江苏省盐城市滨海县2016届九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）
A．y=3x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=﹣x D．y=
2．已知，那么下列式子中一定成立的是（）
A．x+y=5 B．2x=3y C．D．
3．方程x2﹣4x=0的解是（）
A．0 B．4 C．0或﹣4 D．0或4
4．袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）
A．这个球一定是黑球
B．这个球一定是白球
C．“摸出黑球”的可能性大
D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
5．如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE：S△BOC=（）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3
6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）
A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
7．时钟的分针长5cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是（）
A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm
8．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．已知≠0，则=．
10．已知一组数据：4，﹣1，5，9，7，则这组数据的极差是．
11．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是．
12．若a是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则代数式2a2﹣4a+2015的值为．13．将抛物线y=2（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新二次函数的表达式是．
14．小明某学期的数学平时成绩80分，期中考试80分，期末考试90分．若计算这学期数学成绩的方法如下：平时：期中：期末=3：3：4，则小明这学期数学成绩是分．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于°．
17．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米．
18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和△ABC 的顶点均为格点．
（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC 位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C 和坐标为（2，4），则点A′的坐标为（ ， ），点C′的坐标为（ ， ），S △A′B′C′：S △ABC = ．
20．已知二次函数y=x 2﹣6x +8．
（1）将y=x 2﹣6x +8化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式 ；
（2）写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围；
（3）当0≤x≤4时，y的最小值是，最大值是．
21．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
22．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=4，求该矩形的面积．23．为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对市直机关600户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭去年一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（2）根据样本数据，估计该市直机关600户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
24．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n1001502005008001000
摸到白球的次数m5896116295484601
摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50607080…
销售量y（千克）…100908070…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
27．已知：如图①，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm，将△ABC绕AC中点旋转180°得△CDA，如图②，再将△CDA沿AC的方向以1cm/s的速度平移得到△NDP；同时，点Q从点C出发，沿CB方向以1cm/s的速度运动，当△NDP停止平移时，点Q也停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题．
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）设△PQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S
△QDC ：S
四边形ABQP
=1：4？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥DQ？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
28．如图，已知直线y=﹣x+5分别交x轴，y轴于B，C两点，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
2015-2016学年江苏省盐城市滨海县九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）
A．y=3x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=﹣x D．y=
【考点】二次函数的定义．
【分析】分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、y=3x+1是一次函数关系，故此选项错误；
B、y=x2+2x﹣1是二次函数关系，故此选项正确；
C、y=﹣x是正比例函数关系，故此选项错误；
D、y=是反比例函数关系，故此选项错误；
故选：B．
2．已知，那么下列式子中一定成立的是（）
A．x+y=5 B．2x=3y C．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵，∴x+y=5不一定成立，A错误；
∵，∴3x=2y，∴2x=3y不成立，B错误；
∵，∴=，C错误，D正确，
故选：D．
3．方程x2﹣4x=0的解是（）
A．0 B．4 C．0或﹣4 D．0或4
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x（x﹣4）=0，
∴x=0或x﹣4=0，
解得：x=0或x=4，
故选：D．
4．袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）
A．这个球一定是黑球
B．这个球一定是白球
C．“摸出黑球”的可能性大
D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大
【考点】可能性的大小．
【分析】根据概率公式先求出摸出黑球和白球的概率，再进行比较即可得出答案．【解答】解：∵布袋中有除颜色外完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为=，摸出一个球是白球的概率为=，
∴摸出黑球”的可能性大；
故选C．
5．如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE：S△BOC=（）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．
【分析】利用三角形重心的定义得出D是AB的中点，E是AC的中点，进而得出△DOE∽△COB，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵点O为重心，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE∥BC，=，
∴△DOE∽△COB，
∴S
△DOE ：S
△BOC
=1：4．
故选：A．
6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）
A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
【考点】三角形中位线定理．
【分析】由已知条件得出MN是△ABC的中位线，CM=MA，由三角形中位线定理得出MN∥AB，MN=AB，AB=2MN=12m，得出△CMN∽△CAB；即可得出结论．
【解答】解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，CM=AM，
∴MN∥AB，MN=AB，AB=2MN=12m，CM：MA=1：1，
∴△CMN∽△CAB；
故选：D．
7．时钟的分针长5cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是（）
A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm
【考点】弧长的计算．
【分析】先求出经过15分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
【解答】解：∵分针经过60分钟，转过360°，
∴经过15分钟转过360°×=90°，
则分针的针尖转过的弧长是l==π（cm）．
故选：C．
8．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．已知≠0，则=3．
【考点】比例的性质．
【分析】设=k，得出a=3k，b=4k，c=5k，再代入要求的式子进行计算即可．
【解答】解：设=k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
==3．
故答案为：3．
10．已知一组数据：4，﹣1，5，9，7，则这组数据的极差是10．
【考点】极差．
【分析】根据极差的定义即极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
【解答】解：这组数据的极差是：9﹣（﹣1）=10；
故答案为：10．
11．地球上陆地与海洋面积的比是3：7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是．
【考点】几何概率．
【分析】利用地球上陆地与海洋面积的比得出陆地面积与地球面积的比，进而求
出宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率．
【解答】解：∵地球上陆地与海洋面积的比是3：7，
∴宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是：=．
故答案为：．
12．若a是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则代数式2a2﹣4a+2015的值为2017．【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2﹣2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个解，
∴a2﹣2a=1，
则2a2﹣4a+2015=2（a2﹣2a）+201=2×1+2015=2017；
故答案为：2017．
13．将抛物线y=2（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新二次函数的表达式是y=2x2．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先由顶点式得到抛物线y=2（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，3），再根据点平移的规律得到（0，0），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=2（x+2）2﹣32的顶点坐标为（﹣2，﹣3），向右移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（0，0），
所以得平移后的抛物线的表达式是y=2x2．
故答案为y=2x2．
14．小明某学期的数学平时成绩80分，期中考试80分，期末考试90分．若计算这学期数学成绩的方法如下：平时：期中：期末=3：3：4，则小明这学期数学成绩是84分．
【考点】加权平均数．
【分析】根据学期总评成绩=平时作业成绩×所占比+期中练习成绩×所占比+期
末成绩×所占比即可求得学期总成绩．
【解答】解：（80×3+80×3+90×4）÷（3+3+4）
=840÷10
=84（分）
答：小明这学期数学成绩是84分．
故答案为：84．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为4．【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，
解得k=4．
故答案为4．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于30°．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】先判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，然后根据圆周角定理求∠C的度数．
【解答】解：∵AB=OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°．
故答案为30．
17．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20
米的A处，则小明的影子AM长为5米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+．
【考点】二次函数综合题．
【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
【解答】解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO•BO=3，
∴CO=，
∴CD=CO+OD=3+，
故答案为：3+．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C和坐标为（2，4），则点A′的坐标为（﹣1，0），点C′的坐
标为（1，2），S
△A′B′C′：S
△ABC
=1：4．
【考点】作图﹣位似变换．
【分析】（1）利用△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，进而将对应点坐标乘以得出即可；
（2）利用所画图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）A′（﹣1，0），
C′（1，2），
S△A′B′C′：S△ABC=1：4．
故答案为：﹣1，0；1，2；1：4．
20．已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将y=x2﹣6x+8化成y=a（x﹣h）2+k的形式y=（x﹣3）2﹣1；
（2）写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围x＜3；
（3）当0≤x≤4时，y的最小值是﹣1，最大值是8．
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）利用开口方向以及顶点坐标得出x的取值范围；
（3）分别分析当﹣1≤x≤1时，当1≤x≤2时，进而得出答案．
【解答】解：（1）y=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，即y=（x﹣3）2﹣1．
故答案是：y=（x﹣3）2﹣1．
（2）由y=（x﹣3）2﹣1得图象的对称轴为直线x=3，
∵a=1＞0，
∴y随x的增大而减小，自变量取值范围是：x＜3；
故答案是：x＜3；
（3）∵x=3在0≤x≤4的范围内，a=1＞0，
∴函数y有最小值为﹣1，
0﹣3）2﹣1=8，
∵x=0时离对称轴远，则当x=0时，y
最大值=（
故答案是：﹣1，8．
21．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，可得：∠EDA=∠CAB，由∠B=∠DAE，然后根据两角对应相等，两三角形相似，可证△ABC∽△DAE；
（2）由相似三角形对应边成比例，可得：，然后将AB=8，AD=6，AE=4，代入即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠CAB，
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（2）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴．
∴BC=．
22．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=4，求该矩形的面积．【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）利用根的判别式，确定k的范围．
（2）把k=4代入原方程，利用根与系数的关系，求出矩形的面积．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，
即[﹣（k+1）]2﹣4×＞0，
解得k＞
即当k＞时，方程有两个不相等的实数根．
（2）当k=4时，原方程为：x2﹣5x+5=0，
若该方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1•x2=5
因为方程的两根恰好是一个矩形的两邻边的长，
所以该矩形的面积=x1•x2=5．
23．为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对市直机关600户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭去年一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（2）根据样本数据，估计该市直机关600户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算公式和定义分别进行解答即可得出答案；
（2）先求出家庭中月平均用水量不超过12吨所占的百分比，再乘以总数即可得出答案．
【解答】解：（1）这100个样本数据的平均数是：（10×20+11×40+12×10+13×20+14×10）=11.6（吨）；11出现的次数最多，出现了40次，则众数是11；把这100个数从小到大排列，最中间两个数的平均数是11，则中位数是11；（2）根据题意，600×=420（户），
答：估计该市直机关600户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有420户．
24．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n1001502005008001000
摸到白球的次数m5896116295484601
摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多少？
【考点】利用频率估计概率．
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出两只球颜色不同所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=5×0.6=3（只）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种，
所以两只球颜色不同的概率==．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50607080…
销售量y（千克）…100908070…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得，
解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BEC=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF，
∴．
27．已知：如图①，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3cm，BC=5cm，将△ABC绕AC中点旋转180°得△CDA，如图②，再将△CDA沿AC的方向以1cm/s的速度平移得到△NDP；同时，点Q从点C出发，沿CB方向以1cm/s的速度运动，当△NDP停止平移时，点Q也停止运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题．
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）设△PQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S
△QDC ：S
四边形ABQP
=1：4？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥DQ？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求AC=4，根据平移的性质和平行四边形的性质得：PQ∥AB，列比例式为=，代入可求t的值；
（2）作辅助线，构建高线，利用面积法求AE的长，利用勾股定理计算CE的长，
证明△CPF∽△CAE，列式可表示PF的长，根据面积公式计算y与t之间的函数关系式；
（3）根据同底等高的两个三角形面积相等得：S
△PQC =S
△MQC
，由已知得：S
△MQC
：
S△ABC=1：5，把（2）中的式子代入可求t的值；
（4）如图2，证明△MQP∽△PFQ，列比例式可求得：PQ2=PM×FQ，由勾股定理相结合得：PF2+FQ2=PM×FQ，代入列方程可得结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC==4，
由平移性质可得MN∥AB；
∵PQ∥MN，
∴PQ∥AB，
∴=，即=，
解得，t=；
（2）如图2，作PF⊥BC于点F，AE⊥BC于点E，
由S
△ABC
=AB×AC=AE×BC可得，×3×4=×5AE，
∴AE=，
由勾股定理得：CE==，
∵PF⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥PF，
∴△CPF∽△CAE，
∴==，即==，
解得，CF=，PF=，
∵PM∥BC，所以M到BC的距离h=PF=，
∴△QCM是面积y=CQ×h=×t×=﹣t2+6t；
（3）∵PM∥BC，
∴S
△PQC
=S△MQC，
∵S
△QMC ：S
四边形ABQP
=1：4，
∴S
△MQC ：S
△ABC
=1：5，
则5（﹣t2+6t）=×4×3，t2﹣4t+4=0，
解得：t1=t2=2，
∴当t=2时，S
△QMC ：S
四边形ABQP
=1：4；
（4）如图2，∵PQ⊥MQ，
∴∠MQP=∠PFQ=90°，
∵MP∥BC，
∴∠MPQ=∠PQF，
∴△MQP∽△PFQ，
∴=，
∴PQ2=PM×FQ，
即PF2+FQ2=PM×FQ，
由CF=，得FQ=CF﹣CQ=，
则（）2+（）2=5×，
整理得2t2﹣3t=0，
解得t1=0（舍），t2=，
答：当t=时，PQ⊥MQ．
28．如图，已知直线y=﹣x+5分别交x轴，y轴于B，C两点，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）分别令x=0，令y=0求得直线y=﹣x+5与两坐标轴的交点坐标，则B（5，0），C（0，5），然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式求得b、c 的值即可得到抛物线的解析式；
（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），然后得到MN的长度与x的函数关系，然后利用配方法可求得MN的最大值；
（3）先求得点N的坐标，然后再求得A，B的坐标，则可得到△ABN的面积，于是可得到平行四边形CBPQ的面积S1=30，依据平行四边形的面积公式可求得平行四边形的高=3，点B作BC的垂线，截取DB=3，过点D作直线DE∥BC，交x轴与点E，交抛物线与P，P′两点，然后证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=6，故此可知E（﹣1，0），设直线DE的解析式为y=﹣x+t，将点E（﹣1，0）代入可求得直线DE的解析式为y=﹣x﹣1，最后将y=﹣x﹣1与y=x2﹣6x+5联立可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵在y=﹣x+5中，令x=0得：y=5，令y=0得：x=5．
∴B（5，0），C（0，5）．
将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：b=﹣6，c=5．
所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5．
（2）如图1所示：
设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）．
∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，MN有最大值．
（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，
∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x2﹣6x+5=0，得：x=1或x=5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∴AB=5﹣1=4．
∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5．
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为h．
∵BC=5，
∴BC•h=30．
∴h=3．
如图2所示：过点B作BC的垂线，截取DB=3，过点D作直线DE∥BC，交x 轴与点E，交抛物线与P，P′两点．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°．
∴△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6．
∵B（5，0），
∴E（﹣1，0）．
设直线DE的解析式为y=﹣x+t，将点E（﹣1，0）代入得：1+t=0，解得：t=﹣1．
∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1．
解方程组得：，
∴点P的坐标为（2，﹣3）或（3，﹣4）．
2017年3月17日。