高三数学总复习知能达标训练第七章

高三数学总复习知能达标训练第七章
第五节直线、平面垂直的判定及其性质
(时间40分钟，满分80分)
一、选择题(6×5分＝30分)
1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.
其中正确命题的个数是
A．0B．1
C．2 D．3
解析①④正确；②错，α与β可相交；③错，m与n可异面，可相交，故选C.
答案 C
2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α
解析n⊥α，n⊥β⇒α∥β，∵m⊥β，∴m⊥α，故选B.
答案 B
3．(2011·浙江)下列命题中错误的是
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．
答案 D
4．(2011·大纲全国卷)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于
A. 3 B．2
C. 2 D．1
解析如图，连接BC，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，
∴AC⊥β，∴AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，
∴BC＝22－12＝ 3.
Rt△BCD中，BC＝3，BD＝1，
∴CD＝BC2－BD2＝ 2.
答案 C
5．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，P A⊂α，PB⊂β且P A⊥l，则
A．∠APB的最大值等于二面角的平面角
B．∠APB的最小值等于二面角的平面角
C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值
D．∠APB就是二面角的平面角
解析如图，在平面β内作PC⊥l，
则∠APC为二面角的平面角，
cos ∠APB＝cos ∠BPC·cos ∠APC≤cos ∠APC，
即∠APB≥∠APC，故选B.
答案 B
6．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不
正确的是
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D
二、填空题(3×4分＝12分)
7．α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
8．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影
(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________；
(2)若P A、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的________；
(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________；
(4)若平面P AB、平面PBC、平面PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O 是△ABC的________；
(5)若P A、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．
答案(1)外心(2)外心(3)内心(4)内心(5)垂心
9．若Rt△ABC在给定平面α上的射影有如下的判断：
①可能是一条线段；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是锐角三角形；⑤可能是一条直线；⑥可能是一条射线．
其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上)．
答案①②③④
三、解答题(38分)
10．(12分)(2011·湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，
且∠CAB＝30°，D为AC的中点．
(1)证明：AC⊥平面POD；
(2)求直线OC和平面P AC所成角的正弦值．
解析 (1)证明 因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，
所以AC ⊥OD .
又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，
所以AC ⊥PO .
而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，
所以AC ⊥平面POD .
(2)由(1)知，AC ⊥平面POD ，
又AC ⊂平面P AC ，
所以平面POD ⊥平面P AC .
在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，
则OH ⊥平面P AC .
连接CH ，则CH 是OC 在平面P AC 上的射影，
所以∠OCH 是直线OC 和平面P AC 所成的角．
在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin 30°＝12.
在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD
PO 2＋OD 2＝
2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23.
故直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值为23.
11．(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1
P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D .
(1)求证：PB 1∥平面BDA 1；
(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值．
解析 (1)证明 连接AB 1，与BA 1交于点O ，连接OD .
∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ，
∴AD ＝PD .
又∵AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.
又OD ⊂平面BDA 1，PB 1⊄平面BDA 1，
∴PB 1∥平面BDA 1.
(2)如图，过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连接BE .
∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ，
∴BA ⊥平面AA 1C 1C .
∴BE ⊥DA 1.
∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．
在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋12＝52， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52·AE ，
∴AE ＝255.
在Rt △BAE 中，BE ＝
12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝355， ∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23. 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.
12．(14分)(2011·浙江)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．
(1)证明：AP ⊥BC ；
(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．
解析 (1)证明 由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ，
又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ，
因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A .
(2)如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连CM . 因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .
故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．
在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝41.
在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，
在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，
所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，
得PB＝6.
在Rt△POA中，P A2＝AO2＋OP2＝25，得P A＝5.
又cos∠BP A＝P A2＋PB2－AB2
2P A·PB
＝1
3
，
从而sin∠BP A＝22
3.
故BM＝PB sin∠BP A＝4 2.
同理CM＝4 2.
因为BM2＋MC2＝BC2，
所以∠BMC＝90°，
即二面角B－AP－C的大小为90°.。