高考数学考点回归总复习课件 数系的扩充与复数的引入

注意:(1)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能 比较大小.
(2)复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据, 是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.
2.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x轴叫做实
轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上 的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数 集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也 是一一对应的.
(1 sin cos )2 (cos sin )2
2 sin2 cos2 2 1 sin2 2 .
4
故|
z1
z2
|的最大值为 3 ,最小值为 2
2.
技法二
数形结合思想
【典例2】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值 为( )
A.1 B. 2 C.2 D. 5
答案:C
2.(2010·陕西)复数
z 在1复i i平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 :因为z i i(1 i) 1 i 1 1 i,所以其对 1 i (1 i)(1 i) 11 2 2
应的点
1 2
,
1 2
位于第一象限, 故选A.
答案:A
3.(2010·湖北)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则
【典例1】 已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数 时,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点 在第三象限?
[分析] 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取 值.
[解] ∵z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)·(m-3)i,
3.共轭复数概念 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做
互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示z,即z=a+bi,则
=a-zbi(a,b∈R).
注意:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,即z= ⇔zz∈R.
(2)z=a+bi与z=a-bi(a,b∈R)互为共轭复数,则z+ =2az,z-
类型二
复数的相等
解题准备:1.两个复数z1=a+bi(a、b∈R),z2=c+di(c、d∈R), 当且仅当a=c且b=d时,z1=z2,特别地,当且仅当a=b=0 时,a+bi=0.即两复数相等,其实部与实部､虚部与虚部分别 相等.
2.两个实数可以比较大小,但是两个复数,如果不全是实数,它 们之间就不能比较大小,只能说相等或不相等.
类型三
复数代数形式的运算
解题准备:(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算,在转化 时常用的知识有复数相等,复数的加､减､乘､除运算法则,模 的性质,共轭复数的性质.
(2)一些常用的结论
①(1±i)2=±2i;②
1 i i;1 i i; 1i 1i
③i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中n∈N*.
④若ω=
1 2
2,3则i ω2=
ω3=1,1+ω+ω2=0.
1 3i 1, 22
【典例3】算: (2 2i)4 . (1 3i)5
[分析] 可用ω的性质计算.
[解]原式 16(1 i)4
16(2i)2
(1 3i)4 (1 3i) (2 2 3i)2(1 3i)
3.复数相等的重要条件提供了将复数问题化归为实数问题解 决的途径.
【典例2】 设存在复数z同时满足下列条件:(1)复数z在复平
面内对应的点位于第二象限;(2)z +2ziz=8+ai(a∈R).试求
a的取值范围.
[解] 设z=x+yi(x,y∈R),则 =x-zyi.
由(1)知x<0,y>0. 又 +2izzz=8+ai(a∈R), 故(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai, 即(x2+y2-2y)+2xi=8+ai,
a bi
A.a 3 ,b 1 22
B.a 3,b 1
C.a 1 ,b 3 22
D.a 1,b 3
解析 : 等式的两边同乘以a bi,整理得1 2i a b a bi,
则
a a
b b
1 2
,
a
3 2
,
b
1 2
.
答案:A
类型一
复数的概念
解题准备:处理有关复数基本概念的问题,关键是掌握复数的 相关概念,找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实 数),从定义出发解决问题.本题考查复数集的分类及复数的 几何意义,用标准的代数形式,因为容易确定其实部与虚部. 若不然,则应先化为代数形式后再依据概念求解.
|z+i+1|表示P点到Q(-1,-1)的距离,从图中不难看出,当P点与A 点重合时,QA⊥AB,
∴|PQ|≥|AQ|=1,故应选A. [答案] A
[方法与技巧] 要注意|AB|=2,|z+i|+|z-i|=2表示一条线段,而 不是一个椭圆,注意|z-z1|+|z-z2|=2a,表示椭圆的条件为 0<|z1-z2|<2a,而当|z1-z2|=2a时,|z-z1|+|z-z2|=2a表示一 条线段.
(3)复数加､减法的几何意义
①复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量
OZ1、O不Z共2 线,则复数z1+z2是以
为两邻O边Z的1、O平Z2行四边形的对角线
所对应的复O数Z .
②复数减法的几何意义
复数z1-z2是连接向量 所对应的复数.
Z2Z1
的终点,并指向被减数向量 OZ1、OZ2
5.复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di (1)复数的乘法运算法则 z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 交换律z1•z2=z2·z1; 结合律(z1•z2)•z3=z1·(z2·z3); 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
【典例1】 当m为何实数时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是 纯虚数?
[错解] 令2m2-5m-3=0,
解得:m=3或 所以当m=3或m=
虚数.
m 1. 2
时,1复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i为纯
2
[剖析] 错解只考虑复数的实部,而没有顾及虚部,纯虚数的定
义要求复数的实部为零而虚部不为零.本例中,当 时,2m2-m-1=0,不满足纯虚数的条件.
第五十三讲 数系的扩充与复数的引入
回归课本
1.复数的有关概念. (1)形如a+bi的数叫做复数,其中a和b都是实数.其中a叫做复
数z的实部,b叫做复数z的虚部. 对于复数a+bi(a,b∈R)当且仅当b=0时,它是实数; 当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.
(2)复数的相等 即如果a,b,c,d都是实数,那么 a+bi=c+di⇔a=c且b=d; a+bi=0⇔a=0且b=0.
64
16
4(1 3i)2 (1 3i) (1 3i) 4
4 1 3i. 1 3i
[反思感悟] 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时
含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类
项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式,化简
的依据是i的周期性,即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-
(1 3i)2
A. 1
B. 1
4
2
C.1
D.2
解析 : z 3 i 3 i ( 3 i)(2 2 3i) (1 3i)2 2 2 3i (2 2 3i)(2 2 3i)
3 1 i,可得 | z | 44
3 4
2
1 4
2
1 ,故选B. 2
答案:B
5.(2010 辽宁)设a, b为实数,若复数 1 2i 1 i,则
∴(1)当m=-2或m=3时,z为实数;
(2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数;
(3)当m=0时,z为纯虚数;
(4)当m=3时,z=0;
5由(mm(m
3) 0, 2)(m 3)
0,
解得0
m
3,
当m 0,3时, z对应的点在第三象限.
[反思感悟] 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是 解决复数问题的基本思想方法,也是化归思想的重要表现.
m1 2
[正解] 由上述分析知,m=3时,满足上述要求.
错源二
盲目套用实数集上的性质致误
【典例2】 若x=sin15°cos15°,求(-i)4x的值.
[错解] (-i)4x=[(-i)4]x=1x=1.
[剖析] 错解中没有根据地将实数中底数是正数时的幂指数运 算法则(am)n=amn搬到复数中去.
(2)复数的除法运算法则
(a+bi)÷(c+di)=
ac bd bc ad
c2 d 2 c2 d(c2 +i di≠0).
注意:特殊复数及其运算
(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
2记 1 3 i,则 1 3 i,
22
22
3 3 1, 1,2 , 2 1 0.
3 (1 i)2 2i,1 i i, 1 i i.
1i 1i
考点陪练
1.(2010·北京)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为 A,B.若C为线段AB的中点,则C对应的复数是( )
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
解析:两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4),故其 对应的复数为2+4i.
z
=2bi,|z|=| |,zz· =|zz|2=| |2. z
4.复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律､结合律,即对任何z1、z2、z3∈C,有
z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
[解析] 从复数的几何意义分析:|z+i|+|z-i|=2,表示一条线段, 线段端点分别为-i,i所对应的点,而|z+i+1|表示z与-1-i所对 应两点间的距离,问题转化为求这个距离的最小值.
构图,如图所示,|z+i|+|z-i|=2表示z所对应的点P在以A(0,1),B(0,1)为端点的线段上,
[正解] 因为x=sin15°cos15°,所以4x=2sin30°=1.
所以(-i)4x=(-i)1=-i.
技法一
函数思想
【典例1】 已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,求|z1•z2|的最大 值和最小值.
[解题切入点] 本题可以转化成利用三角函数求最值问题.
[解] | z1 z2 1 sincos cos sin i |
表示复数 的点是z ( )
1 i
A.E
B.F
C.G
D.H
解析 : 依题意得z 3 i, z 3 i (3 i)(1 i) 1 i 1 i (1 i)(1 i)
4 2i 2 i,该复数对应的点的坐标是2, 1,选D.
2
答案:D
4.(2010 新课标全国)已知复数z 3 i ,则 z
i(n∈N*).复数的代数形式运算,基本思路是直接用法则运
算,但有时如果能用上特殊复数i或ω的一些性质以及一些
常见的结论,如(1+i)2=2i,(1-i)2=1-2ii, i,1 i
=-i,-
1i 1i
b+ai=i(a+bi),可更有效地简化运算,提高计算速度.
错源一
对复数的有关概念的理解不清致误
x2
y2
2y
8,即4 y
12
36
a2,
2x a
∵y>0,∴4(y-1)2≥0, ∴36-a2≥0,即a2≤36,-6≤a≤6, 又2x=a,而x<0,∴a<0,故-6≤a<0, ∴a的取值范围为[-6,0).
[反思感悟] (1)复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相 等,利用这一性质可以解决以下问题:①解复数方程;②方程 有解时系数的值;③求轨迹方程.(2)复数问题实数化是复数 问题的最基本也是最重要的思想方法,其转化的依据就是 复数相等的充要条件,基本思路是:设出复数的代数形式 z=x+yi(x,y∈R),由复数相等可以得到两个实数等式所组成 的方程组,从而可以确定两个独立的基本量.