九年级数学下册第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质2二次函数yax2bxc的图象与性质第4课

当x=h时,最大值为k.
【跟踪训练】
1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标:
（1）y 2x 32 1 .（2）y 1 x 12 5.
2
3
解析：
（1）开口：向上，对称轴：直线x=-3,顶点（-3， 12）
（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点（-1，-5）
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图 象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点 坐标分别是什么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的 图象有什么关系? 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的 增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小? 二次函数y=3(x+1)2+4呢?
y
顶点分别是
(1,2)和(1,-2). y 3x2
y 3x 12 2
解析：二次函数y=-3(x-
y 3x 12
1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象 y 3x 12 2
可以看作是抛物线y=-3x2先
沿着x轴向右平移1个单位,再
x=1
沿直线x=1向上(或向下)平移
2个单位后得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直 线x=1;增减性与y=-3x2类似.
1.会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为形如y=a（x-h）2 +k的 形式，总结归纳并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质. 2.理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的顶点、对称轴与a，b，c的 关系.
1.二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作 过的二次函数的图象有什么关系?
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图 象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小？
1.在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=3x², y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 2.二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象 有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y
y
x
x
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所 用的时间x（单位：min)之间满足函数关系 y=-0.1x²+2.6x+43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力 越强. （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什 么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10 min时，学生的接受能力是多少？ （3）多长时间时，学生的接受能力最强？为多少？
A. b=2，c=2
B.b=2，c=0
C. b=-2，c=-1
D.b=-3，c=2
【答案】B
3.（金华·中考）已知抛物线 y ax 2 bx c 的开口 向下,顶点坐标为（2,-3）,那么该抛物线有（ ）
A.最小值-3 C.最小值2
B.最大值-3 D.最大值2
【答案】B
4.(台州·中考）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和
忍耐之草是苦的，但最终会结出甘甜而柔 软的果实。
——辛姆洛克
解析：(1)二次函数y=3(x+1)2的图象由二次函数y=3x2的图 象向左平移1个单位得到，它是轴对称图形.它的对称轴是直 线x=-1，顶点坐标是(-1,0) (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象由二次函数y=-3x2的图象 向右平移2个单位再向上平移4个单位得到. 对于二次函数y=3(x+1)2,当x≥-1时,y的值随x值的增大而增 大.当x<-1时,y的值随x值的增大而减小.二次函数 y=3(x+1)2+4的增减性与y=3(x+1)2相同.
（4, 4）,抛物线 y=a(x-m)2 +n 的顶点在线段AB上运动，
与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值
为-3，则点D的横坐标最大值为(
)
A.-3
B.1
C.5
D.8
y
A(1,4) B(4,4)
【答案】D
CO
x
D
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系 1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减 小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a<0时,开口向 下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧, y都随x的增大而减小.
2.不同点 (1)位置不同. (2)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (3)对称轴不同:分别是直线x=h和y轴. (4)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成是y=ax²的 图象先沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右 平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体向上(下)平移 |k|个单位 (当k>0时，向上平移;当k<0时,向下平移)得 到的.
【做一做】
1.在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象 2.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x²的图象 有什么关系?它们是轴对称图形吗?它们的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x 值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而 减小?
着y轴向下平移一个单位，此时图象的关系式为(
)
A.y＝2(x-3)２+4
B.y＝2(x-3)２+2
C.y＝2(x+1)２+4
D.y＝2(x+1)２+2
【答案】D
2.（兰州·中考）抛物线 y x 2 bx c 的图象向右 平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的关系
式为 y x 2 2 x 3 ，则b，c的值为（ ）
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=hຫໍສະໝຸດ 位置由h和k确定由h和k确定
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而增大. 在对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
当x=h时,最小值为k.
开口向下, 当x=1时y有 最大值；且 最大值为 2 (或最大值为-2).
【规律方法】二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系 一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数
y=a(x-h)²+k的图象.y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象先沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0 时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体向上 (下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平 移)得到的.
解: y=-0.1(x-13)²+59.9 （0≤x≤30） (1)当0≤x≤13时, 学生的接受能力逐步增强;
当13<x≤30时, 学生的接受能力逐步降低. (2)当x=10时，y=59.
(3)当x=13时，学生的接受能力最强为59.9.
1.(黔东南州·中考）在平面直角坐标系中，若关系式为
y＝2x2-4x+5的函数图象沿着x轴向左平移两个单位，再沿
解析：二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线y=3x2先沿 着x轴向右平移1个单位,再沿直线 x=1向上平移2个单位后得到的.
y 3x2
y 3x 12 2
y 3x 12
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似.
x=1
顶点是(1,2).
开口向上,当 x=1时有最小 值，且最小值为2.
2.你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=a(x-h)2+k的 形式吗? 3.由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
4.在同一平面直角坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2 的图象．
观察图象,回答问题.
y 3x2
y 3x 12