福建省龙岩一中高三数学高考模拟 理 新人教版

2010届龙岩一中高考模拟考数学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第21（1）、（2）、（3）题为选考题，请考生根据要求选答；其它题为必考题. 本卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式
s =13V Sh =
其中x -
为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh = 2344,3
S R V R ==
ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
11i
i
-+=bi a +（R b a ∈,），则b a +=（ ）
A ．i
B ．i -
C ．l
D ．1-
2．已知全集2
,{1,0,1,2},{|}U Z A B x x x ==-==，则U A
C B 为（ ）
A ．{1-，2}
B ．{1，2}
C ．{1-，0}
D ．{1-，0，2}
3．一组数据123,,,...,n a a a a 的标准差0s >，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的标准差为（ ）
A
B ．s
C
D ．2s
4．如图,按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ ）
A ．5i >
B ．7i ≥
C ．9i >
D ．9i ≥
5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A ．2cm 12
B ．2cm 15π
C ．2cm 24π
D ．2
cm 36π
6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,若1234,2,a a a 成等差数列，则4S =( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 7．平面//α平面β的一个充分条件是 （ ）
A ．存在一条直线a ，a //α，a //β
B ．存在两条相交直线ββαα//,//,,,,b a b a b a ⊂⊂
C ．存在两条平行直线a 、b ，,α⊂a αββ//,//,b a b ⊂
D ．存在一条直线a ，βα//,a a ⊂
8．设)2,1(-=，)1,(-=a ，)0,(b -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、
C 三点共线，则
b
a 2
1+的最小值是
（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则函数3
213
y mx nx =-+在[1,)+∞上为增函数的概率是（ ）
.
A 12 .
B 23 .
C 34 .
D 56
10．定义,()max(,),()
a a
b a b b a b ≥⎧=⎨
<⎩，2
()max(1,65)f x x x x =--+-，若()f x m =有四个不
同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(0,4)
B ．(0,3)
C ．(3,4)
D ．(,4)-∞
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．若⎰
=
2
xdx a ，则在52)13(x
a x -
的二项展开式中常数项为 （用分数表示）
12．若平面区域02022
x y y kx ≤≤⎧⎪
≤≤⎨≤-⎪⎩是一个梯形，则实数k 的取值范围是________。

13．函数2ln 2(0)
()21(0)
x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数是______。

14．如图，在ABC ∆中，
30=∠=∠CBA CAB ，AC 、BC 边上的高分别
B
为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭]圆与双曲线的离心率的倒数和为 。

15.若对任意x ∈R ，y ∈R 有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的
二元函数。

定义：同时满足下列性质的二元函数f (x ，y )为关于实数x ，y 的广义“距离”：
（Ⅰ）非负性：f (x ，y )≥0；（Ⅱ）对称性：f (x ，y )= f (y ，x )；（Ⅲ）三角形不等式：f (x ，y )≤f (x ，z )+ f (z ，y )对任意的实数z 均成立
给出下列二元函数：①f (x ，y )=(x -y )2
；②f (x ，y )=|x -y |；③f (x ，y )=y x -；④f (x ，y )=|sin(x -y )|。

则其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数编号是_____（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且2,1=
=c a ，43cos =
C 。

（Ⅰ）求)sin(B A +的值； （Ⅱ）求A sin 的值； （Ⅲ）求⋅的值。

17. （本小题满分13分）
在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===。

（Ⅰ）设AE=1，求此几何体的体积
（Ⅱ）在线段AB 上是否存在一点M ，使CM 与平面CDE 所成的角为0
45，若存在，指出M 的位置，若不存在，说明理由。

18. （本小题满分13分）
福州、厦门、莆田、龙岩四个城市，它们分别有一个著名的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙硿洞，把福州、厦门、
莆田、龙岩四个城市和它们的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙硿洞分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一 一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分（如图所示是一种“一 一对应”的连法，连对的只有一个“厦门→鼓浪屿”）。

（Ⅰ）求该旅游爱好者只得2分的概率；
（Ⅱ）该旅游爱好者的得分记为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

19.（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O 到过右焦点F
且斜率为1。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点(,0)M m ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由
20. （本小题满分14分）
设{}n a 是首项为1的正项数列，且()22
1110n n n n n a na a a +++-+=（n =1，2，3，…）
． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式是n a ；
（Ⅱ）设数列{}n b 满足：()
ln 1n n n
a b a +=
，证明： （ⅰ）()11,2,3,n n b b n +<=，
（ⅱ）ln 2ln3n b <<。

21．（本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中）。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵10a M c ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
的一个特征根为1-,它对应的一个特征向量113e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）点P(1, 1)经过矩阵M 所对应的变换,得到点Q ，求点Q 的坐标。

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+
和直线:sin()4
l π
ρθ-=
， （Ⅰ）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标 （3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
已知函数2
2
2
2
()()()()()(,,)3
a b c f x x a x b x c a b c R ++=-+-+-+∈最小值为
m ，若23a b c -+=，求m 的最小值。

2010届龙岩一中高考模拟考
数学（理）参考答案
15.16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）ABC ∆在 中，C B A -=+π
C C B A sin )sin()sin(=-=+∴π ………………2分
又43cos =
C ， 2
0π
<<∴C ，
.4
7
cos 1sin 2=
-=∴C C .47
)sin(=
+∴B A ………………4分 （Ⅱ）由正弦定得得
.sin sin C
c
A a =
.8142
47
1sin sin =⨯
==∴c C a A ……………… 8分 （Ⅲ）由余弦定理得C ab b a c cos 22
22-+=
4
3
121)2(222⨯⨯⨯-+=∴b b ，
则02322
=--b b
解得2
1
2-
==b b 或（舍） ………………11分
.
2
3
4321cos ||||=⨯⨯=⨯⋅=⋅∴C ………………13分 17. 解：（Ⅰ）如图，连接EB 、EC ， EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC
∴EA||DB, ∴ EA||面DBC ， ∴E 、A 到面DBC 的距离相等
由AC BC ⊥知AC ⊥面DBC ， 故所求几何体体积 V=ABC E V -+DBC E V -=
+⋅∆AE S ABC 31AC S DBC ⋅∆3
1
=
1222131⨯⨯⋅⨯+2222
1
31⨯⨯⋅⨯=2. ………………5分 （Ⅱ）法一：取AB 中点M,过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ．
FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角．………………7分 因为MH ⊥平面CDE ， 所以MH ED ⊥，
又因为CM ⊥平面EDM ， 所以CM ED ⊥，
则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥． 设EA a =，2BD BC AC a ===， 在直角梯形ABDE 中，
AB =，M 是AB 的中点，
所以3DE a =，EM =，MD =
，
得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠， 所以2EM MD
MF a DE
=
=．
在Rt CMF △中，tan 1MF
FCM MC
==∠， 所以45FCM =∠，
故CM 与平面CDE 所成的角是45．………………12分
即在线段AB 上存在中点M ，满足CM 与平面CDE 所成的角为45. ………13分
法二：（Ⅱ）如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则C(0，0，0)，
(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，假设线段AB 上存在点M ，设)10(≤≤=λλ ,得)0,2,22(a a a M λλ-7分
设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥n ，CD ⊥n ， 即0CE =n ，0CD =n ．
因为(20)CE a a =，，，(022)CD a a =，，， 所以02y =，02x =-，
即(1
22)=-，，n ，
2222622,cos sin 2
222=
+-+=
><=a a a a a λλλθ，得8
721或=λ ………………12分
即在线段AB 上存在点M ，满足CM 与平面CDE 所成的角为0
45. ………13分
（注：其他方法参照给分。

） 18. 解：（Ⅰ）福州、厦门、莆田、龙岩四个城市和它们的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、
龙硿洞构成的“一一对应”共有432124⋅⋅⋅=种，该旅游爱好者只对了一个连线，有1428
C ⋅=种可能，因此该旅游爱好者只得2分的概率为81
243
P == …………5分 （Ⅱ）ξ的得分情况有0、2、4、8四种，
2499)0(44
===A P ξ，1
444281
(2)243C P A ξ⋅====， 2
444161
(4)244C P A ξ⋅====，24
11)8(44=
==A P ξ，………………9分
的分布列为
024828
3424
E ξ∴
=⋅+⋅+⋅+⋅= ………………13分
19.解:(I ）由已知，椭圆方程可设为()
22
2210x y a b a b +=>>
设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离为
2
=
1c =.又a c e ==22，故a =2，b =1 ∴所求椭圆方程为2
212
x y += ………………5分 （II ）假设存在点()(),001M m m <<满足条件,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱
形．因为直线与x 轴不垂直，
所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y
由()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=． 由0∆>恒成立，
∴22121222
422
,1212k k x x x x k k -+==++．………………9分
设线段PQ 的中点为00(,)N x y ，
则2
002221021)1(,2122k
k
x k y k k x x x +-=-=+=+=…………10分
∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， ∴MN ⊥PQ ∴1-=⋅PQ MN K K
即：2
2
2
121212k k k k m k
-+⋅=--+ ………………12分 22
2
2
110012122k m k m k
k
∴==∴>∴<<++ ………………13分 20. 解：（Ⅰ）由()()2211101,2,3,n n n n n a na a a n +++-+==，得
()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦，
()11n n n a na +∴+=，11
n n a n
a n +∴
=
+，…………4分 于是12
21123
1123
11
112
2n n n n n n n a a a a n n n a a a a a a n n n n
--------=
⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=--．……6分 （Ⅱ）ⅰ）()ln 11ln 1n n n a b n a n +⎛⎫
=
=+ ⎪⎝⎭
，设()()1ln 10f x x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，
则()()1ln 10f x x x x ⎛
⎫
=+
> ⎪⎝⎭
单调递增， 等价于()()()
()1ln 1ln 10t
t g t t t t
+=+=
> 单调递减，故只需证()()
2ln 110t
t t g t t
-++'=<，
即
()()ln 101
t
t t t <+>+，…………8分
设()()()ln 101t h t t t t =+-
<>+，则()()2
11011h t t t '=->++， ()h t ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h t h ∴>=，于是
()()ln 101
t
t t t <+>+， ()()1ln 10f x x x x ⎛⎫
∴=+> ⎪⎝⎭
在()0,+∞上单调递增，
故()11,2,3,
n n b b n +<=．…………10分
（ⅱ）()ln 111ln 1ln 1n
n n n a b n a n n +⎛⎫⎛⎫
=
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 设11n
n c n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，…………12分
则()()()2
3
11211112112!3!n
n n n n n n c n n n n n ---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫<=+=+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()
12211!
n
n n n n n --⋅⎛⎫+
+
⎪⎝⎭
111121121111111112!3!!n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
-+--++
--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭()
11
1111
11112!3!
!1223
1n n n <++
+++
<+++++
⋅⋅-
1111
11111332231n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
因此ln 2ln ln3n n b c <=<．…………14分
21．（1） 解：（Ⅰ）由题知111033a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭即31
3a c -=-⎧⎨=⎩
， 23
a c =⎧⇒⎨=⎩ 2130M ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， （Ⅱ）1313M ⎛⎫⎛⎫
∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即点Q
的坐标(3,3) 。

(2)解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+ 圆O 的直角坐标方程为：22x y x y +=+， 即2
2
0x y x y +--= …………3'
直线:sin()42
l π
ρθ-
=
，即sin cos 1ρθρθ-=
则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=，即10x y -+= ………4分
（Ⅱ）由22010
x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0
1x y =⎧⎨=⎩
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,
)2
π
…………7分
(3)解：因为2
2
2
2
()()()()()3
a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+
22222
()32()3
a b c x a b c x a b c ++=-++++++
2
2223()3a b c x a b c ++=-+++，………………………………2分
所以3
a b c x ++=时，()f x 取最小值222a b c ++，即222
m a b c =++，………3分
因为23a b c -+=，由柯西不等式得 22222221(1)2()(2)9≥a b c a b c ⎡⎤+-+⋅++-+=⎣⎦
，……………………5分 所以2
2
2
93
62
≥
m a b c =++=， 当且仅当112a b c =
=-，即333
442
a b c ==-=，，时等号成立， 所以m 的最小值为3
2
． ………………………7分。