数学人教A版(2019)选择性必修第二册4
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解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为 1，3，9，27， 即所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂，指数为序号减 1. 因此，这个数列的一个通项公式是 an 3n1 .
若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式 子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
， a3
(1)3 31
， a4
(1)4 4 1
，
因此该数列的一个通项公式为 an
(1)n n 1
.故选
A.
D 2.在数列an 中， a1
1， an
2 2an1
1
(n
2 ， n N* )，则 a4 (
).
2
2
A.
B.
C.2
D.6
11
3
2 解析：因为 a1 1 ， an 2an1 1 ( n
数列an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列an 的前 n 项和，记作 Sn ，
即 Sn a1 a2 an . ②数列的前 n 项和公式
如果数列an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式.
③由 Sn 求通项公式
所以an 的通项公式是 an 2n .
课堂小练
A 1.若数列的前 4 项分别是 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，则此数列一个通项公式为( ). 23 45
(1)n A.
n 1
(1)n B.
n
(1)n1 C.
n 1
(1)n1 D.
n
解析：设所求数列为an ，可得出 a1
(1)1 11
， a2
(1)2 2 1
例5
已知数列an 的首项为 a1 1 ，递推公式为 an
1 1 (n an1
2) ，写出这个
数列的前 5 项. 解：由题意可知， a1 1 ，
a2
1
1 a1
1 1 1
2 ， a3
1
1 a2
1
1 2
3 2
，
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
， a5
1
1 a4
1
3 5
8 5.
①数列的前 n 项和的定义
2
， n N*
)，所以 a2
2 2a1 1
2
，则
a3
序号 1
2
3
…
n
…
项
a1
a2
a3
……
an
…
所以数列{an} 是从正整数集 N* （或它的有限子集{1，2，…，n} ）到实数集 R 的 函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an ，记为an f (n) .也就是 说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f (1) ， f (2) ，…， f (n) ，…就是数列{an} .另一方面，对于函数 y f (x) ，如 f (n)(n N*) 有 意义，那么 f (1) ， f (2) ，…， f (n) ，…构成了一个数列{ f (n)} .
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如果数列{an} 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例 l 根据下列数列{an} 的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象.
an (1)n1 1 .
例 3 如果数列{an} 的通项公式为 an n2 2n ，那么 120 是不是这个数列的项？ 如果是，是第几项？
解：令 n2 2n 120 ， 解得 n 12 （舍去），或 n 10 . 所以 120 是数列{an} 的项，是第 10 项.
例 4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中 4 个大三角形中， 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，写出这个数列的一个通项公式.
第四章 数列
4.1 数列的概念
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列 表、图象、通项公式）以及数列的分类. 2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质. 3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公 式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同. 4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这 个数列的项. 第 n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用 an 表示.其中第 1 项也叫 做首项.
数列的一般形式是 a1 ， a2 ，…， an ，…，简记为{an} .
由于数列{an} 中的每一项 an 和它的序号 n 有下面的对应关系：
定义域 正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）
解析式 数列的通项公式
自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一 值域
列函数值构成
表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法
与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都 大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于 它的前一项的数列叫做递减数列.
S1 a1 ， Sn1 a1 a2
an1(n1
， Sn
1
n ，n
1 2
.
例 6 已知数列an 的前n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
解：因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1 n2 n [(n 1)2 (n 1)] 2n(n 2) ， 并且当 n 1 时， a1 21 2 依然成立.
例 2 根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，
1 2
，1 3
，
1 4
，
；
（2） 2，0，2，0， .
解：（1）这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数
项为负，所以它的一个通项公式为 an
(1)n1 n
.
（2）这个数列前 4 项的奇数项是 2，偶数项是 0，所以它的一个通项公式为
（1） an
n2 2
n
；
(n 1)π （2） an cos 2 .
解：（1）当通项公式中的 n 1，2，3，4，5 时， 数列{an} 的前 5 项依次为1，3，6，10，15 ，图象如图所示.
（2）当通项公式中的 n 1，2，3，4，5 时， 数列{an} 的前 5 项依次为1，0，1，0，1 ，图象如图所示.
若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式 子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
， a3
(1)3 31
， a4
(1)4 4 1
，
因此该数列的一个通项公式为 an
(1)n n 1
.故选
A.
D 2.在数列an 中， a1
1， an
2 2an1
1
(n
2 ， n N* )，则 a4 (
).
2
2
A.
B.
C.2
D.6
11
3
2 解析：因为 a1 1 ， an 2an1 1 ( n
数列an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列an 的前 n 项和，记作 Sn ，
即 Sn a1 a2 an . ②数列的前 n 项和公式
如果数列an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式.
③由 Sn 求通项公式
所以an 的通项公式是 an 2n .
课堂小练
A 1.若数列的前 4 项分别是 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，则此数列一个通项公式为( ). 23 45
(1)n A.
n 1
(1)n B.
n
(1)n1 C.
n 1
(1)n1 D.
n
解析：设所求数列为an ，可得出 a1
(1)1 11
， a2
(1)2 2 1
例5
已知数列an 的首项为 a1 1 ，递推公式为 an
1 1 (n an1
2) ，写出这个
数列的前 5 项. 解：由题意可知， a1 1 ，
a2
1
1 a1
1 1 1
2 ， a3
1
1 a2
1
1 2
3 2
，
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
， a5
1
1 a4
1
3 5
8 5.
①数列的前 n 项和的定义
2
， n N*
)，所以 a2
2 2a1 1
2
，则
a3
序号 1
2
3
…
n
…
项
a1
a2
a3
……
an
…
所以数列{an} 是从正整数集 N* （或它的有限子集{1，2，…，n} ）到实数集 R 的 函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an ，记为an f (n) .也就是 说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f (1) ， f (2) ，…， f (n) ，…就是数列{an} .另一方面，对于函数 y f (x) ，如 f (n)(n N*) 有 意义，那么 f (1) ， f (2) ，…， f (n) ，…构成了一个数列{ f (n)} .
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如果数列{an} 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例 l 根据下列数列{an} 的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象.
an (1)n1 1 .
例 3 如果数列{an} 的通项公式为 an n2 2n ，那么 120 是不是这个数列的项？ 如果是，是第几项？
解：令 n2 2n 120 ， 解得 n 12 （舍去），或 n 10 . 所以 120 是数列{an} 的项，是第 10 项.
例 4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中 4 个大三角形中， 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，写出这个数列的一个通项公式.
第四章 数列
4.1 数列的概念
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列 表、图象、通项公式）以及数列的分类. 2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质. 3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公 式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同. 4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这 个数列的项. 第 n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用 an 表示.其中第 1 项也叫 做首项.
数列的一般形式是 a1 ， a2 ，…， an ，…，简记为{an} .
由于数列{an} 中的每一项 an 和它的序号 n 有下面的对应关系：
定义域 正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）
解析式 数列的通项公式
自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一 值域
列函数值构成
表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法
与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都 大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于 它的前一项的数列叫做递减数列.
S1 a1 ， Sn1 a1 a2
an1(n1
， Sn
1
n ，n
1 2
.
例 6 已知数列an 的前n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
解：因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1 n2 n [(n 1)2 (n 1)] 2n(n 2) ， 并且当 n 1 时， a1 21 2 依然成立.
例 2 根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，
1 2
，1 3
，
1 4
，
；
（2） 2，0，2，0， .
解：（1）这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数
项为负，所以它的一个通项公式为 an
(1)n1 n
.
（2）这个数列前 4 项的奇数项是 2，偶数项是 0，所以它的一个通项公式为
（1） an
n2 2
n
；
(n 1)π （2） an cos 2 .
解：（1）当通项公式中的 n 1，2，3，4，5 时， 数列{an} 的前 5 项依次为1，3，6，10，15 ，图象如图所示.
（2）当通项公式中的 n 1，2，3，4，5 时， 数列{an} 的前 5 项依次为1，0，1，0，1 ，图象如图所示.