山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末考试
数学试题
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列2,4,6,8,
--的通项公式可能是A.(1)2n n a n =-
B.1(1)2n n a n +=-
C.(1)2n n n a =-
D.1(1)2n n n a +=- 2.若抛物线2x my =过点
()1,4-，则该抛物线的焦点坐标为 A.1(0,)16- B.1(,0)16- C.(1,0)-
D.(0,1)-
3.与双曲线***-*****x y -=有公共焦点且离心率为45
的椭圆的标准方程为A.22
*****y x += B.***-*****x y += C.***-*****y x += D.***-*****
x y += 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数.他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1,3,6,10,
；正方形数1,4,9,16,；等等.
右图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序
排列成数列，则此数列的第7项为
A .35
B .51
C .70
D .92 5.设12,F F 是椭圆22
:193x y C m m
+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足1290F PF ∠=，则m 的取值范围是
A.(],3-∞
B.(]3,3-
C.[)3,+∞
D.[]3,3-
a a a a a +-??=??? ()n *∈N ，则2021a = 21 2 21 D.2
7.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的
最小直径为12cm ，瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，则该双曲线
的虚轴长为A.458 B.454 C.452 D.45
8.已知数列{}n a 的通项公式为41()n a n n *+∈N ，将数列{}n a 中的整数从小到大排列得到新数列{}n b ，则{}n b 的前100项和为
A.9900
B.*****
C.*****
D.*****
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是
A .双曲线221x y -=与直线20x y +-=有且只有一个公共点
B .平面内满足||||||2(0)PA PB a a -=的动点P 的轨迹为双曲线
C .若方程22
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x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t D .过给定圆上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 的中点P 的轨迹为椭圆
10.若数列{}n F 满足*****,1,(3,)n n n F F F F F n n *--===+≥∈N ，则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ，则
A.*****F F F =+
B.681S F =-
C.*****F F F F F ++++=
D.***-*****78F F F F F F ++++=
为椭圆的顶点，F 为右焦点，延长2B F 与1AB 交于点P ，
若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率可能为A.23 B.12 C.13 D.14 12.已知数列1
*****,,1,,,1,,,,1,
*****，则A.数列的第(1)2
n n +项均为1 B.
1213是数列的第90项C.数列前50项和为28 D.数列前50项和为572 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n ∈N ，44a =，72a =-，则n S 的最大值为14.已知椭圆C :*****(0)x y a b a b
+=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，过点11(,)22M -且斜率为12
的直线交椭圆C 于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆
C 的方程为
15.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，55S =，1015S =，则
***-*****20a a a a a ++++的值为
16.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面.它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上.由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜
的折射等作用达到照亮路面的效果.如图，从灯泡发出的
光线FP 经抛物线2
2y px =反射后，沿PN 平行射出，FPN ∠的角平分线PM 所在的直线方程为
2120x y +-=，则抛物线方程为
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）
从条件①221b a =-，②412b a =-，③22b a =中任选一个补充在下面问题中，并解答. 问题：已知数列{}n a 的各项均为正数，{}n b 为等比数列，*****n n n n a a a a ++-=+，111a b ==，，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）
动点(,)M x y 与定点1(5,0)F 的距离和M 到定直线9:5l x =的距离的比是常数53. （1）求动点M 的轨迹方程；
（2）设2(5,0)F -，点P 为M 轨迹上一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ?的面积.
19.（12分）
在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费.某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月.该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；
方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同.（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息.）
（1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据：181.004 1.0745≈，61.012 1.0742≈.）
（2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由.
20.（12分）
已知抛物线C 的方程为28x y =，点()0,4M
，过点M 的直线交抛物线于,A B 两点. （1）221
1AM BM +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ ?面积的最小值.
21.（12分）
已知F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=的一个焦点，点M 在椭圆上，MF x ⊥
轴，MF =4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P
为直线:l x =Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求2216OP OQ -的取值范围.
22.（12分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，426a a -=，*****S S S +=.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且12b =，1(1)(1)n n nT n T n n +=+++.
（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若(1)(1)(2)
n n n S b c n n +=++，n M 为数列{}n c 的前n 项和，是否存在不同的正整数,,p q r （其中,,p q r 成等差数列），使得2,2,2p q r M M M +++成等比数列？若存在，求出所有满足条件的,,p q r 的值；若不存在，说明理由.。