(4) 第二章 不定方程

8 6)
Z
x1 4 x3 x4 4(6 2 1 7 6 x6)
x1
1
1 76
(
7
3
1x3
8
6)
4
x3
1
1 7
6
(x3
8
6)
x4
1
1 7
6
(
2
7
x3
8
6)
Z
( 1 0 2 7 x6) 2 5 8 7 3 1x6 x3 7 x4 3 x5
x3
1 27
( 1 7 6 x4
8 6)
反 之 , 若 (a , b ) c , 则 c c1 (a , b ), c1是 整 数 . 由 第 一 章 §3 推 论1 .1 ,存 在 两 个 整 数 s,t 满 足 下 列 等 式
a s b t (a,b)
令 x0 s c1, y0 t c1, 即 得 a x0 b y0 c, 故 ( 1 ) 式 有 整 数 解
设x, y, z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目, 就得到下面的方程：
5x 3y 1 z 100, x y z 100. 3
消去z,再化简,即得7x 4 y 100. 我们要解决这个问题,就要求出上述方程的非负整数解
3
定理 1 设二元一次不定方程
ax by c
(1)
(其 中 a, b, c是 整 数 ,且 a, b都 不 是 0)有 一 整 数 解
7 x4
3
1 27
(1 3 x 4
5)
7( 1 0 2 7 x6) 3 ( 5 1 3 x6)
x5
1 27
(1 3 x 4
5)
Z
x4 (2 7 x5 5) /1 3 2 x5 (x5 5) /1 3
x6 (x5 5) /1 3 Z
x5 1 3x6 5
6 2 1 7 6 x6 x4 2 x5 x6
1
5 x1
1 0x2
6 1)
2 x1
2 x2
10
1 6
(
3 x1
2 x2
1)
x4
1 6
(
3 x1
2 x2
1)
Z
x2
1 2
(6 x4
3 x1
1)
3x4
x1
1 2
( x1
1)
x5
1 2
( x1
1)
Z
解 得 x1 1 2 x5 , x5 0, 1, 2,
x2 3 x4 x1 x5 1 3 x4 3 x5
18
例 4 求 9 0 7 x1 7 3 1x2 2 1 0 7的 解
解
x2
1 ( 731
9 0 7 x1
2 1 0 7)
x1
3
1 73
( 1
1
7
6 x1
8
6)
x2 x1 3 x3 ( 2 5 8 7 3 1x6) 3 (6 2 1 7 6 x6)
x3
1 ( 731
1 7 6 x1
例3 求107x37y 25的一切整数解.
17
这种解不定方程的算法实际上是对整个 不定方程用辗转相除法，依次化为等价的 不定方程，直至得到一个变元的系数为 1 不定方程为止，这样的不定方程是可以直接 解出的.再依次反推上去，就得到原方程的 通解.
为了减少运算次数，用带余数除法时， 我们总取绝对最小余数.
22
定理1 (1)式有整数解的充分必要条件是(a1,a2, ,an) N. 证 设(a1,a2, ,an)=d. (i)若(1)式有解,即有n个整数x1' , x2' , ,xn' 满足等式
a1x1' a2x2' + +anxn' N. 则由第一章定理3,d a1x1' a2x2' + +anxn' 即d N ,这就证明了 条件的必要性.
x x0 , y y0 ;又 设 (a, b) d , a a1d , b b1d ,则 (1)的 一 切 解 可 以 表 成
x x0 - b1t, y y0 a1t (2) 其 中 t 0， 1， 2， .
4
证 既 然 x0 , y0是 ax by c 的 解 ,当 然 满 足 ax0 by0 c. 因 此 a ( x0 b1t ) b ( y 0 a1t ) c (b a1 a b1 )t c. 这 表 明 对 任 何 整 数 t ,(2)式 是 ax by c 的 解 .
则由(9)式所得的x, y是(6)的一解,这是因为由(7),(9)可以得出
y
q1'
q1x'
y'
q1'
q1x'
r1'
r1x b
c
ax . b
16
定理 3 axby c,ab0,(a,b) 1的一切 整数解可由x=x',y=q1' -q1x'+y'得出,只要x=x', y=q1' -q1x'+y'中x',y'取by'r1x' r1式 ' 中的一切解.
设 x ', y '是 a x b y c 的 任 一 解 ,则 a x ' b y ' c ,从 此 减 去 a x0 b y0 c,即 得 a ( x ' x0 ) b ( y ' y0 ) 0 . 由 上 式 及 a a1d , b b1d 得 到 a1 ( x ' x0 ) -b1 ( y ' y 0 ).
10
因此(3)式有一个特殊解：x (-1)n-1Qn,y=(-1)nPn.(4) 又由第一章§3定理 1
P0 1,P1 q1,Pk qkPk-1 Pk-2,
Q0 0,Q1 1,Qk qkQk-1 Qk-2,k 2, ,n
(5)
由(5)可以得出求(4)的方法,即先由辗转相除法求出
q1,q2, ,qn,把它们写在下表的第二横行里面：
9
假 定 a 0,b 0 .应 用 辗 转 相 除 法 ,可 以 得 到 ： a b q1 r1 , 0 r1 b , b r1q 2 r2 , 0 r2 r1 ,
rn - 2 rn -1q n rn , 0 rn rn -1 , rn - 1 rn q n +1. 因 为 ( a , b ) 1 ,故 rn 1, 由 第 一 章 §3 定 理 1 ， Q n a - Pn b ( - 1) n -1 rn . 于 是 a [ ( - 1) n -1 Q n ] - b[ ( - 1) n -1 Pn ] 1 .
8
由 定 理 2 的 证 明, 在 有 解 的 情 况 下, 是 先 证 明 方 程 ax by (a,b) 有 解,且 与 方 程 a x b y 1
(a,b) (a,b) 的 解 完 全 相 同, 而 在 这 个 方 程 里, 未 知 数 x, y 的 系 数 是 互 质 的,所 以 只 要 讨 论 如 何 求 出 a x b y 1 ,(a,b)= 1 (3 ) 的 方 程 的 一 个 整 数 解. 容 易 看 出, 由( 3 ) 的 一 个 特 殊 解 得 出 方 程 a x b y 1 的 一 个 特 殊 解, 反 之 亦 然.
2( 5 1 3 x6) x6 1 0 2 7 x6
19
例4 求1 1 7x1 2 1x2 3 8的 解
解
x2
1 21
(
1
1
7
x1
3 8)
6x1
2
1 21
(9
x1
4)
x3
1 21
(9
x1
4)
Z
x1
1 9
(2 1x3
4)
2 x3
1 9
(3x3
4)
x4
1 9
(3x3
4)
Z
x3
1 21
q
' 1
q1 x 0
r1'
r1 x0 b
.
(8)
15
但y0,q1'
q1x0都是整数, 因此r1'
r1x0 b
y0' ,则x'
x0, y'
y0是(7)的
一个整数解,即(6)式的任一整数解能写成下列形状：
x x', y q1' q1x' y', (9) 其中x', y'是(7)的某一整数解,反之,若x', y'是(7)的任一整数解,
23
( i i ) 若 d N , 用 数 学 归 纳 法 证 明( 1 ) 式 有 解 . 当 n = 2 时 , 由 §1
定 理 2 , ( 1 ) 式 有 解 . 假 定 上 述 条 件 对 n - 1元 一 次 不 定 方 程 是
充 分 的,今 证 上 述 条 件 对 n 元 一 次 不 定 方 程 也 是 充 分 的.
a
b
q1
r1 , 0
r1
b,c
b
q
' 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r1' , 0
r1'
b .又
由
第
一
章
§2定 理 3 得 到 b , r1 a , b 1,故 方 程
b y ' r1 x ' r1'
(7)
有 整 数 解 . 设 x x0 , y y0是 ( 6 ) 的 任 一 整 数 解 , 则
y0
c
a x0 b
x0, y0.
6
例1 求10x1 7x2 17的解 解 (10,7) 1,所以方程有解,由视察法可得 x1,0 1, x2,0 1是一组特解.因此全部解是 x1 1 7t, x2 110t,t 0,1,2,
例2 求18x1 24x2 9的解 解 由(18,24) 6 | 9知无解
7
求解二元一次不定方程axby c的方法： (i)求出最大公约数d (a,b),并判断是否有d c; (ii)若d c,即有解,则设法求出一组特解x0, y0. 我们可以用辗转相除法来求特解,再根据定理1 求出其所有解.
令 d 2 (a1, a2 ), 则 (d 2 , a3, a4 , , an ) d N . 由 归 纳 法 假 定 ，
5
定 理 2 axby c有 整 数 解 的 充 分 与 必 要 条 件 是 (a,b) c.
证 若 a x b y c 有 一 整 数 解 ,设 为 x0, y0,则 a x0 + b y0 = c. 但 (a,b) a ,(a,b) b , 因 而 (a,b) a x0 b y0 c, 故 必 要 性 获 证 .
x4 , x5 0, 1, 2,
x3 2 x1 2 x2 1 0 x4 6 5 x4 1 0 x5 ,
x4 , x5 0, 1, 2, 21
§2 多元一次不定方程
定义 多元一次不定方程 a1x1+a2x2+ +anxn=N, (1)
其中a1,a2, ,an,N是整数, n2.
x 26 25 107t, y 9 25 37t(t 0,1,2, ) 或 x 8 107t, y 3 37t(t 0,1,2, )
14
设给定一个适合下列条件的二元一次不定方程
a x b y c,a b 0,a,b 1
(6)
那 么 由 带 余 数 除 法 知 道 有 整 数 q1 , q1' , r1 , r1'满 足 条 件
例 2 求 111x321y75的 一 切 整 数 解 . 解 (111,321)3,而 375,故 有 解 ,且 原 方 程 的 解 与 37x-107y25的 解 完 全 相 同 .今 先 解 107x37y1.
13
故107x 37 y 1的一解是x (-1)29 9, y (1)226 26 37x -107 y 1的一解是x 26, y 9.故37x -107 y 25的 一切解可以表成
初等数论 -
第二章 不定方程
不定方程
变数个数多于方程个数，且取整数值的 方程(或方程组)称为不定方程(或不定方程组).
本章讨论能直接利用整除理论来判断其是否 有解，以及有解时求出其全部解的最简单的 不定方程.
2
中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的题目: 鸡翁一, 值钱五, 鸡母一, 值钱三,鸡雏三,值钱一. 百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何?
又 d a , b ,故 a1 , b1 1 .由 第 一 章 §3 推 论 2 .1,可 知 有 一
整 数 t 使 得 y '- y 0 a1t ,亦 即 y ' = y 0 + a1t ,将 y '代 入 上 式 即 得 x ' x 0 - b1t .因 此 x ', y '可 表 成 ( 2 )式 的 形 状 .故 ( 2 )式 表 示 ax by c 的 一 切 整 数 解 .
(9
x1
4)
3x4
1
1 3
最 后 一 式 表 明 : x3, x4不 能 同 时 为 整 数 ， 所 以 不 定 方 程 无 解
20
例 5 求 1 5 x1 1 0 x2 6 x3 6 1的 全 部 解
解 x3的 系 数 的 绝 对 值 最 小 ， 我 们 把 原 方 程 化 为
x3
1 6
(
11
例 1求 7x4y 100 的 一 切 整 数 解 . 解 先 解 7x4y 1 ,此 处 a7 ,b4 ,(a ,b ) 1.
因此7x4y1的一个解是x(-1)2-11-1,y(-1)222. 故原方程的一个解是x-100,y200. 由定理1其一切解可以表成
x-4t-100,y7y200(t0,1,2, ) 12