/0.1A=60Ω；灯泡正常发光时，变阻器的阻值R 滑=U 滑/I=4V/0.1A=40Ω，所以变阻器的最大阻值为80Ω；P=UI=I 2R ，当滑动变阻器的阻值最大时，二者电功率之比：P L :P 滑=I 2R L :I 2R 滑′=R L :R 滑′=60Ω:80Ω=3:4；故应选B 。

8、（2021福建）如图电路，电源电压保持不变，滑动变阻器R 标有“30Ω 1A”，定值电阻R 0的阻值为10Ω，小灯泡L 标有“6 V 3.6 W ”（电阻不随温度而变化），电流表的量程为0～3 A 。

当S 闭合，S 1、S 2，断开，滑片P 移到R 的中点时，小灯泡恰好正常发光。

在保证电路安全的前提下，电路消耗总功率的最小值与最大值之比是（ ）
A ．1：4
B ．1：8
C ．2：7
D ．3：20
【答案】D 。

【解析】当S 闭合，S 1、S 2，断开，小灯泡与滑动变阻器R 串联，定值电阻R 0开路。

滑片P 移到R 的中点时，小灯泡恰好正常发光。

此时电路电流为L L 3.6W
=0.6A 6V
P I U =
=，滑动变阻器R 的电压R 1
0.6A 30Ω=9V 2
U IR ==⨯⨯，电源电压为U=U L +U R =6V+9V=15V ；当灯泡被短路，定值电阻R 0与滑动变阻器R 并联，且滑动变阻器R 通过的电流为1A 时，电路电功率最大。

通过定值电阻R 0
的电流0015V =1.5A 10Ω
U I R =
=，此时电路的总电流I 1=I 0+I R =1.5A+1A=2.5A ，
电路的最大功率P max =UI 1=15V ×2.5A=67.5W ，小灯泡与滑动变阻器R 串联，滑动变阻器接入的电阻最大，且定值电阻R 0开路使，去。

由欧姆定律得，灯泡的电阻L L 6V
=10Ω0.6A
U R I =
=，此时电路的电阻R ′=R L +R max =10Ω+30Ω=40Ω，电路的最小电功率()2
2
min 15V 40Ω
=5.625W U P R =='，在保证电路安全的前提下，电路消耗总功率的最小值与最大值之比是5.625W:37.5W=3:20，D 符合题意。

故选D 。

9、（2021湖南省郴州）如图所示电路，电源电压恒定，R 1、R 2、R 3均为定值电阻。

当开关S 闭合，S 1、S 2断开时，电流表A 的示数为0.2A ；当开关S 、S 1闭合，S 2断开时，电流表A 的示数为0.4A ；当开关S 、S 1、S 2都闭合时，电流表A 的示数为0.5A ，则（ ）
A ．R 1:R 2=2:1
B ．R 1:R 3=1:1
C ．R 2:R 3=1:2
D ．R 1:R 2:R 3=2:2:1 【答案】B 。

【解析】当开关S 闭合，S 1、S 2断开时，电路中只有R 1，电源的电压不变，可得U=I 1R 1=0.2A×R 1 当开关S 、S 1闭合，S 2断开时，电路中R 1和R 3并联，电源的电压不变，可得131321313
(
)0.4A ()++R R R R
U I R R R R ==⨯；当开关S 、S 1、S 2都闭合时，电路中R 1、R 2和R 3并联，电源的电压不变，可得123123
3231312231312
(
)0.5A ()++++R R R R R R U I R R R R R R R R R R R R ==⨯，由以上三式联立可得：
R 1:R 2:R 3=1:2:1，即R 1:R 2=1:2，R 1:R 3=1:1，R 2:R 3=2:1，B 正确。

故选B 。

10、（2021湖北荆州）如图所示的电路。

电源电压恒定，电流表量程为0～0.6A ，滑动变阻器允许通过最大电流为1A ．小灯泡L 标有“2.5V ，0.25A ”字样，其I-U 图像如图乙所示。

只闭合S 1时，电流表的示数为I=0.2A ，电阻R 1消耗的功率为P 1；变阻器滑片P 移到b 端，所有开关都闭合时，电流表的示数为I=0.5A ，电阻R 1消耗的功率为P 1′且P 1：P 1′=16：25。

（1）求小灯泡L 正常发光时的阻值； （2）求电源电压；
（3）若只闭合S 2，且电压表的量程为0～3V 。

在保证电路元件都安全的情况下，求变阻器接入电路的阻值变化范围。

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【答案】（1）10Ω（2）5V （3）10Ω～12.5Ω。

【解析】（1）小灯泡L 正常发光时的阻值L 2.5V 10Ω0.25A
U R I ===额
额； （2）只闭合S 1时，灯泡与电阻R 1串联，电流表的示数为I=0.2A ，此时电源电压U 1L 11V 0.2A P U U U =+=+ ① 变阻器滑片P 移到b 端，所有开关都闭合时，R 1与滑动变阻器并联，2
12111221
1
1625U P R U U P U R ===' 化简得145U U =，代入①解得：U=5V ，P 1=0.8W ，P 2=1.25W ； （3）所有开关都闭合时，电流表的示数为I=0.5A ，滑动变阻器的阻值
21215V 20Ω1.25W 0.5A 5V U U U R P I I I I U
====---'=，若只闭合S 2，灯泡与电阻滑动变阻器串联，串联且电压表的量程为0～3V ，当滑动变阻器两端的电压为3V 时，电路中的电流最小，此时小灯泡两端的电压为2V ，由图乙可知，电路中的电流为0.24A ，滑动变阻器接入电路的电阻最大，22max 3V =12.5Ω0.24A
U R I =='，电路中的最大安全电流为0.25A ，滑动变阻器接入电路的最小电阻2min 2.5V 10Ω0.25A R =
=。

在保证电路元件都安全的情况下，变阻器接入电路的阻值变化范围10Ω～12.5Ω。