高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲传真
1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了
解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空
间图形的位置关系的简单命题.
1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行 关系
图形 语言
符号 语言 a ∥b
a ∥α
α∥β
相交 关系
图形 语言
符号 语言 a ∩b ＝A
a ∩α＝A
α∩β＝l 独有
关系 图形 语言
符号 语言
a ，
b 是异面直线
a ⊂α
3.异面直线所成的角
(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．
(2)范围：(0，π
2』．
4．平行公理
平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
『答案』 C
2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线
『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C
3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是
BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.
『答案』 C
4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交
『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．
『答案』 B
图7－3－1
5．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．
『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .
所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，
MK ＝12DN ＝1
242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，
∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°
平面的基本性质
图7－3－2
如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊1
2
F A ，
G 、H 分别为F A 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．
法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．
『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊1
2
AD .
又BC 綊1
2AD ，∴GH 綊BC ，
∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊1
2AF ，
G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．
又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．
法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊1
2AF ，
∴B 为MA 中点， ∵BC 綊1
2AD ，
∴B 为M ′A 中点，
∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,
1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．
2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．
图7－3－3
已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝1
3
DC .求证：
(1)E 、F 、G 、H 四点共面；
(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．
『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .
又∵CG ＝13BC ，CH ＝1
3DC ，
∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，
∴E 、F 、G 、H 四点共面．
(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，
∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，
∴FH 、EG 、AC 共点.
空间两条直线的位置关系
图7－3－4
(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中
点，则下列判断错误的是( )
A ．MN 与CC 1垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行 D ．MN 与A 1B 1平行
(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
图7－3－5
『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.
(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．
『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.
又∵A1B1与B1D1相交，
∴MN与A1B1不平行，故选D.
(2)图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面．
『答案』(1)D(2)②④,
1．判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．
3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．
图7－3－6
如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、
C 1C 的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．
『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.
『答案』 ③④
异面直线所成的角
图7－3－7
(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，
D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π
2
，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：
(1)三棱锥P —ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．
『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．
(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝1
2×2×23＝23，
三棱锥P ­ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43
3.
(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．
在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，
cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝3
4
.,
1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．
3．异面直线所成的角范围是(0，π
2
』．
直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线
BA 1与AC 1所成的角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，
则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C
两种方法
异面直线的判定方法：
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．
三个作用
1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．
2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．
空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.
思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系
(2012·四川高考)下列命题正确的是()
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．
『答案』C
易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.
(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.
防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．
(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．
1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；
又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；
又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．
『答案』B
2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
『解析』连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52
a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52
a ·52a ＝35. 『答案』 35。