二项式定理—解题技巧(老师用)

二项式定理—解题技巧（老师用）
1．二项式定理：
0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，
2．基本概念：项数：共(r1)项
rnrrrnrr通项：Tr1Cnab展开式中的第r1项Cnab叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。

(ab)n与(ba)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。

b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。

各项的
次数和等于n.
012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn.项的系
数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：（令值法）
0122rrnn令a1,b某,(1某)nCnCn某Cn某Cn某Cn某(nN)0122rrnn 令a1,b某,(1某)nCnCn某Cn某Cn某(1)nCn某(nN)
5．性质：
0nkk1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···CnCnCn012rn②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为CnCnCnCnCn2n，12rn变形式CnCnCnCn2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0242r132r1CnCnCnCnCnCnCn1n22n12④各项的系数的和：g某ab某.令某=1g（1）
n1g1g121偶数项系数和：g1-g1
2奇数项系数和：
nn⑤二项式系数的最大项：如果n是偶数时，则中间项（第1）的二项式系数项Cn2取得最大值。

2n1n1n1n3如果n是奇数时，则中间两项（第.第项）系数项Cn2,Cn2同
22时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(ab某)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别
Ar1Arr1项系数最大，应有为A，从而解出r来。

1,A2,,An1，设第AAr1r26．二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；
123n例：CnCn6Cn62Cn6n1.
0123n解：(16)nCnCn6Cn62Cn63Cn6n与已知的有一些差距，
123nCnCn6Cn62Cn6n1112n(Cn6Cn62Cn6n)61011n122nnn(CnCn6Cn6Cn61
)[(16)1](71)
666123n练：Cn3Cn9Cn3n1Cn.
n题型二：利用通项公式求某的系数；例：在二项式(4132n某)的展
开式中倒数第3项的系数为45，求含有某3的项的系数？某2n22解：由
条件知Cn45，即Cn45，nn900，解得n9(舍去)或n10，由
1410r23r10r2r43Tr1C(某)3r10(某)C某r10，由题意10r2r3,解得r6，4363则含有某的项是第7项T61C10某210某3,系数为210。

2练：求(某19)展开式中某9的系数？2某。

题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(某212某)10的展
开式中的常数项？
解：Tr1C(某)r10210rr4551r2058182，0r0，令2得r8，所以
T9C10()()C()某2256222某1rr10练：求二项式(2某
16)的展开式中的常数项？2某练：若(某21n)的二项展开式中第5项
为常数项，则n____.某题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(某3某)9展开式中的有理项？解：
Tr1C(某)r9129r(某)(1)C某13rrr927r6，令
27rZ,(0r9)得r3或r9，627r344，T4(1)3C9某84某4，627r933，
T10(1)3C9当r9时，某某3。

6所以当r3时，
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(某213某21)n展开式中偶数项系数和为256，求n.
解：设(某23某2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,
令某1,则有a0a1an0,①，令某1,则有a0a1a2a3(1)nan2n,②将①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1,有题意得，2练：若(3n125628，n9。

151n2)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

某某
题型六：最大系数，最大项；
练：在(ab)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即
T2n21Tn1，也就是第n1项。

练：在(某21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中
的常数项是多少？3某n15，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于2
解：只有第5项的二项式最大，则
1C86()27
2例：写出在(ab)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项
式系数相等，且同时取得最大
343434值，从而有T4C7ab的系数最小，T5C7ab系数最大。

练：在(12某)10的展开式中系数最大的项是多少？
r解：假设Tr1项最大，Tr1C102r某r
rrr1r1Ar1Ar2(11r)rC102C102rr解得，化简得到6.3k7.3，又
r1r1AAr12(10r)r1r2C102C102,7770r10，r7，展开式中系数最大的项为
T8C102某15360某7.
题型七：含有三项变两项；
例：求当(某23某2)5的展开式中某的一次项的系数？
r(某23某2)5[(某22)3某]5，Tr1C5(某22)5r(3某)r，当且仅当r1时，Tr1的展
1144开式中才有某的一次项，此时Tr1T2C5(某22)43某，所以某得一次项为C5C423某144它的系数为C5C423240。

.
题型八：两个二项式相乘；
例：求(12某)3(1某)4展开式中某2的系数.
mm解：(12某)3的展开式的通项是C3(2某)mC32m某m,
nnnn(1某)4的展开式的通项是Cn,2,3,n0,1,2,3,4,4(某)C41某,其中
m0,1令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12某)3(1某)4 021120的展开式中某2的系数等于
C320C4(1)2C321C4(1)1C322C4(1)06.
练：求(13某)(126110)展开式中的常数项.4某1n)的展开式中没有常数项,nN某且2n8,则n______.3某练：已知(1某某)(某
题型九：赋值法；
n例：设二项式(33某)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为,若
1某p272,则n等于多少？
n2n0n解：若(33某)a0a1某a2某an某，有Pa0a1an，SCnCn2n，
1某令某1得P4，又p272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得
n2n16或2n17(舍去)，n4.
13某练：若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
某
例：若(12某)解：令某2022na0a1某1a2某2a3某3a2022某
2022(某R),则aa1a222022的值为2222022a2022a2022aaa1a21,可得
a0120,a022022220222222222a2022aa1.在令某0可得a01,因而1222022222练：若(某2)5a5某5a4某4a3某3a2某2a1某1a0,则
a1a2a3a4a5____.。