甘肃省天水市第二中学2017届高三数学上学期期中试题文
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天水市二中2017届高三第三次诊断考试
文科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1. 设全集U ={2,4,6,8},A ={4,6},B ={2,4,8},则A ∩(∁U B )=( ) A .{4,6} B .{6} C .{2,6,8}
D .{6,8}
2.已知函数f (x )=sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x -π2 (x ∈R),下列结论错误的是( ) A .函数f (x )是偶函数 B .函数f (x )的最小正周期为π C .函数f (x )的图象关于直线x =π4对称 D .函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数
3. 在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b . 若点D 满足BD →=2DC →,则AD →
=( ) A. 13b +23c B .53c -23b C. 23b -13c D. 23b +13
c 4.下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是( ) A .y =x 2
B .y =-lg|x|
C .y =-x 3
D .y =2x
5. sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°等于( )
A .-
32 B .-12 C. 32 D .12
6. 要得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象( )
A. 向右平移π12个单位 B .向左平移π
12个单位
C .向左平移π
3
个单位
D .向右平移π
3
个单位
7. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)的图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|<π
2
,则下列关于函数
f(x)的说法中正确的是( )
A .在⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π
2,-5π6上单调递减 B .φ=-π6
C .最小正周期是π
D .对称轴方程是x =π
3
+2k π (k∈Z)
8. 在△ABC 中,A =60°,AB =2,且△ABC 的面积为
3
2
,则BC 的长为( ) A.
3
2
B .2 3
C . 3
D .2 9. 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a 2
cos Asin B =b 2
sin Acos B , 则△ABC 的形状为( )
A .等腰直角三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形或直角三角形
D .等边三角形
10. 已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2
+(a +2)x +1相切,则a=( ) A. 4 B. 8 C. 2 D. 1
11. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足csin A =3acos C , 则sin A +sin B 的最大值是( )
A .1
B . 3 C. 2 D .3
12. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为315, b -c =2,cos A =-1
4
,则a 的值为( )
A. 4
B. 2
C. 3
D. 8
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知扇形的圆心角为0120,半径为3,则扇形的面积是________________。
14.已知sin cos αβ+13=
,sin cos βα-1
2
=,则sin()αβ-=______________。
15.已知平面向量a =(1, 2),b =(-2,m),且a∥b,则2a +3b =______________。
16.给出下列四个命题: ①函数2sin(2)3
y x π
=-
的一条对称轴是512
x π
=
; ②函数tan y x =的图象关于点(
2
π
, 0)对称; ③正弦函数在第一象限为增函数;
④若12sin(2)sin(2)44
x x π
π
-
=-,则12x x k π-=,其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有 (填写正确命题前面的序号)
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)
在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知csin A =3acos C. (1)求C ;
(2)若c =7,且sin C +sin(B -A)=3sin 2A ,求△ABC 的面积.
18.(本小题满分12分) 已知tan 34πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
, 计算: (1)tan α; (2) 2sin cos 3cos 25cos 23sin 2ααα
αα+-.
19. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=Asi n(ωx +φ)的图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|<π
2
,
求函数f(x)的解析式.
20. (本小题满分12分)
如图所示,在四边形ABCD 中,∠D=2∠B,且AD =1,CD =3,cos B =33
. (1)求△ACD 的面积;
(2)若BC =23,求AB 的长.
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)²+2cos²ωx(ω>0)的最小正周期为3
2π
,求: (1)求ω的值;
(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
2
π
个单位长度得到的, 求y=g(x)的解析式.
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.
高三第三次诊断考试文科数学答案
BCDBD AACCB BD
13. 3π 14.π/4 15.(-4,-8) 16.①④ 17. (1)由正弦定理,得sin C sin A =3sin A cos C , 因为sin A ≠0,所以tan C =3,又C ∈(0,π),所以C =π
3
.
(2)由sin C +sin(B -A )=3sin 2A ,得sin(B +A )+sin(B -A )=3sin 2A , 整理,得sin B cos A =3sin A cos A .
因为锐角三角形,cos A ≠0,则sin B =3sin A ,b =3a . 由c 2
=a 2
+b 2
-2ab cos C ,解得a =1,b =3.
S △ABC =12ab sin C =
33
4
. 综上,△ABC 的面积为33
4.
18.解
19.解f (x )=sin(x +π
6)
20.解(1)因为∠D =2∠B ,cos B =
33
, 所以cos D =cos 2B =2cos 2
B -1=-13.
因为D ∈(0,π),
所以sin D = 1-cos 2
D =223.
因为AD =1,CD =3,
所以△ACD 的面积S =12AD ·CD ·sin D =12×1×3×22
3= 2.
(2)在△ACD 中,AC 2
=AD 2
+DC 2
-2AD ·DC ·cos D =12, 所以AC =2 3.
因为BC =23,AC sin B =AB
sin ∠ACB
,
所以23sin B
=
AB
π-2B
=
AB
sin 2B =
AB 2sin B cos B =
AB
23
3
sin B
,
所以AB =4.
21.(1) f(x)=√2sin(2ωx+π/4)+2,所以ω=3/2 (2)f(x)=√2sin(3x+π/4)+2
所以g(x)=√2sin[3(x -π/2)+π/4]+2=√2sin(3x -5π/4)+2 22.函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-a x
. (1)当a =2时, f (x )=x -2ln x, f ′(x )=1-2
x
(x >0),
因而f (1)=1, f ′(1)=-1,
所以曲线y =f (x )在点A (1, f (1))处的切线方程为
y -1=-(x -1),即x +y -2=0.
(2)由f ′(x )=1-a x =
x -a
x
,x >0知:
①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f (x )无极值; ②当a >0时,由f ′(x )=0,解得x =a . 又当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0; 当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,
从而函数f (x )在x =a 处取得极小值,且极小值为f (a )=a -a ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值;
当a >0时,函数f (x )在x =a 处取得极小值a -a ln a ,无极大值.。