【全套解析】高三数学一轮复习 5-5 数列的综合应用课件 (理) 新人教A版

即时训练 已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C 的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过 点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C 于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1.
解：(1)∵曲线 C 在点 An(an，an2)处的切线 ln 的斜率是 2an， ∴切线 ln 的方程是 y－an2＝2an(x－an)， 由于点 B 的横坐标等于点 An＋1 的横坐标 an＋1， ∴令 y＝0，得 an＋1＝12an， ∴数列{an}是首项为 1，公比为12的等比数列， ∴an＝2n1－1.
[例1] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－ 1(n≥2，q≠0)．
(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*， an是an＋3与an＋6的等差中项．
②乙方案获利： 1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10×1＋102×9×0.5＝32.50(万元)， 银行本息和： 1．05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)9] ＝1.05×1.005.1005－1≈13.21(万元) 故乙方案纯利：32.50－13.21＝19.29(万元)； 综上可知，甲方案更好．
(2)kAnAn＋1＝aan＋n＋2－1－aan＋n 1，可用作差比较法证明．
[课堂记录] (1)∵an＋1＝ana＋n 1且 a1＝1， ∴an1＋1＝1＋a1n，∴an1＋1－a1n＝1， ∴{a1n}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴a1n＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝1n.
(2)证明：∵an＝1n，an＋1＝n＋1 1，an＋2＝n＋1 2， ∴弦 AnAn＋1 的斜率 kn＝aan＋n＋2－1－aan＋n1＝n＋1n＋21－1－n＋11n 1＝n＋n 2， ∴kn＋1－kn＝nn＋ ＋13－n＋n 2 ＝n＋1n＋n＋32n－＋n2n＋3＝n＋22n＋3>0. ∴弦 AnAn＋1 的斜率随 n 的增大而增大．
热点之二 数列的实际应用问题 数列在实际生活中有着广泛的应用，因而涉及数列的应用问 题非常多，如人口增长问题、银行利率问题、浓度配比问题、分 期付款问题等等．解题时要充分挖掘题中所给条件，建立适当的 数列模型求解． 解数列应用题的基本步骤可用图表示如下：
[例2] 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平 方米是廉低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平 均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，廉低价房的面积均比上一 年增加50万平方米．那么，到哪一年底，
于是 q＝－3 2.
另一方面， an－an＋3＝qn＋12－－qqn－1＝1q－n－1q(q3－1)， an＋6－an＝qn－11－－qqn＋5＝1q－n－1q(1－q6)． 由①得， an－an＋3＝an＋6－an，n∈N*，即 2an＝an＋3＋an＋6. 所以对任意的 n∈N*，an 是 an＋3 与 an＋6 的等差中项．
即时训练 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项 和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由已知，得
a1＋a2＋a3＝7
a1＋32＋a3＋4＝3a2
数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等 差数列或等比数列模型)，然后利用相关的数列知识解决问题．在建模 过程中，首先要分析研究实际问题的对象的结构特点，其次要找出所 含元素的数量关系，从而确定为何种数学模型．解模的过程就是运算 的过程，首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项 数是什么，能分清an，Sn，然后选用适当的方法求解．最后的程序是 还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正， 使其成为实际问题的解．
热点之三 数列与函数、不等式、解析几何的综合应用 数列与其他知识的综合问题主要指的是几何方法或函数的解析式 构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题，函数与数列的综合问 题主要有以下两类： 一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒 成立，最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求 和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．
[思路探究]
[课堂记录] (1)证明：由题设 an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)， 得 an＋1－an＝q(an－an－1)．
即 bn＝qbn－1，n≥2.
又b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． (2)解：由(1)，得 a2－a1＝1， a3－a2＝q， … an－an－1＝qn－2(n≥2)．
令 25n2＋225n≥4750. 即 n2＋9n－190≥0，而 n 是正整数，∴n≥10. ∴到 2017 年底，该市历年所建廉低价房的累计面积将首次不 少于 4750 万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其 中b1＝400，q＝1.08.
则bn＝400×1.08n－1. 由题意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6. ∴到2013年底，当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积 的比例首次大于85%.
(1)该市历年所建廉低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年) 将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大 于85%?
[课堂记录] (1)设廉低价房面积形成数列{an}，由题意可知 {an}是等差数列，其中 a1＝250，d＝50，则 Sn＝250n＋nn2－1×50 ＝25n2＋225n，
解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比数列，则 an＝2n－1＋1. ∴a1＋a2＋…＋a10＝10＋(20＋21＋22＋…＋29) ＝10＋11－－2210＝1033. 答案：1033
5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)， 则S100＝________.
热点之一 等差、等比数列的综合问题 1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点， 特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比 中项问题是历年命题的热点． 2. 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数 列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度， 解题时有时还需利用条件联立方程求解．
，
解得 a2＝2. 设数列{an}的公比为 q，由 a2＝2， 可得 a1＝2q，a3＝2q， 又 S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7， 即 2q2－5q＋2＝0.解得 q1＝2，q2＝12. 由题意知 q>1，∴q＝2，∴a1＝1， 故数列{an}的通项为 an＝2n－1.
(2)由于 bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得 a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2. 又 bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝nb12＋bn ＝n3ln2＋2 3nln2＝3nn2＋1ln2. 故 Tn＝3nn2＋1ln2.
[例 3] 已知数列{an}的首项 a1＝1，且点 An(an，an＋1)在函数 y＝x＋x 1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：弦 AnAn＋1 的斜率随 n 的增大而增大．
[思路探究] (1)将点 An(an，an＋1)代入函数 y＝x＋x 1即可得出 数列{a1n}的性质，从而求得 an；
பைடு நூலகம்
即时训练 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性 贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利 润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一 年获利增加5000元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本 息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案 中，哪种获利更多？
1．某学校高一、高二、高三共计2460名学生，三个年级的学生
人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( )
A．800
B．820
C．840
D．860
解析：由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为 a－d，a，a＋d.
则 a－d＋a＋a＋d＝2460，∴a＝24360＝820. 故高二年级共有 820 人． 答案：B
(4)用猜想与递推的思想去解决数学问题． 2．数列应用问题 利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题．在实际问题中， 有很多问题都可转化为数列问题进行处理，如经济上涉及的利润、成 本、效益的增减问题，在人口数量的研究中涉及的增长率问题以及金 融中涉及的利率问题，都与数列问题相联系．处理数列应用问题的基 本思想与处理函数应用问题的基本思想是一致的．
3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的
交点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
解析：由题意b2＝ac(ac>0)，∴Δ＝b2－4ac＝－3b2<0.
答案：A
4．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1且n∈N)满足y＝2x －1，则a1＋a2＋…＋a10＝________.
(取1.0510＝1.629,1.310＝13.786,1.510＝57.665)
解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利： 1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝1.301.03－1≈42.62(万元)， 银行贷款本息：10(1＋5%)10≈16.29(万元)， 故甲方案纯利：42.62－16.29＝26.33(万元)，
第五节 数列的综合应用
1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、 解析几何等知识解决一些数列综合题．
2．能在实际情形中运用数列知识解决实际问题.
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式与求和公式 都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公式看作列方 程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等差数列或等 比数列问题．
将以上各式相加，得 an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)． 所以，当 n≥2 时，
an＝1＋1－1－qnq－1，q≠1， n， q＝1.
上式对 n＝1 显然成立．
(3)解：由(2)知，当 q＝1 时，显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项， 故 q≠1.
由 a3－a6＝a9－a3，可得 q5－q2＝q2－q8， 由 q≠0，得 q3－1＝1－q6① 整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得 q3＝－2 或 q3＝1(舍去)．
解析：由已知，得a1＝1， a2＝2， a3－a1＝0， a4－a2＝2， ……
a99－a97＝0， a100－a98＝2， 累加得 a100＋a99＝98＋3，同理得 a98＋a97＝96＋3，a2＋a1＝ 0＋3， 则 a100＋a99＋a98＋a97＋…＋a2＋a1 ＝50×298＋0＋50×3＝2600. 答案：2600
2．数列{an}的通项公式是关于 x 的不等式 x2－x<nx(n∈N*)
的解集中的整数个数，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝( )
A．n2
B．n(n＋1)
nn＋1 C. 2
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由 x2－x<nx，得 0<x<n＋1(n∈N*)，
因此 an＝n，Sn＝nn2＋1. 答案：C