2021四川省成都市高新区中考数学一诊试卷

高新区2020-2021学年上学期期末学业质量检测试卷
九年级数学
A 卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A
B
C
D
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，1
sin 2
A = ,则BC 的长是（ ） A. 2
B. 3
C. 3
D. 233、己知一元二次方程230x x +-= 的根的情况是（ ） A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 只有一个实数根
4、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A.对角线相等
B.对角线垂直
C.邻边垂直
D.邻角互补
5、若点A （-1，1y ），B （1，2y ），C （2，3y ）在反比例函数x
y 1
=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >>
B. 132y y y >>
C.231y y y >>
D. 123y y y >>
6、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是（ ） A. ∠ADE=∠B B. ∠AED=∠C C. =AD AB AE
AC
D. DE AE BC AC
=
7、在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球和白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（ ）
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
A. 0.5
B. 0.55
C. 0.6
D. 0.65
8、某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求该公司11、12两个月的营业额的月平均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A.2500（1+x ）2=3600 B.3600（1+x ）2=2500 C.2500（1+2x ）=3600
D. 2500（1+x 2）=3600
9、如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上，且∠BDC=35°，则∠ABC 的度数是（ ） A. 35°
B. 70°
C. 55°
D. 50°
10、关于二次函数2241y x x =-+ ，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在y 轴的左侧 B. 图象的顶点在x 轴下方
C. 当x>0时，y 随x 值的增大而增大
D. y 的最小值为1
第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题（每小题4分，共16分） 11、已知
3
2
x y =，则x y y -的值为 ．
12、如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC=EC ，则∠DAE 的度数为 ．
第12题图 第14题图
第9题图
13、已知反比例函数3
m y x
-=的图象具有下列特征：在所在象限内，y 随x 的增大而增大，那么m 的取值范围是 ．
14、如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地3m ，则地面上阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15、（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：0)14.3(21845cos 2+--+-π
（2）解方程：0862=++x x
16、（本小题6分）
小明和小亮用如图所示的甲、乙两个转盘（甲转盘被分成五个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）
（1）请求出甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若两次数字之和为3、4或5时，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗?请用树状图或列表法 说说你的理由．
甲 乙
如图，BD是△ABC的角平分线，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AE=3，BE=4，求FC的长．
18、（本小题满分8分）
如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．
（参考数据:sin37°～060，cos370.80，tan37°=0.75）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =的图象都经过A(-2，-4)， B(4，a)两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O ，A 两点的直线与反比例函数图象交于点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．
20、(本小题满分10分)
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在边AC 上，∠DBC=∠BAC ．⊙O 经过A 、B 、D 三点，连接DO 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ，DE 与AB 交于点F ． （1）求证：CB 是⊙O 的切线； （2）求证：AB=EB ；
（3）若DF=3，EF=7，求BC 的长．
B 卷（共50分）
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上) 21、已知a 、b 是方程032=--x x 的两个实数根，则12++b a 的值为 ．
22、在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD 是AB 边上的中线，BC=8，CD=5，则tan ∠ACD= ．
23、在平面直角坐标中，△ABC 的顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，5)，以点A 为位似中心，相似比为1：2，把三角形ABC 缩小得到△AB 1C 1，则点C 的对应点C 1的坐标为 ．
24、如图，平面直角坐标系xOy 中，在反比例函数x k y 4=(k>0，x>0)的图象上取点A ，连接OA ，与x
k
y =的图象交于点B ，过点B 作BC ∥x 轴交函数x k y 4=的图象于点C ，过点C 作CE ∥x 轴交函数x
k
y =的图象于
点E ，连接AC ，OC ，BE ，OC 与BE 交于点F ，则
ABC
CEF
S S ∆∆= ．
25、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=34，M 为BC 边中点，E 为AD 边上的一动点，过点A 作BE 的垂线，垂足为F ，连接FM ，则FM 的最小值为 ．在线段FM 上取点G ，使GM=4
3
FM ，将线段GM 绕点M 顺时针旋转60°得到NM ，连接GN ，CN ，则CN 的最小值为 ．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答题写在答题卡上) 26、(本小题满分8分)
某旅馆有客房120间，经市场调査发现，客房每天的出租数量y （间）与每间房的日租金x （元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间．
（1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y （间）与每间房的日租金x （元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）设客房的日租金总收人为W （元），不考虑其它因素，旅馆将客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？
27、(本小题满分10分)
如图，在菱形ABCD 中、AB=132，tanBAC=
3
2
．点E 在射线BC 上，连接DE ，DE 绕点D 顺时旋转，旋转后得到的线段与对角线AC 交于点F ，旋转角∠EDF=∠BAC 。

射线DE 与射线AC 交于点P ． （1）如图1，当点E 在线段BC 上时，求证：△FDP ∽△FCD ．
（2）如图2，点E 在线段BC 的延长线上，当DF=5时，求线段CE 的长． （3）如图3，连接EF ，当EF ∥AB 时，求线段EF 的长．
图1 图2 图3
28、(本小题满分12分)
如图1，在平面直角坐标xOy 系中，已知抛物线c bx x y ++-=22
1
与x 轴交于点A(-4，0)、B(2，0)，与y 轴
交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，沿直线AC 平移抛物线c bx x y ++-=22
1
，使得A 、C 两点的对应点E 、F 始终在直线AC 上．
①设在平移过程中抛物线与y 轴交于点M ，求点M 纵坐标的最大值；
②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E ，使得以A 、E 、B 为顶点的三角形与△ABF 相似．若存在，请直接写出此时点E 的坐标；若不存在，请简要说明理由．
图1 图2 备用图
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．
2．A．
3．C．
4．B．
5．B．
6．D．
7．C．
8．A．
9．C．
10．B．
二．填空题（共4小题）
11．．
12．22.5°．
13．m＜3．
14．1.44π．
三．解答题（共5小题）
15．解：（1）原式＝2×﹣2+﹣1﹣1
＝﹣2+﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）x2+6x+8＝0
（x+2）（x+4）＝0，
解得：x1＝-2，x2＝﹣4．
16．解：（1）甲转盘指针指向偶数区域的概率为；
（2）列表如下：
123
1234
2345
3456
4567
5678由表可知，共有15种等可能结果，其中两次数字之和为3，4或5的有8种结果，两次数字之和不是3，4或5的有7种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∴此游戏不公平．
17．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形，
（2）∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
解得：BC＝，
∴FC＝BC﹣BF＝＝．
18．解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F，
则DE＝AF＝1.5米，
∴BF＝AB﹣AF＝16.5﹣1.5＝15（米），
在Rt△BFD中，∠CDF＝37°，
∴tan37°＝，即0.75≈，
∴DF≈20米，
在Rt△DFC中，∵∠CDF＝45°，
∴CF＝DF≈20米，
∴BC＝CF﹣BF≈20﹣15＝5（米），
答：避雷针BC的长度约为5米．
19．解：（1）将A（﹣2，﹣4），B（4，a）两点代入y＝中，得m＝﹣2×（﹣4）＝4a，解得，m＝8，a＝2，
∴反比例函数的表达式为；
将A（﹣2，﹣4）和B（4，2）代入y＝kx+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣2；
（2）如图，过点C作CD∥y轴于D，
由题意可知，点A与点EC于原点对称，
∴C（2，4），
当x＝2时，y＝0，此时点D在x轴上，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
20.（1）证明：在⊙O中，OB＝OD，∠BAC＝∠BED，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BED，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠ODB+∠BED＝90°，
∴∠OBD+∠DBC＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：在⊙O中，∠ABD＝∠AED，
由（1）得：∠DBC＝∠BED，
∴∠ABD+∠DBC＝∠AED+∠BED，
∴∠ABC＝∠BEA，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ACB＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB；
（3）解：延长BO交AE于H，
由∠HAC＝∠ACB＝∠OBC＝90°，得四边形ACBH是矩形，∴OH⊥AE，
∴BC＝AH＝AE，
∵DF＝3，EF＝7，
∴直径DE＝10，
即半径DO＝EO＝5，
∴OF＝2，
∵OB∥AC，
∴＝，
∴AD＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∴BC＝AH＝AE＝．
B卷
一．填空题（共5小题）
21．5．
22．．
23．（2，3）或（0，﹣1）．
24．．
25．﹣．
二．解答题（共3小题）
26．解：（1）每天的出租的房间数y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把（160，120），（170，114）代入得，
解得：，
∴每间房日租金x（元）与客房每天的出租数量y（间）的函数关系式为y＝﹣x+216，
由题意得：，
∴160≤x≤210，
∴自变量x的取值范围是160≤x≤210；
（2）由题意得，W＝xy＝（﹣x+216）x＝﹣（x﹣180）2+19440，
∵﹣＜0，160≤x≤210，
∴当x＝180时，W最大＝19440，
答：旅馆将每间客房的日租金定为180元时，客房的日租金总收入最高，最高总收入为19440元．27．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠DCF，
∵∠DFP＝∠CFD，
∴△FDP∽△FCD；
（2）解：如图2，连接DB交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DOC＝90°，
∵CD＝AD＝AB＝2，tan∠BAC＝，
∴OB＝DO＝4，AO＝CO＝6，
在Rt△DOF中，DF＝5，
∴OF＝＝＝3，FC＝6﹣3＝3，由（1）得：△FDP∽△FCD，
∴，
∴FD2＝FC•FP，即52＝3FP，
∴FP＝，
∴CP＝﹣3＝，AP＝AC+CP＝12+＝，∵，即＝，
解得：CE＝；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∴EF＝EC，
由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA，
∵∠FPD＝∠EPC，
∴△FPD∽△EPC，
∴，
∵∠FPE＝∠DPC，
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠PDC＝∠DAC，
∵∠DCP＝∠ACD，
∴△DCP∽△ACD，
∴，
∴CD2＝CP•CA，
由（2）知：CD＝2，AC＝12，
∴CP＝，AP＝12﹣CP＝12﹣＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴＝，
∴CE＝，
∴EF＝CE＝．
28．解：（1）如图1，将点A（﹣4，0）和点B（2，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+4；
（2）①如图2，过E作EH⊥x轴于H，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∴抛物线y＝﹣x2﹣x+4沿直线AC平移，实际上就是向右、向上（或向左、向下）同时移动m个单位（图2中AH＝EH＝|m|），
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1﹣m）2++m，
令x＝0，得点M的纵坐标y M＝﹣（1﹣m）2++m＝﹣+6，
∴点M的纵坐标的最大值是6；
②存在，
由题意得：EF＝AC＝4，AB＝6，
过点E作EQ⊥x轴于Q，设AE＝n，
i）如图3，E，F两点都在x轴上方时，
∵∠BAE＝∠F AB，
∴当∠ABE＝∠AFB时，△ABE∽△AFB，
∴，
∴AB2＝AE•AF，
∴36＝n（n+4），
解得：n＝﹣2（n＝﹣2﹣2不符合题意，舍去），∴AQ＝EQ＝﹣2+，
∴此时点E的坐标为（﹣6+，﹣2+）；
ii）如图4，E，F两点分别在x轴两侧时，
△ABE始终是钝角三角形，且∠BAE＞∠BF A，
此时△ABE与△AFB不相似；
iii）如图5，E，F两点都在x轴下方时，
∵∠BAE＝∠F AB，
∴当∠ABE＝∠AFB时，△ABE∽△AFB，
∴，
∴AB2＝AE•AF，
∴36＝n（n﹣4），
解得：n＝2（n＝2﹣2不符合题意，舍去），
∴AQ＝EQ＝2+，
∴此时点E的坐标为（﹣6﹣，﹣2﹣）；
综上，当点E的坐标为（﹣6+，﹣2+）或（﹣6﹣，﹣2﹣）时，A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．。