2014北京西城一模考试数学(文)

北京市西城区 2014届高三一模考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项． 1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）
（A ）(0,1)
（B ）(0,1]
（C ）(1,2)
（D ）[1,2)
2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ）
（A ）5
（B
（C
（D ）13
3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ）
（A
（B ）2
（C
（D
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A ）2 （B ）43
（C ）4
（D ）5
5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件
()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）
（A ）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x
（C ）()cos =f x x
（D ）()cos 2=f x x
6． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3
(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产． 第一年需运营费用2万元，从第二年
俯视图
俯视图
侧(左)视图
起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使
用了()n n *
∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
8． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一
点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） （A ） 4个 （B ）6个 （C ）10个 （D ）14个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数
1i
i 2i
x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10．若抛物线2
:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．
11．已知函数3, 0,()1, 0,1
≤+⎧⎪
=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数
0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．
12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那
么输出的a 值为______．
13．若不等式组1,
0,26,a
x y x y x y ⎧⎪⎪
⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个
四边形，则实数a 的取值范围是__________．
14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，
2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点． 设AP xAD =
，PB PC y ⋅=
，记()=y f x ，则(1)=f ____； 函数()f x 的值域为
_________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
A D C P
B
A
D
C
. P
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知222b c a bc +=+．
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）如果cos 3
=
B ，2b =，求a 的值． 16．（本小题满分13分）
某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．
是次品的概率；
（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*
∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．
所得的结果相同，求n 的最小值． 17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，
2AD AB =，SA SD =，SA AB
⊥， N 是棱AD 的中点．
（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面
ABCD ?若存在，求出SP
PC
的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分13分）
已知函数()ln a
f x x x
=-
，其中a ∈R ．
（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆22
221(0)x y W a b a b
+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，
O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆W 的方程．
（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =．
20．（本小题满分13分）
在数列{}n a 中，1
()n a n n
*=
∈N ． 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列． 例如数列1111
,,,2358
为{}n a 的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；
（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足
1
04
d -<<；
（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：
1234566332
c c c c c c +++++≤
．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．D 4．C
5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．2
5
-
10．4 2=-x 11．1- 3 12．256
13． (3,5) 14．1 4
[,4]5
注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分． 其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 2
2
2
b c a bc +=+，
所以 2221cos 22
b c a A bc +-==， ……………… 4分
又因为 (0,π)∈A ， 所以 π
3
A =
． ……………… 6分
（Ⅱ）解：因为 cos =
B ，(0,π)∈B ，
所以 sin B ==， ………………8分 由正弦定理
sin sin =
a b
A B ， ………………11分 得 sin 3sin ==b A
a B
． ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c ． ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A ． ……………… 4分 由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，
所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604
()2005
+==P A ． …………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=．
……………… 10分
所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*
=++=∈n k k k k k N ，
所以n 的最小值为10． ……………… 13分 17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，
所以 //AB CD ， ……………… 1分
又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，
所以 //AB 平面SCD ． ……………… 3分 （Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥= ， 所以
⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分
又因为 SN ⊂平面SAD ，
所以 AB SN ⊥． ……………… 6分 因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥． 又因为 AB AD A = ，
所以 SN ⊥平面ABCD ． ……………… 8分
（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PB ，
P
D ．
因为 SN ⊥平面ABCD ，
所以 FP ⊥平面ABCD ． …………… 11分 又因为 FP ⊂平面PBD ，
所以平面PBD ⊥平面ABCD ． …………… 12分 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ，
所以 1
2NF ND FC
BC ==
． 在SNC ∆中，因为//FP SN ，
所以
12NF SP FC PC ==． 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时1
2SP PC =
． ……… 14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由2
()ln f x x x
=-，得212()f x x x '=+， ……………… 2分
所以 (1)3f '=， 又因为 (1)2f =-，
所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=． ……………… 4分 （Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a
x x x
-
>-+， 即 2ln 2a x x x x <+-． ……………… 6分 设函数2()ln 2g x x x x x =+-，
则 ()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分 因为(1,)x ∈+∞，
所以ln 0x >，210x ->，
所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分 故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，
所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-． ……………… 11分 因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立．
所以1a -≤． ……………… 13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分 所以直线MF 的斜率为0
101
-=
=--MF b k ， 解得 1b =， ……………… 3分 由 2
2
2
a b c =+，得2
2a =，
所以椭圆W 的方程为2
212
x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y ．… 6分
由方程组22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222
(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分 所以 2
2
16880k m ∆=-+>， （*）
由韦达定理，得122
412km
x x k
-+=+, 21222212m x x k -=+． ……………… 8分 所以
||AB ==
…… 9分
因为原点O 到直线y kx m =+
的距离d =
， ……………… 10分
所以 1||2
AOB S AB d ∆=
⋅= ……………… 11分 当1k =
时，因为AOB S ∆=
所以当2
3
2
m =
时，AOB S ∆
的最大值12S =，
验证知（*）成立； ……………… 12分 当2k =
时，因为AOB S ∆=
所以当2
9
2
m =
时，AOB S ∆
的最大值22S =；
验证知（*）成立．
所以 12S S =． ……………… 14分 注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆
的面积的最大值都是2
．
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一． 如3项子列：
12，14，1
8
． ……………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知123451
0b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<． ……………… 4分
因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-，
解得 14d >-
． 所以1
04
d -<<． ……………… 7分
（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，
则 2
3
4
5
1234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++． 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111
()c a a
*=∈N ≤． ……………… 8分 设 (,K
q K L L
*=
∈N ，且,K L 互质，2L ≥）
． 当1K =时，
因为 11
2
q L =≤，
所以 2
3
4
5
1234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++ 2345
111111()()()()22222
+++++≤， 所以 12345663
32
c c c c c c +++++≤． ……………… 10分 当1K ≠时，
因为 5
5
6151==⨯K c c q a L
是{}n a 中的项，且,K L 互质，
所以 5*
()a K M M =⨯∈N ，
所以 2
3
4
5
1234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++
543223*********()M K K L K L K L KL L
=
+++++． 因为 2L ≥，*
,K M ∈N ， 所以 23451234561111163
1()()()()2222232
c c c c c c ++++++++++=
≤． 综上， 12345663
32
c c c c c c +++++≤
． ……………… 13分。