三角函数复习课件[免费课件]

例2、已知sin
+cos
=
1， 5
0, ,求cot的值
注：在应用三角公式进行开方运算时，要 根据角的范围，确定正负号的取舍。
练习：
1、已知sin
+cos
=
2 3
，
0,
,
求sin cos及sin 3 + cos 3 的值。
小结：sin cos, sin cos, sin cos 三个式子中，已知其中一个式子的值， 可以求出其余两个式子的值。
r
r
x
csc r ,sec r , cot x
y
x
y
y P(x,y) 的终边 ● r
o
x
r x2 y2
三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”
4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
商数关系：
tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1
tan sin c os
专题 三：三角函数求值
一、已知三角函数值求三角函数值
例1、设tan
=5,tan
-
4
=4，
求tan
+
4
.
练习1、已知cos
-
=-
4 5
,cos
=
4 5
,
90< - <180, 270< <360,求cos2
2、设cos
-
2
=-
1 9
,sin
2
=
2 3
,
且
2
<
<
,0<
<
2
,求cos
y=sinx
y
图
1
象
2
-1 o
2
3
2
2 x
y=cosx
y
1
o
2 -1 2
3 2 x
2
定义域
R
R
值域 性 周期性
[-1，1]
T=2
奇偶性
奇函数
质 单调性
[2k ,2k ]增函数
2
2
[2k ,2k 3 ]减函数
2
2
[-1，1]
T=2
偶函数
[2k ,2k ]增函数
[2k ,2k ]减函数
2
2 sin( )
cos sin 2 sin( )
cos sin cos sin
4
4
1 tan 2 2 3
1 tan
应用：化简求值
例5:已知函数 y sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x, x R,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的
cos2 cos2 sin2
cos2 sin2 1
2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别
cos2 1 cos2
2
sin2 1 cos2
2
三、三角函数的图象和性质
1、正弦、余弦函数的图象与性质
1
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度 0 30 45 60 90120 135 150 180270360
弧度 0
64
3
2 3 5
23 4 6
3 2
2
计算公式 |a|=l/r （a为弧度，l为弧长，r为半径) 扇形面积公式：S=1/2(a*r*r)
3、任意角的三角函数定义
定义：
sin y , cos x , tan y
1 cos x sin x
在下列区间上的奇偶性.
(1) x (- , ); (2) x [- , ].
22
22
练习:判断下列函数的奇偶性
(1) y= 2 cos x; (2)y= 1-cosx 1 cos x
专题五：三角函数图像变换
例1、y=sin的图像作如何变换
可得到y=sin
2
4
2
8
8
函数的单增区间为[k 3 , k ](k Z)
⑶ ⑷
当2 y
x
2
2k
4 sin 2x
,即x
8 k
8 (k
2
8
图象向左平移 8 个单位
Z
)时, y最大值 2
y 2 sin(2x
4
2
)
图象向上平移2个单位
y 2 2 sin(2x )
4
应用：化同一个角同一个函数
专题训练：
解:
sin(
)
cos[
2
[cos(
()cos)(]co) s[s(in(4))(sin(4)]
)]
4
4
4
4
sin( ) 3 ,且 ( , 3 )cos( ) 4
45
44
45
cos( ) 5 ,且 (0, ),sin( ) 12
4 13
4
4 13
上式 ( 4 5 3 12) 56 5 13 5 13 65
的值
3、已知tan
=-1,tan
=
1， 2
求 sin2 的值 sin2
注：求某个三角函数值，关鍵是寻找所 求角与已知角的联系。
二、已知三角函数求某个角
例4、已知、
为锐角，且cos
=
1 7
，
cos
=-
11 14
,求的值。
注：求某个角，一般先求出这个角的
某个三角函数值，即恰当选择三角函 数（1）如果所求角的范围在第一、 二象限则选则余弦；（2）如果在第 一、四象限则选择正弦。
例1、如图所示是y=Asin x+ +k函数的一个周期内
2、已知 0, ,且sin ,cos
是方程5x2 -x- 12 =0的两个根，求 5
sin 3 + cos 3 、tan +cot
以及tan -cot的值
例3、若sin
=
m-3 m+5，c源自s=4-2m m+5
,
2
,
,则m的取值范围？
注：不能单从角 的范围考虑，而怱略了
内在联系 sin 2 cos 2 1
22
y=cosx, x [0, ] 的反函数y=arccosx, x [1,1]
y=tanx, x ( , )的反函数y=arctanx, x R
22
⑵已知角x ( x [0,2 ] )的三角函数值求x的步骤
①先确定x是第几象限角
②若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 x1；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角 x1
第二种变换： 横坐标不变
1
y sin x 横坐标伸长(0 1 )或缩短( 1)到原来的 倍 y sin x
纵坐标不变
图象向左( 0 ) 或
向右( 0 ) 平移 | | 个单位
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
横坐标不变
y sin(x )
y Asin(x )
降幂公式
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
与a终边相同的角的集合A={x|x=a+k • 3600 Z k}
象限角与非象限角
2、角度与弧度的互化:半径长的圆弧所对的圆心角为一
弧度角 2 360 180
1弧度 (180) 57.30 5718,
3、正切函数的图象与性质
y=tanx
y 图
象
3
2
2
o
2
3
2
x
定义域
值域
{x | x k , k N}
2 R
周期性 T
奇偶性 单调性
奇函数
(k , k )(k Z)
2
2
4、已知三角函数值求角
⑴反三角函数 y=sinx , x [ , ] 的反函数 y=arcsinx , x [1,1]
3
3
tan sin 2 2 cos
应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；
例2：已知 tan 2，计算⑴ 3sin cos ⑵ sin cos
2sin cos
3sin cos
解:⑴ 3sin cos 2sin cos
cos 2sin cos
3 tan 1 3 2 1 7 2 tan 1 2 2 1 3
值；⑷函数的图象可以由函数y 2 sin 2x, x R 的图象经过怎样的变换得到。
解：y sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x 1 sin 2x 2 cos2 x
1 sin 2x cos2x 1 2 2 sin(2x )
⑴
T
2
2
4
⑵ 由2k 2x 2k ,得 k 3 x k , k Z
例：sin(3 )
2
cos(
)
2
cos
sin
sin( ) sin
cos( ) cos
二、两角和与差的三角函数 y ● p1(x1, y1)
1、预备知识：两点间距离公式
| p1 p2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
o
x
●
p2 (x2 , y2 ) Q(x1, y2 )
2、两角和与差的三角函数
应用：找出已知角与未知角之间的关系
例4：已知
tan 2 2
2,2
(
2
,
),求
2
cos2 sin
2
2 sin(
1 的值
)
解：
tan 2 2
2,
即 2 tan 1 tan2
2
2 tan
4 2或 tan 2
2
2 ( , ) ( , )tan 2
2
42
2 cos2 sin 1
三角函数
复习课
诱导公式 定义
同角三角函数的基本关系
单位圆与三角函数线 图象性质
y=asin+bcosα 的 最值
红色字体的 公式不要求 记忆！
C(α±β) S(α±β)、T( α±β)
积化和差公式
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象
S2α= C2α= T2α=
Sα/2= Cα/2= Tα/2=
和差化积公式
cos
⑵ sin cos sin cos
1
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 2 22 1 5
应用：关于 sin与cos 的齐次式
例3：已知 sin( ) 3 , cos( ) 5 ,且 ( , 3 ), (0, )，
45
4 13
44
4
求sin( )
2、函数 y Asin(x ) 的图象（A>0, >0 )
第一种变换: 图象向左( 0 ) 或
y sin x 向右( 0) 平移| | 个单位 y sin(x )
1
横坐标伸长( 0 1 )或缩短( 1)到原来的 倍
纵坐标不变
y sin(x )
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍 y Asin(x )
③根据x是第几象限角，求出x
若x为第二象限角，即得x= x1 ；若x为第三象限角，即得
x= x1；若x为第四象限角，即得x= 2 x1
④若x R ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。
四、主要题型
例1：已知 是第三象限角，且cos 1 ，求tan 。
3
解：为第三象限角
sin 1 cos2 1 ( 1)2 2 2
专题一、三角函数的概念
例1：如果 是第一象限角，判断 2、 是第
几象限角？
2
注： (1)应用象限角的概念判断 (2)错解: 是第一象限角 0<<90 0 45
2
例2、如果 为第二象角，
试判断 sin cos 的符号 cossin
注：突破“单一按角度制思考 三 角 问题”的习惯
例3、已知:
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
tan(
)
tan tan 1 tan tan
公式变形
注：公式的逆用 及变形的应用
tan tan tan( )(1 tan tan )
3、倍角公式
sin 2 2sin cos
cot cos s in
平方关系：
sin 2 cos2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2
3).三角函数线:（有向线段）
正弦线: MP
y
余弦线:OM
正切线: AT
T
P 正切线
正弦线
M
o余
A
x
弦
线
5、诱导公式：
诱导公式是针对k 的各三角函数值的化简
2
口诀为:"奇变偶不变,符号看象限"（即把 看作是锐角）
2x+
4
的图像?
1、先周期后相位
图像的变换：
2、先相位后周期
练习1、(1)如何由y=sinx得到
y=
2cos
-
1 2
x
4
的图像？
(2)如何由y=
1 3
sin
2x+
3
的图像得到y=sinx.
注：
（1）变换都是“同名函数”的变换
（2）变换的“方向性”
专题六:如何由图像求函数
y Asin(x ) b 解析式
例1、已知tan = 3，求式子 4cos2 sin cos sin2 的值. 2sin2 sin cos 4 cos2
关键：弦
切
练习：
1、已知tan =2,求值：
1 sin cos 2sin cos
sin cos
(3) sin 2 2cos 2 1
注：公式的正用、反用、变形、“1”的变通。
1 2
sin
2
1,则
是第几象限角？
3.已知
sin sin ,下列命题成立的是( ) A.若、是第一象限角，则cos cos
B.若、是第二象限角，则tan tan C.若、是第三象限角，则cos cos D.若、是第四象限角，则tan tan
答案：D
专题二：同角三角函数基本关系
练习：
1、已知
2sin
1
2 sin
tan
2
=k， 4
2
,
试用k表示sin -cos的值
2、求sin10sin30sin50sin70的值
专题4:函数的奇偶性
例1 函数 y lg x 的图象大致是 ( ) x
y
y
0
x
yA
0
x
B y
0
x
C
0
x
D
1 sin x cos x
例2.试判断函数f(x)=