北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(答案解析)

一、选择题
1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12
ρ=
B ．1
cos 2
ρθ=
C ．1
2cos ρθ
=-
D ．2
cos ρθ
=-
2．点P 的直角坐标为(2,2)-，那么它的极坐标可表示为（ ） A ．52,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．32,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在
以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:3sin C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．22
4．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3
π
θ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为
（ ） A ．
14
B ．
33
4
- C ．
23
4
- D ．
13
5．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
2cos ρθ=。

若射线3
π
θ=与曲线1C 和曲线2C 分别交于,A B 两点（除极点外），则
AB 等于（ ）
A ．31-
B ．31+
C ．1
D ．3
6．如图，点A 、B 是函数1
y x
=
在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）
A ．
12
B ．
22
C
D
7．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
到直线sin 16πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
的距离是( ) A
B ．3
C ．1
D ．2
8．已知曲线C 与曲线5ρ
=5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )
A ．10cos ρ=-π-
6θ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ B ．10cos ρ=π-
6θ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,
{
?1x cos y sin αα
==+（α为参数），在极坐标
系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫
⎪⎝
⎭
，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1= B ．ρsin θ=
C ．1ρsin θ
=-
D ．1ρsin θ
=
11．()04
π
θρ=
≥表示的图形是( )
A ．一条线段
B ．一条直线
C ．一条射线
D ．圆
12．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（ ）
A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩
B ．23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
C ．1312x x y y ⎧
=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
D ．1213x x y y ⎧
=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
二、填空题
13．求圆心为(3,
)6
C π
,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________.
14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θ
θ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为
sin 42
πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.
15．直线2310x y 经过变换可以化为6610x y ''+-=，则坐标变换公式是_______.
16．若点(2016,2017)P -经过伸缩变换'2017
'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
后的点在曲线''x y k =上，则
k =________.
17．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________．
18．在极坐标系中，圆2cos 23sin ρθθ=-的圆心的极坐标．．．是____________. 19．在极坐标系中，已知两点(2,)3P π和(23,)6
Q 5π
，则PQ 的中点M 的极坐标为_________． 20．已知圆
的直角坐标方程为2220x y x +-=，则圆
的极坐标方程为
____________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()2
2
113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()4
R π
θρ=∈.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.
22．已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为
34
π. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB +的值.
23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈.
（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；
（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积.
24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨=+⎩
（其中t 为参数
02
π
α≤≤
），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为2
4
32cos ρθ
=
+．
（1）求曲线C 的焦点的极坐标；
（2）若曲线C 的上焦点为F ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，3
4
FA FB ⋅=
，求直线l 的斜率．
25．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩
(ϕ
为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于
A 、
B 两点．
(1)求l 和M 的极坐标方程；
(2)当04πα⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，时，求OA OB +的取值范围．
26．已知曲线C 在平面直角坐标系xOy
下的参数方程为1x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），
以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程； （2）直线l
的极坐标方程是cos 6πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭OT ：()03
π
θρ=>与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求OA OB ⋅的值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】
1,2P π⎛⎫
⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12
x =-，
其极坐标方程为1cos 2
ρθ=-，即12cos ρθ=-．
故选：C ． 【点睛】
本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．
2．B
解析：B 【分析】
根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】
设它的极坐标为(,)ρθ
222(4,2ρρ=+==
tan 1θ=
=- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈
34
πθ∴=
则它的极坐标可表示为32,4
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为
()
,0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)
A
αα,，联立1
C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】 曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，
因此得到A 的极坐标为
)
αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以
sin 2sin 3=AB πααα⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为
2．故选：B ．
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积
累，属于中档题．
4．B
解析：B 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
π
θ=
与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3
πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，然后利用三角形的面积公式
121sin 23
S π
ρρ=
可得出结果. 【详解】
设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos01ρ=，得11ρ=. 设直线3
π
θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，
则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即22112ρρ=，得21ρ=. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为
)
1211
3sin 1123224
S πρρ=
=⨯⨯⨯
=
故选B. 【点睛】 本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
5．A
解析：A 【分析】 把3
π
θ=分别代入2sin ρθ=和2cos ρθ=，求得,A B 的极经，进而求得AB ，得到答
案． 【详解】
由题意，把3
π
θ=代入2sin ρθ=，可得2sin
3
A π
ρ==
把3
π
θ=
代入2cos ρθ=，可得2cos
13
B π
ρ==，
结合图象，可得1A B AB ρρ=
-=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．D
解析：D 【分析】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐
标2,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2
ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，
由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=，则点A 的极坐标
2,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，
化简得2sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 22ρθ=，
将点A 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
2sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤
⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 化简得2
cos24ρθ=，于是有2
2sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩
，
()()2
42222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得225ρ=，
因此，OAB ∆的面积为
111
sin
242224
OAB
S OA OB
π
ρρ
∆
=⋅=⨯⨯⨯=⨯
故选D.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解．
【详解】
在极坐标系中，点2,
6
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
1），
直线ρsin（θ﹣
6
π
）＝1化为直角坐标方程为x
+2＝0，
1）到x
+2＝0
的距离1
=，
即点（2，
6
π
）到直线ρsin（θ﹣
6
π
）＝1的距离为1，
故选C．
【点睛】
本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 8．B
解析：B
【解析】
【分析】
将方程5sin
ρθθ
=-化为直角坐标方程，然后求出该方程关于极轴对称的方程，再转化为极坐标方程即可．
【详解】
∵5sin
ρθθ
=-，
∴2cos5sin
ρθρθ
=-，
将222,?,?
x y cos x sin y
ρρθρθ
=+==
代入上式，得225
x y y
+=-，
∴曲线关于极轴对称的曲线C
的直角坐标方程为225
x y y
+=+，
化为极坐标方程为5sin
ρθθ
=+，
即ρ=θ+5sin θ=10co πs 6θ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
． 故选B ． 【点睛】
（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，y
tan x
θ=
(x ≠0)． （2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
9．C
解析：C 【分析】
首先确定1C 与2C 的直角坐标方程，然后确定交点个数即可. 【详解】
消去参数α可得1C 的直角坐标方程为：()2
211x y +-=，
曲线1C 表示圆心为()0,1，半径为1的圆，
极坐标化为直角坐标方程可得2C 的直角坐标方程为：10x y -+=， 曲线2C 表示直线，
圆心满足直线方程，即直线过圆心，则直线与圆的交点个数为2个. 本题选择C 选项. 【点睛】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
10．D
解析：D 【解析】
分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．
详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫
⎪⎝⎭
化为直角坐标为），
故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ， 化为极坐标方程为1sin ρθ=， 故选D ．
点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出． 【详解】
()04
π
θρ=
≥表表示的图形是一条射线：y=x （x≥0）．
故选C ． 【点睛】
本题考查了射线的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．A
解析：A 【解析】
分析：由题意假设处伸缩变换，然后利用待定系数法确定系数即可. 详解：设伸缩变换为：()'0,0'x x
y y
λλμμ=⎧>>⎨
=⎩，
则直线236x y +=经过伸缩变换之前的方程为：236x y λμ+=，
即：132x y λμ+=，据此可得：3
121λ
μ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则：32λμ=⎧⎨=⎩，
则对应的伸缩变换为：32x x y y ''=⎧⎨=⎩
. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查伸缩变换及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【分析】求出圆心的直角坐标写出圆的直角坐标方程再利用转化成极坐标方程【详解】由题：圆心为直角坐标为所以圆的标准方程：化简得：所以其极坐标方程为：故答案为：【点睛】此题考查曲线直角坐标方程与极坐标方程
解析：3sin ρθθ=+
【分析】
求出圆心的直角坐标，写出圆的直角坐标方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ==转化成极坐标方程. 【详解】 由题：圆心为(3,
)6C π
，直角坐标为0033cos 3sin 662
x y ππ====，
所以圆C 的标准方程：223
(()92
x y +-=，
化简得：2230x y y +--=，cos ,sin x y ρθρθ==，
2cos 3sin ρθρθ=+，
所以其极坐标方程为：3sin ρθθ=+．
故答案为：3sin ρθθ=+ 【点睛】
此题考查曲线直角坐标方程与极坐标方程之间的互相转化，通过几何关系转化固然轻松，当几何关系寻找比较困难时，考虑直角坐标与极坐标的直接代换，虽计算量稍大，但通式通法一定能求解.
14．【解析】【分析】首先将参数方程化为普通方程将极坐标方程化为直角坐标方程然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程解方程即可确定a 的值【详解】圆C 的参数方程为(为参数)化为普通方程：直线l 的极
解析：1-【解析】 【分析】
首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】 圆C 的参数方程为cos sin x a y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩,(θ为参数)，
化为普通方程：()2
2
1x a y -+=.
直线l 的极坐标方程为sin 42
πρθ⎛⎫
-= ⎪
⎝
⎭，
()sin cos θθ-=
， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.
∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，
1
=,解得1a =-
故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．【解析】【分析】假设坐标的变换关系对比方程求解【详解】设直线上任
一点的坐标为经变换后对应点的坐标为设坐标变换公式为即将其代入直线方程得将其与比较系数得因此坐标变换公式为【点睛】本题主要考察的是坐标变换
解析：13
12x x y y ⎧=⎪⎪⎨
⎪''⎪=⎩
， 【解析】 【分析】
假设坐标的变换关系，对比方程求解。

【详解】
设直线2310x y 上任一点的坐标为(),x y ，经变换后对应点的坐标为(),x y ''.
设坐标变换公式为,(0,0)x kx k h y hy =⎧>>''⎨
=⎩，即1(0,0)1x x k
k h y y h ⎧
=⎪⎪>>'
⎨='⎪⎪⎩
， 将其代入直线方程2310x y ，得
2310x y k h ''
+-=， 将其与6610x y ''+-=比较系数，得11
,32
k h =
=. 因此坐标变换公式为13
1.2x x y y ⎧
=⎪⎪⎨=⎪''⎪⎩
，
【点睛】
本题主要考察的是坐标变换。

16．【解析】【分析】将点代入变换公式得再代入曲线的方程即可求解【详解】由题意将点代入变换公式得再将代入解得故答案为：【点睛】本题主要考查了伸缩变换公式的应用其中解答中利用伸缩变换的公式求得变换后的点的坐 解析：1-
【解析】 【分析】
将点(2016,2017)P -代入变换公式'2017'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2016'2017
2017'2016x y -⎧
=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
,再代入曲线的方程，即可求解． 【详解】
由题意，将点(2016,2017)P -代入变换公式'2017'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2016'2017
2017'2016x y -⎧=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩, 再将2016'20172017'2016x y -⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入''x y k =，解得''1k x y ==-.
故答案为：1-． 【点睛】
本题主要考查了伸缩变换公式的应用，其中解答中利用伸缩变换的公式，求得变换后的点的坐标，再代入曲线的方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．垂直【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式求得两直线的直角坐标方程和为再根据两直线的位置关系即可求解得到答案【详解】由题意直线直角坐标方程为即又由直线可得即直线的直角坐标方程为两直线满足所以两
解析：垂直 【解析】 【分析】
由极坐标与直角坐标的互化公式，求得两直线的直角坐标方程sin cos 0x y αα⋅-⋅=和 为cos sin 1x y αα⋅+⋅=，再根据两直线的位置关系，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，直线θα=直角坐标方程为tan y x α=⋅，即sin cos 0x y αα⋅-⋅=， 又由直线cos()1ρθα-=，可得cos cos sin sin 1ρθαρθα+=， 即直线的直角坐标方程为cos sin 1x y αα⋅+⋅=，
两直线满足sin cos cos sin 0αααα-=，所以两直线互相垂直． 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角的互化，以及两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及两直线位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．【解析】即则该圆的直角坐标方程为即：表示以为圆心半径等于的圆故可取该圆的圆心的极坐标为
解析：(2,)3
π-
【解析】
2cos ρθθ=-
，即22cos ρρθθ=-
则该圆的直角坐标方程为222x y x +=-
即：()(2
2
14x y -+=
表示以(1A ，
为圆心半径等于2的圆
1
222
AO sin cos θθ==-
=， 故可取3
π
θ=-
该圆的圆心的极坐标为2,3π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
19．【解析】分析：先把PQ 化成直角坐标再求出中点M 的直角坐标再把它化成极坐标详解：由题得P(1)Q(-3)所以PQ 中点M 的直角坐标为（-1）所以因为点M 在第二象限所以所以中点M 的极坐标为故答案为点睛：（ 解析：2(2,
)3
π 【解析】
分析：先把P ,Q 化成直角坐标，再求出中点M 的直角坐标，再把它化成极坐标.
详解：由题得
所以PQ 中点M 的直角坐标为（-1
所以2,tan ρθ=== 因为点M 在第二象限，所以2.3θπ=所以中点M 的极坐标为22,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故答案为22,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
. 点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求极角时，要先定位，后定量.
20．【解析】化为极坐标方程为 解析：2cos ρθ=
【解析】
2220x y x +-= 化为极坐标方程为22cos 0,2cos ρρθρθ-=∴= 三、解答题
21．（1）22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（2）直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为2. 【分析】
（1）将22(1)(1)3x y -++=化为222210x y x y +-+-=，代入极坐标公式即得解；
（2）联立()4
R π
θρ=
∈和圆的极坐标方程求出11ρ=，21ρ=-，即可判断直线和圆相
交，再求弦长得解. 【详解】
（1）将22(1)(1)3x y -++=化为222210x y x y +-+-=， 化为极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=； （2）将4
π
θ=
代入22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，210ρ-=，
0∆>，所以方程210ρ-=有2个不同的根11ρ=，21ρ=-，
所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为122ρρ-=.
【点睛】
方法点睛：求极坐标方程里的弦长常用的方法有：（1）都化为直角坐标方程，再利用弦长公式求解；（2）直接利用极坐标方程求解. 22．（1）()2
224x y +-=；（2）32 【解析】
分析：（1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可；（2）设,A B 对应的参数分别为
1t ，2t ，联立方程求出结合12MA MB t t +=+进行计算即可．
详解：（1）因为，所以
.
所以
，即曲线的直角坐标方程为：
.
直线的参数方程(为参数)，即 (为参数).
（2）设点对应的参数分别为，.
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得
，整理，得
，所以
.
∵，
∴
.
点睛：本题主要考查参数方程，极坐标方程的应用，根据相应的转换公式进行化简是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．
23．（1）1C ：4y =；2C ：()()2
2
124x y -+-=（237
【分析】
（1）由曲线1C 的极坐标方程能求出曲线1C 的普通方程，由曲线2C 的极坐标方程能求出
曲线2C 的普通方程.
（2）由曲线3C 的极坐标方程求出曲线3C 的普通方程，联立1C 与2C 得2210x x -+=，解得点P 坐标（1，4），从而点P 到3C
的距离d =设()11,A ρθ，(),B ρθ22.将4πθ=
代入2C
，得210ρ-+=，求出12AB ρρ=-，由此能求出PAB △的面积.
【详解】
解：（1）∵曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=， ∴根据题意，曲线1C 的普通方程为4y =.
∵曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=， ∴曲线2C 的普通方程为222410x y x y +--+=， 即()()2
2
124x y -+-=； （2）∵曲线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，
∴曲线3C 的普通方程为y x =，
联立1C 与()()22
24
:114
y C x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得2210x x -+=， 解得1x =， ∴点P 的坐标()1,4， 点P 到3C
的距离d =
=
. 设()11,A ρθ，(),B ρθ22将4
π
θ=代入2C
，得210ρ-+=，
则12ρρ+=121ρρ=，
12AB ρρ=-=
=
∴1122PAB S AB d ∆===
. 【点睛】
本小题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.
24．（1）(1,)2π，3(1,)2
π
；（2 【分析】
（1）用二倍角公式化简cos 2θ，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入曲线C 方
程，求出曲线C 的直角坐标方程，进而求出焦点坐标，再化为极坐标；
（2）将直线l 方程与曲线C 方程联立，由根与系数关系结合直线参数的几何意义，求出关于α的关系式，即可求解. 【详解】 （1）由2
4
32cos ρθ
=
+，
得22223)4(cos sin ρρθθ+-=， ∴2222334x y x y ++-=，
即2
2
12
y x +=．
∴曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为(0,1)±， 则焦点的极坐标为(1,)2π，3(1,
)2
π； （2）将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨=+⎩
（其中t 为参数，02π
α≤<）代入2
2
12
y x +=，
得2
2
2
(1sin )cos 12
t t αα++=，
整理得：222(sin 2cos )2sin 10t t ααα++-=． ∵12221
02t t sn cos αα
=-
<+，
∴1t 与2t 异号， 则122213
sin 2cos 4
FA FB t t αα⋅==+=-，
即2
1cos 3α=，cos α=±．
∴sin 3α=
∵02
π
α≤<，
∴
tan α=l
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标互化，考查直线参数方程的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题.
25．（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(
2,
【分析】
（1）结合cos ,sin x y ρθρθ==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cos sin ρραα+=+，用α表示 OA OB +，结合三角函数的性质，计算范围，即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 曲线M 的普通方程为()()2
2
111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以极坐标方程为()2
2cos sin 10ρθθρ-++=.
（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数， 将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=， 得()2
2cos sin 10ρααρ-++=，
当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2
28sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝
⎭， 所以()122cos sin ρραα+=+，
根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径. 从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 22sin 4πααα⎛
⎫
+=+
⎪⎝
⎭
. 当0,4πα⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， 故OA OB +的取值范围是(
2,22⎤⎦. 【点睛】
本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大． 26．（1）()2
213x y -+=，22cos 20ρρθ--=；（2）12. 【解析】 【分析】
(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化为极坐标方程即可； (2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解OA OB ⋅的值即可. 【详解】 （1）因为曲线
的参数方程为
（为参数），
消去参数得曲线的普通方程为，
又，，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）由，
故射线与曲线的交点的极坐标为；
由，
故射线与直线的交点的极坐标为，
∴.=12.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。