广东省中山市普通高中2017-2018学年上学期高二数学期末模拟试题03

上学期高二数学期末模拟试题03
（考试时间：120分钟 总分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1.抛物线2
4y x =的准线方程是 . 2.命题“01,2
>+∈∀x R x ”的否定是 ．
3.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2
221x y a
-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：
210x y -+=垂直，则实数=a .
4.在等差数列}{n a 中，已知13,2321=+=a a a ,则=++654a a a ．
5.若△ABC 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,满足4)(2
2
=-+c b a ，且角C=60°，则ab 的值为 ．
6.原命题：“设2
,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2
”则它的逆命题的真假为 ．
7．若方程
22
171
x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 8.在数列}{n a 中，Bn An a a a n a n n +=+++-
=221,2
5
4 ，*N n ∈，其中B A ,为常数，则B A ,的积AB 等于 ．
9.在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且
AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60º，则向量AM 的长=|| ．
10.已知023:)(2
>++x ax x P ，若)(,x P R x ∈∀是真命题，则实数a 的取值范围是___．
11.椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足
线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．
12.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．
13.给出下列四个命题：①若a ＞b ＞0，则1a ＞1b ；②若a ＞b ＞0，则a －1a ＞b －1
b
；③若
a ＞
b ＞0，则2a ＋b a ＋2b ＞a b ；④若a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1
b 的最小值为9.
其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)
14.将n 个正整数1, 2, 3, …，n (n ∈N *
)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全
平方数，且这两组数中没有相同的数. 那么n 的最大值是 ．
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答应写出．．．．．必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分）
已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*
,3N n b n a
n ∈=，且11=a ，
（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若1
1
+=
n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和
16．(本题满分14分）
已知△ABC 中，D 在边BC 上，且60,1,2=∠==B DC BD o
，150=∠ADC o
． （1）求AC 的长；
（2）求△ABC 的面积．
17．(本题满分14分）
如图，正三棱锥ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a
a ，M 是A 1B 1的中点．
（I ）求证：1MC 是平面ABB 1A 1的一个法向量； （II ）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．
18．(本题满分16分）
已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3
2
)。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M 。

问点M 满足
A
A 1
C
B 1
C 1
B
M
什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点?
(3)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值。

19．(本题满分16分）
设实数y x ,满足不等式组⎩
⎨⎧-≥+≤+≤.|32|2,
41x y y x
(1)画出点),(y x 所在的平面区域，并在区域中标出边界所在直线的方程； (2)设1->a ，在(1)所求的区域内，求函ax y -的最大值和最小值．
20．(本题满分16分）
已知数列{}n a 满足：1n a ≠±，112
a =
，2213(1)2(1)n n a a +-=-，记数列2
1n n b a =-，
221n n n c a a +=-（n N *
∈）.
（1）证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式；
（3）是否存在数列{}n c 的不同项,,i j k c c c （i j k <<）使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项,,i j k c c c （i j k <<）；若不存在，请说明理由．
答 案
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 1-=x 2. 01,2
≤+∈∃x R x 3. 2 4. 42 5. 3
4
6.真 7． 74<<k 8. －1 9.
211 10.8
9>a 11. hslx3y3h 1
2，1) 12. 15 13. ②④ 14. 14
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答应写出．．．．．
必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分）
15. 解：1）1
111333,13n n n n
a a a n n n a n
b a a b ++-++===∴-=，……………………… 6分 即 {}n a 为等差数列. …………………………………………… 7分 （2）11111111111,11
n n n n n n n n n
C S n a a a a a a a ++++=
=-∴=-=-=
+.………… 14分 16．(本题满分14分）
16. 解：在△ABC 中，∠BAD＝150o
－60o
＝90o
，∴AD＝2sin60o
＝3．……… 4分 在△ACD 中，AD 2
＝(3)2
＋12
－2×3×1×cos150o
＝7，∴AC＝7．…… 10分
∴AB＝2cos60o
＝1．S △ABC ＝
21×1×3×sin60o
＝34
3． ………… 14分 17（1）如图，以点 A 为坐标原点，平面ABC 为xOy 平面，
AB 方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A （０，０，０），B （a ，０，０），B 1（a
a ），
M （
2a
a ），C 1（2
a
a ）。

所以AB ),0,0,(a = 1
BB 1),0,,02MC a ⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭
因为,10=•AB MC ,110=•BB MC 所以1MC AB ⊥，11MC BB ⊥， 从而1MC ⊥平面ABB 1A 1.
故1MC 是平面11A ABB 的一个法向量. ……9分
（II ）1AC ,22a ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭。

因为11AC MC •23,0,24
a a ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又因为1MC a 2
3
=
,13AC a =， 所以111
cos ,2
MC AC <>=
，即11,60MC AC <>=. ……… 13分 故1AC 与侧面11A ABB 所成的角为30. ……………………14分
18．(本题满分16分）
【解】：(1)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3
2
)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2 a =1
2
1
a 2 +9
4b
2
=1
，即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2
=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ⎩⎨⎧a 2=4
b 2=3，
∴椭圆C 的方程为
x 2 4 +y 2
3
=1。

…………………………… 5分
(2)易求得F (1，0)。

设M (x 0，y 0)，则
x 0
2 4 +
y 02
3
=1，
圆M 的方程为(x -x 0)2
+(y -y 0)2
=(1-x 0)2
+y 02
，
令x =0，化简得y 2
-2y 0y +2x 0-1=0，⊿=4y 02
-4(2x 0-1)2
＞0……①。

将y 02
=3(1- x 0
2
4
)代入①，得3x 02
+8x 0-16＜0，
解出 -4＜x 0＜
4
3。

…………………………… 10分 (3)设D (0，y 1)，E (0，y 2)，其中y 1＜y 2。

由(2)，得
DE = y 2- y 1=4y 02-4(2x 0-1) =-3x 02-8x 0+16
=-3(x 0+
4 3 )2+64
3
， …………………………… 15分 当x 0=-4 3 时，DE 的最大值为83 2。

…………………………… 16分
19. 解析：(1)已知的不等式组等价于 ⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－2x －3，2x －3＜0.
…………………………… 2分
解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x
＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1. ……………………… ……… 4分
…………………………………… 8分
(2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． ∵a >－1，∴当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大．
∵C 点的坐标为(－3,7)，∴f (x ，y )的最大值为7＋3a . …………… …… 10分 如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时，
f (x ，y )最小，最小值为－1－2a . …………………………………… 13分 如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时，
f (x ，y )最小，最小值为1－3a . …………………………………… 16分
20.解：（1）由已知)(0,1*
N n b a n n ∈≠±≠ 43
1=
b
， )1(2)1(32
21n n a a -=-+，)(3
2*1N n b b n n ∈=+
…………………… 3分
所以}{n b 是
43为首项，3
2
为公比的等比数列 ……………………5分 （2）)()32(43*1N n b n n ∈⋅=
- ，)()3
2(4311*12
N n b a n n n ∈⋅-=-=-……7分 )
()32(41*1
2
2
1N n a a c n n n n ∈⋅=
-=-+
…………………10分 （3）假设存在k j i c c c ,,满足题意成等差数列，
k i j c c c +=2代入得111)3
2
(41)32(41)32(412---⋅+⋅=⋅⋅k i j ………………12分
i
j i
j k i j i j k i j i j --++--+-+-=-+=3
2
2
2321
1，左偶右奇不可能成立。

所以假设不成立，
这样三项不存在。

………………………………………………………16分。