2009高考文科数学全国一卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 3
4π3V R =
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
()(1)
(01,2)k
k
n k
n n P k C P P k n -=-= ，，，
一、选择题
（1）o
585sin 的值为
(A) 2
- (B)2
(C)2
- (D) 2
【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

解：2
245
sin )45180
sin()225360
sin(585
sin -
=-=+=+=o
o o
o o
o
，故选择A 。

(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B = ，则集合()U A B ð中的元素共有
(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。

（同理1）
解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B A B =∴= ð故选A 。

也可用摩根
定律：()()()U
U
U A B A B = 痧
（3）不等式
11
1<-+x x 的解集为
（A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈 （C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。

解：
0040)1()1(|1||1|11
12
2
<⇔<⇔<--+⇔-<+⇔<-+x x x x x x x x ，
故选择D 。

（4）已知tan a =4,cot β=
13
,则tan(a+β)=
(A)
711
(B)711
-
(C) 713
(D) 713
-
【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

解：由题3tan =β，11
712
134tan tan 1tan tan )tan(-
=-+=⋅-+=
+β
αβαβα，故选择B 。

（5）设双曲线()222
2
00x y a b a
b
－
＝1＞，＞的渐近线与抛物线2
1y ＝x ＋相切，则该双曲线的
离心率等于
（A （B ）2 （C （D 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。

解：由题双曲线
()222
2
00x y a b a
b
－
＝1＞，＞的一条渐近线方程为a
bx y =
，代入抛物线方程
整理得02
=+-a bx ax
，因渐近线与抛物线相切，所以042
2=-a
b ，即
552
2
=⇔=e a
c
，故选择C 。

（6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令1lg 21=+x 得1=x ，即1)1(=f ，又1)1(=g ，所以2)1()1(=+g f ，故选择C 。

（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

解：由题共有3452
61
31
51
21
62
5=+C C C C C C ，故选择D 。

（8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,
（A ）150° （B ）120° （C ）60°
（D ）30° 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解：由向量加法的平行四边形法则，知a 、
b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B 。

（9）
已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线A B 与1CC 所成的角的余弦值为
(A)4
(B) 4
(C) 4
(D) 34
【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。

（同理7）
解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线A B 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4
os cos AD AD A AD D AB A A
AB
θ=∠∠⋅=
⋅
=
.故选D
(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π中心对称，那么φ的最小值为
(A)
6
π
(B)
4
π
(C)
3
π
(D)
2
π
【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。

解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π
⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称 423
2
k ππ
φπ∴⋅
+=+
13()6
k k Z πφπ∴=-
∈由此易得m in ||6
π
φ=
.故选A
（11）已知二面角l αβ--为600 ，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到βQ
到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为
【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。

（同理10）
解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于
PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=︒则
AQ BP ==2AC PD ∴==
又PQ ==≥
当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。

故答案选C 。

（12）已知椭圆2
2
:
12
x
C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。

若
3FA FB =
,则A F =
(A) (B) 2 (C) (D) 3
【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解：过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =
,
故2||3
B M =.又由椭圆的第二定义,得2||233
B F =
⋅=
||AF ∴=.故选A
2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
． 3．本卷共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） （13）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37
x y 的系数之和等于_____________. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。

（同理13） 解: 因r r
r
r
r y x
C T -+-=10101)1(所以有373
101010()2240C C C -+-=-=-
（14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若972S =，则249a a a ++=_______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n 项和，基础题。

（同理14） 解: {}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =
∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==。

(15)已知O A 为球O 的半径，过O A 的中点M 且垂直于O A 的平面截球面得到圆M ，若圆
M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.
【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

解：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则ππ32
=r
，即32
=r
由题得3)2
(
2
2
=-R R
，
所以ππ16442
2=⇒=R R 。

（16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是
①15
②30
③45
④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为21
1|13|=
+-=
d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o
30，1l 的倾斜
角为o
45，所以直线m 的倾斜角等于00
7545
30=+o 或0
1530
45
=-o。

故填写①或⑤
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知
1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式.
【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和，基础题。

解：设{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为0>q ，
由3317a b +=得212317d q ++= ①
3312T S -=得2
4q q d +-= ②
由①②及0q >解得2,2==d q
故所求的通项公式为1
12(1)21,32n n n a n n b -=+-=-=⨯。

(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）
在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、.已知2
2
2a c b -=，且s i n 4c o s s i n B A
C =，求b .
【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。

解：由余弦定理得A bc b c a cos 22
2
2
-=-，
又 0,22
2≠=-b b c a ，
b A b
c b 2cos 22
=-，
即2cos 2+=A c b ① 由正弦定理得
sin sin b B c C
= 又由已知得 s i n 4c o s
s i
n B A C =
sin 4cos sin B A C
=，
所以4cos b c A = ② 故由①②解得 4=b
(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 为矩形，SD ⊥底面
A B C D ，AD =
，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，
60ABM ∠=
（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；
（Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。

（同理18） 解法一： （I ）
作M E ∥CD 交SD 于点E ，则M E ∥A B ，M E ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作M F A B ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形
设ME x =，则SE x =，AE =
=
2M F AE FB x ==
=-
由tan 60,)M F FB x =∙=-。

解得1x =
即1M E =，从而12M E D C =
所以M 为侧棱SC 的中点
（Ⅱ）2MB =
=，又60,2ABM AB ∠==
,所以ABM ∆为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M 为SC 中点
2SM SA AM =
=
=，故2
2
2,90SA SM
AM SM A =+∠=
取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,B G A M G H A M ⊥⊥,由此知BGH
∠为二面角S AM B --的平面角
连接BH ，在BGH ∆中，
1222
2
BG AM G H SM BH =
=
=
=
==
所以22
2
cos 23
BG G H
BH
BG H BG G H
+-∠=
=-
∙∙
二面角S AM B --的大小为arccos()3
-
解法二:
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设0,0)A ，则2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM M C λλ=〉,则
22
2
2
(0,
,),,)1111M M B λ
λλλλ
-=++++
又(0,2,0),,60AB M B AB =-
故||||cos 60M B AB M B AB ∙=∙
即41λ
=+解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点 （II ）
由(0,1,1),0,0)M A ，得AM 的中点11,)222
G
又31
,),(0,1,1),(222
G B M S A M =-=-= 0,0G B AM M S AM ∙=∙=
所以,G B A M M S A M ⊥⊥
因此,G B M S 等于二面角S AM B --的平面角
cos ,3
||||
G B M S G B M S G B M S ∙=
=-
∙
所以二面角S AM B --的大小为arccos()3
-
(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。

假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。

已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。

解：记“第i 局甲获胜”为事件)5,4,3(=i A i ，“第j 局乙获胜”为事件(3,4,5)j B j =。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则
4343B B A A A ⋅+⋅=，由于各局比赛结果相互独立，故 34343434()()()()P A P A A B B P A A P B B =⋅+⋅=⋅+⋅
3434()()()()P A P A P B P B =+
52.04.04.06.06.0=⨯+⨯=
（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
54354343A B A A A B A A B ⋅⋅+⋅⋅+⋅=，由于各局比赛结果相互独立，故 )()(54354343A B A A A B A A P B P ⋅⋅+⋅⋅+⋅=
648
.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()
()()(5435434354354343=⨯⨯+⨯⨯+⨯=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅=A P B P A P A P A P B P A P A P A B A P A A B P A A P （21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数4
2
()36f x x x =-+.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程
【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。

解：（Ⅰ）3
'()464(2
2f x x x x x x =-=+
-
令'()0f x >得02
6<<-
x 或26>x ；
令'()0f x <得2
6-
<x 或260<<x
因此，()x f 在区间)0,2
6(-
和),2
6(+∞为增函数；在区间)2
6,(-
-∞和
)2
6,
0(为减函数。

（Ⅱ）设点))(,(00x f x P ，由l 过原点知，l 的方程为0'()y f x x =，
因此000()'()f x x f x =，
即0)64(6303
002
04
0=--+-x x x x x ， 整理得0)2)(1(2
02
0=-+x x ， 解得20-=x 或20=
x
因此切线l 的方程为x y 2-=或y = (22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，已知抛物线2
:E y x =与圆2
2
2
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四
个点。

（Ⅰ）求r 的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标。

解：（Ⅰ）将抛物线2:E y x =代入圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程，消去2y ，
整理得2
2
7160x x r -+-= ①
E 与M 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根12x x 、
由此得22122
1
2(7)4(16)0
70160
r x x x x r
⎧=--->⎪
+=>⎨⎪⋅
=->⎩
解得
2
15164
r <<
又0r >
所以r 的取值范围是
4)2
（II ） 设四个交点的坐标分别为1(A x 、1(,
B x 、2(,
C x
、
2(,D
x 。

则由（I ）根据韦达定理有2
12127,16x x x x r +==-，4)2
r ∈
则212112||||2
S x x x x =
⋅⋅-=-
2
2
2
121212[()4]((715)S x x x x x x r ∴=+-++=+-
t =，则2
2
(72)(72)S t t =+- 下面求2
S 的最大值。

方法1：由三次均值有：
2
2
1
(72)(72)(72)(72)(144)2
S t t t t t =+-=
++-
33
17272144128(
)()2
323
t t t ++++-≤=⋅
当且仅当72144t t +=-
，即76
t =时取最大值。

经检验此时
,4)2
r ∈满足题意。

方法2：设四个交点的坐标分别为1(A x 、1(,B x 、2(,C x 、2(D x
则直线AC 、BD 的方程分别为
)(),(11
21
2111
21
21x x x x x x x y x x x x x x x y --+=
+
----
=
-
解得点P 的坐标为)0,(21x x 。

设21x x t =
，由2
16r
t -=
及（Ⅰ）得7
(0,)2
t ∈
由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积
||)2
2
(212121x x x x S -+=
则]4))[(2(2122122112x x x x x x x x S -+++= 将721=+x x ，
t x x =21代入上式，并令2
)(S t f =，得
)2
70(34398288)27()27()(2
3
2
<
<++--=-+=t t t t t t t f ，
∴2
'()2456982(27)(67)f t t t t t =--+=-+-，
令'()0f t =得6
7=t ，或2
7-=t （舍去）
当6
70<
<t 时，'()0f t >；当6
7=
t 时'()0f t =；当
2
76
7<
<t 时，'()0f t <
故当且仅当6
7=
t 时，)(t f 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标
为)0,6
7
(。