等比数列前n项和

等比数列的前n 项和
一．等比数列前n 项和公式
1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】 在等比数列{a n }的前n 项和为S n ， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； [解] 由题意知
⎩⎨⎧ a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2
)＝155，解得⎩⎨⎧
a 1＝5，q ＝5或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝180，q ＝－56.
从而S n ＝14×5n ＋1－5
4或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.
(2) a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，求S 5； [解]法一：由题意知⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5
＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
＝8，q ＝1
2
，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q
＝31
2.
法二：由(a 1＋a 3)q 3
＝a 4＋a 6，得q 3
＝18，从而q ＝1
2.
又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1
(1－q 5
)1－q
＝312.
(3) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . [解]因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，
所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． 从而⎩⎨⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧
a n ＝2，a 1＝64.
又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.
(4) a 1＝1，S 3＝3
4，求S 4.
[解] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3
4， ∴q ≠1，1－q 31－q ＝34，整理可得，q 2＋q ＋14＝0，解得，q ＝－1
2，
则S 4＝1－q 4
1－q
＝
1－1161＋12＝58.
跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；
[解] 由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q
1－q ，∴q ＝－2，
又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5. (2) 在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n . [解] 若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)
1－q
＝17，
两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4
，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1
＝－15， ∴a n ＝115·2n －1或－1
5·(－2)n －1.
(3) 在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列
的前8项之和S 8＝________.
[解] [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或1
2，而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)
1－2＝510.]
(4) 等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________. [解] 当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1(1－x n )1－x ＝1－x n
1－x .
二．错位相减法
1. 推导等比数列前n 项和的方法
一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得
qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )
1－q (q ≠1)．
2. 我们把上述方法叫错位相减法，
(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.
【例2】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，
因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－1
8，即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·（12）n －1＝1
2n . (2)根据题意得b n ＝na n ＝n 2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ①
12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1
，② 作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n
2n ＋1，
跟踪训练2
(1)本例题中设c n ＝n
a n
，求数列{c n }的前n 项和S n ′.
[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，
所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2.
(2)本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得：
T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×1
2n ，
12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得
12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1＝12＋12×1－
1
2n －11－12
－(2n －1)×1
2n ＋1＝32－1
2n －1－2n －12
n ＋1，
所以T n ＝3－42n －2n －1
2n ＝3－2n ＋32n .
三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式
当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )
1－q ，它可以变形为
S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 1
1－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常
数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质
(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶
S 奇
＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1
S 偶
＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．
(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m
【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．是等差数列或等比数列
D ．既非等差数列，也非等比数列 [解] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，
∴数列{a n }是等比数列．
(2) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )
A ．28
B ．32
C ．21
D ．28或－21 [解] [∵{a n }为等比数列，
∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.
∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.
(3) 等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________. [解]设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，
S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1
S 2
＝q ＝3，即S 1＝3S 2.
又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴4
3S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.]
(4) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，求S 40 解：S 20＝S 10＋q 10S 10 ， S 30＝S 10＋q 10S 20＝S 10＋q 10（S 10＋q 10S 10） 即70=10+q 10（10＋10q 10）解得q 10＝2或q 10＝－3 所以S 40＝S 10＋q 10S 30＝150 跟踪训练3
(1) 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. [解]－1
3 [显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.]
(2) 正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”求S 4n 的值．
[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩
⎨⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)， 所以⎩⎨⎧
x ＝6，y ＝30或⎩⎨⎧
x ＝－4，y ＝－40
(舍去)，所以S 4n ＝30.
(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3
128求此等比数列的项数．
[解] 设等比数列为{a n }，项数为2n ，一个项数为2n 的等比数列中，S 偶
S 奇＝q .
则q ＝12，又a n 和a n ＋1为中间两项，则a n ＋a n ＋1＝3128，即a 1q n －1＋a 1q n ＝3128，
又a 1＝12，q ＝1
2，
∴12·（12）n －1＋12·（12）n ＝3128⇒12·（12）n －1·（1+12）＝3128⇒n ＝6. ∴项数为2n ＝12.
则此等比数列的项数为12.
(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．
[解] 因为S 8＝S 4＋q 4S 4即6=2+2q 4，所以q 4=2 S 16＝S 8＋q 8S 8＝30 ，S 20＝S 4＋q 4S 16＝62 所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝32. 四．分组转化求和
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．
【例4】 已知数列{a n }构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为1
3的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
[解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋（13）2＋…＋（13）n-1＝32[1-（1
3）n ]
(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －34⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝34(2n －1)＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1
.
跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋1
2
n ＋1，…的前n 项和S n .
[解]S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＋1
8＋…＋12n ＋1
＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－
12n ＋1.
五：等比数列前n 项和公式的实际应用 解数列应用题的具体方法步骤
(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.
【例5】 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是
前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.
解析 设每天植树的棵数构成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得2（1－2n ）
1－2≥100，即2n ≥51.而25＝32，26＝64，n ∈N *，
所以最少天数n ＝6. 答案 6
跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
[解]去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .所以1.1a ＋1.12
a ＋1.13
a ＋1.14
a ＋1.15
a ＝a ·1.1－1.161－1.1
＝11(1.15－1)a .
课后作业
1.等比数列12，14，1
8，…的前10项和等于
A.1
1 024
B.511
512
C.1 023
1 024
D.1512
解析 因为数列12，14，18，…是首项为12，公比为12的等比数列，所以S 10＝2
1
-121-12110
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪
⎭
⎫ ⎝⎛＝1 023
1 024. 答案 C
2.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是
A.179
B.211
C.243
D.275
解析 因为q 4＝a 5a 1
＝1681＝（23）4，各项都是正数，所以q ＝2
3， 因此S 5＝a 1－a 5q
1－q ＝
81－16×2
31－23
＝211.
答案 B
3.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝
A.1
3
B.－13
C.1
9
D.－19
解析 由题意知公比q ≠1，则S 3＝a 1（1－q 3）
1－q ＝a 1q ＋10a 1，
得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝1
9. 答案 C
4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
等于
A.11
B.5
C.－8
D.－11
解析 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0.
所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.
所以S 5
S 2＝a 1（1－q 5）
1－q a 1（1－q 2）1－q ＝1－q 51－q
2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 答案 D
5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧
n a 1的前5项和为
A.15
8或5
B.3116或5
C.3116
D.158
解析 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－q 6）
1－q ，解得q ＝2，
故a n ＝a 1q
n －1
＝2
n －1
，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，1
2为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣
⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.
答案 C
6.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝
A.(2n －1)2
B.1
3(4n －1)
C.1
3(2n －1)
D.4n －1
解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2
为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 2
1＋a 22＋…
＋a 2n ＝
1×（1－4n ）1－4
＝13(4n
－1).
答案 B
7.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为77
8，则数列的项数为
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 ∵a 1＝14，a n ＋2＝78，∴S n ＋2＝14－78q
1－q
＝77
8，
∴q ＝－12，∴a n ＋2＝14（－12）n ＋1＝7
8，∴n ＝3，∴数列共5项. 答案 B
8.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为
A.0
B.1
C.－1
D.2
解析 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1. 因为数列{a n }是公比为3的等比数列， 所以a 1＝2×31－1＝3＋k ， 解得k ＝－1. 答案 C
9.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 解析 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列， 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝3
4S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A. 答案 A
10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.
解析 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇， 因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶
S 奇＝2.
答案 2
11.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8＝________.
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，
当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，
∴q ≠1，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，
a 1（1－q 6）1－q ＝634， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＝14，
q ＝2，∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 32
12.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________. 解析 若q ＝1，则S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1≠2S 9，
∴q ≠1.由已知可得：a 1·（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）
1－q .
∴q 3(2q 6－q 3－1)＝0.∵q ≠0，∴2q 6－q 3－1＝0，∴(q 3－1)(2q 3＋1)＝0. 又∵q ≠1，∴q 3＝－12，∴q ＝－34
2.
13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a 2＋a 4＝2a 3＝10，即a 3＝5. 故a 3－a 1＝2d ＝5－1＝4，即d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *).
(2)由(1)知a 5＝9，即b 2b 4＝9，则b 21q 4
＝9，q 2＝3.
∵{b n }是公比为q 的等比数列，
∴b 1，b 3，b 5，…，b 2n －1构成首项为1，公比为q 2＝3的等比数列， ∴b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1×（1－3n ）1－3
＝3n －12(n ∈N *).
14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1
（b n ＋2）n
.求数列{c n }的前n 项和T n .
解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .
由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1
（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得
T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)·2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)·2n ＋2]，
两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)·2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）·2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，
所以T n ＝3n ·2n ＋2.
15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设{b n ＋1
3a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .
解析 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，
∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0. ∵公比q >1，∴q ＝3.
又首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)∵{b n ＋1
3a n }是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b n ＋1
3a n ＝1＋2(n －1).
即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1，S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－1
2(3n －1)＋n 2.
等比数列的前n 项和
一．等比数列前n 项和公式
1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【例1】 在等比数列{a n }的前n 项和为S n ，
(1) S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，求S 5；
(4) a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . (4)a 1＝1，S 3＝3
4，求S 4.
跟踪训练1．(1) 在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；
(2)在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝17，求a n .
(3)在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.
(4)等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为________.
二．错位相减法
1. 推导等比数列前n 项和的方法
一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得
qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )
1－q
(q ≠1)．
3. 我们把上述方法叫错位相减法，
(1)适用范围：一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1. (2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.
【例2】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)， (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
跟踪训练2
(1)本例题中设c n ＝n
a n
，求数列{c n }的前n 项和S n ′.
(2) 本例题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n .
三：等比数列前n 项和的性质 1．等比数列前n 项和的变式
当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )
1－q ，它可以变形为
S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 1
1－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常
数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质
(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若项数为2n ，则S 偶
S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则
S 奇－a 1
S 偶
＝q . (2)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …均不为0)．
(3)若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列． (4)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +m ＝S n ＋q n S m
【例3】(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．是等差数列或等比数列
D ．既非等差数列，也非等比数列 (2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )
A ．28
B ．32
C ．21
D ．28或－21
(3)等比数列{a n}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
(4) 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S30＝70，求S40
跟踪训练3
(1)若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝________.
(2) 正数等比数列中S n＝2，S3n＝14”求S4n的值．
(3) 项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的1
2，又它的首项为
1
2，
且中间两项的和为3
128求此等比数列的项数．
(4)设等比数列{a n}的前n项和为S n ，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
四．分组转化求和
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．
【例4】已知数列{a n}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(a n－a n－1)，…此数
列是首项为1，公比为1
3的等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
跟踪训练4．求数列214，418，6116，…，2n ＋1
2n ＋1，…的前n 项和S n .
五：等比数列前n 项和公式的实际应用 解数列应用题的具体方法步骤
(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少.
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.
【例5】 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是
前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________.
跟踪训练5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
课后作业
1.等比数列12，14，1
8，…的前10项和等于
A.11 024
B.511512
C.1 0231 024
D.1512
2.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是
A.179
B.211
C.243
D.275
3.等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝
A.1
3
B.－13
C.1
9
D.－19
4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
等于
A.11
B.5
C.－8
D.－11
5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧
n a 1的前5项和为
A.15
8或5
B.3116或5
C.3116
D.158
6.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝
A.(2n
－1)2
B.13(4n
－1)
C.13(2n
－1) D.4n －1
7.在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为77
8，则数列的项数为
A.4
B.5
C.6
D.7
8.已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为
A.0
B.1
C.－1
D.2
9.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 10.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q
＝________.
11.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8
＝________.
12.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若有S 3＋S 6＝2S 9，则公比q 的值为________.
13.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
14.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1
（b n ＋2）n
.求数列{c n }的前n 项和T n .
15 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设{b n＋1
3a n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的通项公式和前n
项和S n.。