6.2 二次函数的图象和性质(2)
初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。
通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。
只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。
教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。
当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。
但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。
如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。
探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。
只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。
要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。
结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。
6.2二次函数的图象和性质2
4、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1）求a的值； （2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？ 思考: 5、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<-3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 6、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2） （1）求出这个函数关系式并画出函数图象。 （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐 标，并求出△MON的面积。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2, 解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 4 2(1) 2 所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。
x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
x
y 2x2
课堂练习
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（0，0） （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,
对称轴是
2 2 y x 3
y轴
，在
对称轴的右 对称轴的左 0 0
侧，
时，
y随着x的增大而增大；在
侧，
y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最小，最小值是
线y=2x2在x轴的 （2）抛物线
2 y x2 3
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
课堂练习
1、二次函数y=x2的图像开口 ，对称 轴是 ，顶点是 。x取任何 实数，对应的y值总是 数。 2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上， 点A在该图像上的对称点的坐标是 。 1 2 1 2 3、二次函数y= x 与 y=- x 的图像关于 2 2 ___ 对称。 4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2 的图像上，则a= ,b= .
6.2二次函数的图象和性质(2)教案
§6.2二次函数的图象和性质 （2）---( 教案)备课时间: 主备人:教学目标:1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 教学重点:二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 教学难点:由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置． 教学方法:类比教学法。
教学过程: 一、复习：二次函数y=x 2 与y=-x 2的性质：二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？ 刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式： 晴天时：21001v s =；雨天时：2501v s =，请分别画出这两个函数的图像： 三、动手操作、探究：1.在同一平面内画出函数y=2x 2与y=2x 2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=3x 2与y=3x 2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？ 四、例题：【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）x mm +2开口向下，求m 的值． 【例2】k 为何值时，y=（k ＋2）x622--k k 是关于x 的二次函数？【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=21x 2，④y=－21x 2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x 2比y=3x 2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x 2比y=－3x 2大（或小）多少？【例4】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．五、小结你有哪些收获？六、作业。
二次函数的图象和性质(2)
h＜0时,将抛物线y=ax2向 左 平移 h
个单位得到抛物线y=a(x–h)2 .
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0)的图象和性质
a>0
图象
a<0
h>0
开口方向 顶点坐标 对称轴
增减性 最值
h<0
h>0
h<0
1.如何由y=4x2的图象得到y=4x2-3的图象. 说明y=4x2-3图象的顶点，对称轴，增减性. 2.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2的图象.
说明y=4(x+5)2图象的顶点，对称轴，增减性.
3.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2-3的图象.
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 1 22 到抛物线____________ ，再向上平移5个单 y x 2 2 1 2 位，可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y
a<0
k<0
增减性
最值
在同一直角坐标系中画出函数的图象.
y 2x , y 2( x 3) , y 2( x 1)
2 2
2
抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a、h是常数，a≠0 )的关系：
h＞0时,将抛物线y=ax2向 右 平移 h 个单位得到抛物线 y=a(x–h)2 ；
答：a=-2或4或-8.
1 2 9.已知抛物线 y x ，把它向下平 2 移，得到的抛物线与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角
三角形，那么原抛物线应向下平移几 个单位？
10、已知抛物线y=3x2+m与x轴的交点为A、B（B在A
苏科版二次函数图象与性质1---5
6.2 二次函数的图象与性质（1）[教学目标]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [教学过程] [新课引入]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[例题精讲] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是__________.共同点：都以y 轴为__________，顶点都在___________．不同点：22x y =的图象开口向____，顶点是抛物线的最____点，在对称轴的左边，曲线 自左向右________；在对称轴的右边，曲线自左向右__________．22x y -=的图象开口向____，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左边，曲线自左向右_______；在对称轴的右边，曲线自左向右________．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y =2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[课外作业]1．二次函数y=mx22m 的图象有最高点，则m=______．2．二次函数的图象如图1所示，则它的解析式为____________，如果另一函数图象与该图象关于x轴对称，那么它的解析式是______________．(1) (2) (3)3．如图2所示，点A是抛物线y=－x2上一点，AB⊥x轴于B，若B点坐标为（－2，0），则A•点坐标为_______，S△AOB______．4．抛物线y=x2与双曲线y=1x的交点A的坐标为________．5．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=14x2，y=－14x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，抛物线开口向上; B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小; D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点6．下列关于抛物线y=x2和y=－x2的关系的说法错误的是（）A．它们有共同的顶点和对称轴; B．它们都关于y轴对称;C．它们的形状相同，开口方向相反;D．点A（－2，4）在抛物线y=x2上也在抛物线y=－x2上7．已知h关于t的函数关系式为h=12gt2（t为正常数，t为时间），则函数图象为（）8．如图3,A，B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（）A ．y=3B ．y=6C ．y=9D ．y=36 9．正方形的边长为xcm ，面积为Scm 2．（1）写出S 与x 的函数关系式，指出自变量x 的取值范围； （2）画出S 随x 的变化而变化的图象；（3）设正方形的边长增加2cm 2时，面积增加ycm 2，你能画出y 随x•的变化而变化的图象吗？10．二次函数y=x 2，当x 1>x 2>0时，则y 1与y 2的大小关系是_________． 11．已知二次函数y=mx226m m --中，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则m=________．12．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 2）都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 3 13．已知二次函数y=ax 2经过点A （－2，4） （1）求出这个函数关系式；（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B 的坐标，并求出S △AOB ；（3）在抛物线上是否存在另一个点C ，使得△ABC 的面积等于△AOB 面积的一半？如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．2 二次函数的图象与性质（2）[教学目标]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．描点、连线，画出这两个函数的图象．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向____、向___平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？回顾与反思:k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．6．2 二次函数的图象与性质（3）[教学目标]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [新课引入]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象．根据图象填空：它们的开口方向向____；对称轴分别是_________、直线_________和直线___________；顶点坐标分别是__________，_________，_____________．回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ， 当x 时，函数值y 随x 的增大而减小； 当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向____、向____平移_____个单位得到的． 如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为________；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为__________．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y ____________相同，__________不同，它们开口方向都向________，对称轴分别是__________和直线_________．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向_________平移_________个单位而得的．回顾与反思2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．6．2 二次函数的图象与性质（4）[教学目标]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [教学过程] [新课引入]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [例题精讲]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象．根据图象填空：它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．6．2 二次函数的图象与性质（5）[教学目标]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[教学过程][新课引入]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[例题精讲]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．请写出详细过程．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2. 若二次函数y=ax 2+bx+a 2－1（a ≠0）的图像如图所示，则a 的值是________．3.用配方法将函数y=12x 2－2x+1化为y=a （x －h ）2+k 的形式是（ ） A ．y=12（x －2）2－1 B ．y=12（x －1）2－1 C ．y=12（x －2）2－3 D ．y=12（x －1）2－3 4．二次函数y=－3（x －2）2+9的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（ ）A ．开口向下，对称轴为x=－2，顶点为（2，9）;B ．开口向下，对称轴为x=2，顶点为（2，9）;C ．开口向上，对称轴为x=－2，顶点为（－2，9）;D ．开口向上，对称轴为x=2，顶点为（－2，－9）5.图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）A ．h=mB ．k=nC ．k>nD ．h>0，k>06．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[课外作业]1．抛物线y=ax2+2x+c的顶点是（13，1），则a=_______，c=________．2．抛物线和y=－2x2形状相同，方向相反，且顶点为（•－•1，•3）•，•则它的关系式为________．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象（•如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=______．4．试写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点的坐标为（0，3）•的抛物线的关系式为_______．5．已知二次函数y=－x2+4x+m－2的最大值为－5，则m=_______．6．已知抛物线y=x2+（m－1）x－14的顶点的横坐标是2，则m的值是_______．7．已知二次函数y=－x2+bx+c的图象最高点（－1，－3），则b与c的取值是（）A．b=2，c=4 B．b=2，b=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－48．已知二次函数的最大值为0，其图象经过点（1，－2）和点（0，－12），则它的关系式是（）A．y=－12x2－x+12B．y=－12x2+x－12C．y=－12x2－x－12D．y=－12x2+x+129．二次函数y=4x2－mx+5，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x•的增大而增大，则当x=1时，y的值为（）A．－7 B．1 C．17 D．2510．抛物线y=ax2+bx+c的形状与y=2x2－4x－1相同，对称轴平行于y轴，且x=2时，y•有最大值－5，求该抛物线关系式．11．对于物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h=v0t－12gt2，其中h•是上升高度，v0（m/s）是初速度，g（m/s2）是重力加速度，t（s）是物体抛出后经过的时间，如图是h与t的函数关系图．（1）求v0，g；（2）几秒后，物体在离抛出点25m高的地方．12．如图，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，•若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的关系式为________________．13．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（• ）A．－1 B．0 C．1 D．214．已知抛物线y=（x+a）2+2a2+3a－5的顶点在坐标轴上，求字母a的值，并指出顶点坐标．15．已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A（c，－2）,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3，•题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整．。
6.2二次函数的图象和性质(2)课件
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到。（抓住顶点 坐标的变化）
-8
上加下减
(4)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (5)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （6）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0 y
O
图 象
O
y
向上 (0 ,0) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
x
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值
向下 (0 ,0) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
5 10
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
…… ……
2
-1
y
8
0
-1
2
6
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
九年级数学二次函数的图象和性质
练习三 知识应用
例1.说出下列抛物线的开口方向、 说出下列抛物线的开口方向、 说出下列抛物线的开口方向
顶点坐标： 对称轴及 顶点坐标： (2)y=4(x（1）y=-3(x-1)2 (2)y=4(x-3)2 (3)y=2(x+3)2 y=-3(x解(1)∵a=-3<0 ∴开口向下 (1)∵a=对称轴: 对称轴: 顶点: 顶点: 直线 x= 1 (1， (1，0)
是k 是k
y=ax2+k
a＜0
向下
（0 , k） 最大值 ）
回顾： 回顾：抛物线 y = x +1 是由抛物线 y = x 2 轴怎样移动得到的？ 沿y轴怎样移动得到的？抛物线 y = x −1 呢？ 2 y = x +1 y 2 y=x 7 2 y = x −1 6
2
5 4 3 2 1 -4 -3
2.二次函数y=ax2、y=ax2+k的性质有哪 二次函数y=ax 二次函数 请填写下表： 些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点 y的 轴 坐 标 最值
Y轴 轴 Y轴 轴 Y轴 轴 Y轴 轴 （0 ，0） 是0 ）
是0 最小值
a＞0
向上 向下
y=ax2
a＜0 a＞0
向上
（0 , 0） 最大值 ） （0 , k） 最小值 ）
o
-1 -2 -3 -4 -5
1
2
3
4
5x
探究2:抛物线 y=探究2:抛物线 y=-(x+1)2 是由抛物线 y=-x2 2: y=轴怎样移动得到的？ y=-(x- 呢 沿x轴怎样移动得到的？抛物线 y=-(x-1)2？
y
1 -4 -3 -2 -1
o
二次函数的图象与性质(第2课时)教学设计-四套方案
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图像和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质.学生活动经验基础：学生在上节课经历利用描点法画抛物线的图象的活动过程，因此对于画二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观，因此在分析两个或者多个二次函数的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标时，也有了上一课时的活动基础.二、教学任务分析本课时要研究的问题是关于函数2y ax =和2y ax c =+的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．为此，本节课的教学目标是：知识与技能1.能画二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象，并能够比较它们与二次函数2y ax =的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响.2.能说出二次函数2y ax =和2y ax c =+图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.过程与方法经历探索二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会数形结合思想在数学中的应用.情感态度与价值观体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点：2y ax =和2y ax c =+图象的作法和性质教学难点：能够比较2y ax =和2y ax c =+的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响.三、教学过程分析运用类比的学习方法，通过与2y x =，y=2x 2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．第一环节： 复习旧知，引入新知1、什么是二次函数？二次函数y ＝x 2与y=-x 2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？设计意图：首先用问题作为切入点，引出新知.学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画出二次函数的图像，那么，是不是只有二次函y ＝x 2与y ＝-x 2两种呢？从而自然而然的引出数学活动第二环节： 新课讲解活动内容：在平面直角坐标系中作二次函数y=x 2和y=2x 2的图象． (1)完成下表：(2)分别画二次函数y=x 2和y=2x 2的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?第三环节：想一想活动目的：让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数2的系数a对图象的影响.y ax第四环节: 做一做活动内容：在同一直角坐标系内画函数y＝2x2+1的图象.1）同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线.2）教师巡视，指导画法.3）展示好的作品（以做探讨，研究性质之用）.活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，培养学生的动态思维.第五环节：议一议活动内容：二次函数y＝2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？1.通过刚才画的函数y＝2x2+1的图象与函数y=2x2的图象，比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)2.在同一直角坐标系内画函数y＝2x2-1的图象，也比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)活动目的：引导学生通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，再结合图象，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，掌握图象的平移规律，培养学生的动态思维.第六环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结：y=ax2+c.第七环节：布置作业完成习题2.3知识技能1、2题.四、教学反思函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，先通过表格中数据的变化规律去理解函数的变化趋势，再让学生动手画图象，通过学生自己画的图象去印证发现的变化趋势，加深他们对函数图象的了解，也加深他们对函数性质的了解，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去，这样学生才能真正理解并掌握它.其次合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，几何画板等软件画出的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax²及y=ax2+c的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想.整节课是一个动手作图、动眼观察、动脑猜想、实践验证、巩固应用的动态生成过程，学生能力得到培养.第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析上一节课中学生已经学习了具体的二次函数y=x²与y=-x²的图象，对二次函数的定点、对称轴、开口方向等都有了基础的了解，但是对y=ax²+c中的a和c对二次函数图象的影响并不了解.二、教学任务分析一、三维目标①、知识目标：1、能做出二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象，并能够比较他们与二次函数y=x²的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.2、能说出二次函数y=ax²与y=ax²+c图象的开口方向、对称轴和定点坐标.②、能力目标：经历探索二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，掌握研究一个函数图象的三个基本步骤.③、情感态度价值观：体验从特殊到一般的过程，在深入学习新知的过程中体验到科学的分析精神.二、教学重难点a与c对二次函数图象的影响.三、教学过程分析一、复习回顾二次函数y=x²、y=-x²引导学生分别说出开口方向、顶点、对称轴、增减性二、在画有y=x²的直角坐标系中画出y=2x²的图像1、列表2、描点3、连线4、对比5、想一想， 与y=x ²、y=2x ²有什么异同点三、结论：形如y=ax ²的二次函数图像，|a|越大，图像开口反而越小开口方向 对称轴 顶点增减性a ＞0向上Y轴（0,0）x ＞0时，y 随x 增大而增大；x ＜0时，y 随x 增大而减小a ＜0向下Y轴（0,0）x ＞0时，y 随x 增大而减小；x ＜0时，y 随x 增大而增大四、考虑二次函数y=2x ²+1的图像与二次函数y=2x ²的图像有什么异同？221x y二次函数 y = 2 x² + 1 的图象与二次函数 y = 2 x²的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？你能通过平移画出y=2x²-1的图像吗？说说你是怎么做的.二次函数 y = 2 x²，y = 2 x² + 1，y = 2 x² - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将二次函数 y = 2 x²的图象向上平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² + 1 的图象；将二次函数 y = 2 x²的图象向下平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² - 1 的图象．五、结论二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像都是抛物线，开口方向和形状都相同C＞0时，把y=ax²向上平移c个单位得到y=ax²+cC＜0时，把y=ax²向下平移c个单位得到y=ax²+c四、教学反思学生画图象比较费时间，但是这个时间也是很必要的，这种感性认识为后部分总结规律上升到理性认识提供了良好的基础.所以在教学中反映出来的状况是，越是基础不扎实的同学，画图象的帮助越大.从图象中学生可以很快说出结论，反复应用这个结论去判断函数的图象可以加深认识与记忆.第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法.在本章第一节课中学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.第二节课又学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =x 2和y=-x 2的一般性质.二、教学任务分析本节将讨论形如)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的二次函数图象和性质.它和学生前一节课学习的2x y =、2x y -=的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法作出函数)0(2≠=a ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 的性质．能正确说出)0(2≠=a ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.2．能够作出函数)0(2≠+=a c ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠+=a c ax y 的性质．能正确说出)0(2≠+=a c ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.过程与方法1．经历探索二次函数)0(2≠=a ax y 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．经历探索二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象的作法和性质的过程.情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，并根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质.教学难点：)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象的关系，)0(2≠+=a c ax y 的图象性质.三、教学过程分析(一) 复习引入提出问题，让学生讨论交流：二次函数2x y =图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、y 随x 的变化情况分别是什么？二次函数22x y =的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数2x y =的图象有什么关系？（二） 合作探究（1）先作二次函数22x y =的图象，再回答问题.1. 在同一坐标系下用描点法画二次函数2x y =、22x y =与221x y =的图象 函数2x y =、22x y =与221x y =的图象有什么关系?与同桌交流 2. 他们的对称轴、开口方向、顶点坐标相同吗？3. 当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？4. 当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？总结二次函数)0(2≠=a ax y 的性质：（三）课堂练习（1）1.函数 图象开口方向______,对称轴________，顶点坐标_____;函数图象开口方向______,对__________，顶点坐标_______.2.二次函数y=ax 2 (a≠0)的图象经过点A （1，2），则函数y=ax 2的表达式为________；若点C(-2,m), D （n ,4）也在函数的图象上，则点C 的坐标为______,点D 的坐标为_________.3. 已知点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在抛物线y=4x 的 图像上，则y 1, y 2, y 3的大小关系___________;已知点（-1,y 1），（-2，y 2），（-3，y 3）在抛物线y=-3x 2 的 图像上，则 y 1, y 2, y 3 的大小关系__________.（四）合作探究（2）1.在同一坐标系中作出二次函数2x y =与12+=x y 的图象.2.二次函数2x y =,12+=x y 的图象的形状相同吗？3. 函数12+=x y 的图象与2x y =的图象的位置有什么关系?4. 在同一坐标系中作出二次函数2x y =与22-=x y 的图象.5. 2x y =图像经过怎样的平移得到22-=x y 的图像？ 总结出二次函数)0(2≠+=a c ax y 与)0(2≠=a ax y 的关系232x y =273x y -=一般地,由)0(2≠=a ax y 的图象便可得到二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象: )0(2≠+=a c ax y 的图象可以看成)0(2≠=a ax y 的图象先沿y 轴整体上(下)平移|c |个单位(当从c >0时,向上平移;当c <0时,向下平移c)得到的.因此,二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a 、c 的值有关.总结二次函数)0(2≠+=a c ax y k 的性质(五) 课堂练习1. 函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象 可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到.2. 将函数y=-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x 2的图象；将y=2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象.将y=x 2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x 2+2的图象.3. 将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 .将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 .4. 抛物线y=-3x 2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .5. 抛物线y=7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .6. 二次函数y=ax 2+c (a≠0)的图象经过点A （1，-1），B （2，5），则函数y=ax 2+c 的表达式为 ；若点C(-2,m),D （n ,15）也在函数的图象上，则点C 的坐标为 点D 的坐标为______________.（六）课堂小结填表：二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质（七）布置作业习题2.3 3题、 4题四、教学反思1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；2．加强教学的计划性,保证每堂课的教学效果,提高教学质量；3，在函数教学中采用计算机辅助教学，教学效果更好.第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、教学任务分析【教学目标】(一)教学知识点1．能够利用描点法作出函数的图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质．(二)能力训练要求1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．(三)情感与价值观要求1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．【重点】1.能做出2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．【难点】1．能说出y＝ax2和y=ax2+c图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．2.能作出函数y＝ax2和y=ax2+c的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，二、教学方法探索——总结——运用法．三、教材分析教材对二次函数性质的研究采用的是图象的、直观的、非形式化方法，要求通过学生自己的探索活动(联系、对比、概括和反思等）达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。
6[1].2二次函数的图象和性质(2)教案(九下)
![6[1].2二次函数的图象和性质(2)教案(九下)](https://img.taocdn.com/s3/m/a6afa847fe4733687e21aabd.png)
§6.2二次函数的图象和性质（2）龙冈初中数学教研组教学目标:知识与技能：经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步体验数形结合的思想方法。
过程与方法：会作出y=ax2＋c的图象，理解a与c对二次函数图象的影响．能说出y=ax2＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．情感、态度与价值观：体会二次函数是某些实际问题的数学模型．教学重点:二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．教学难点:由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．教学方法:类比教学法。
教学过程:一、温故知新：二、操作、探究：操作1.在同一平面内画出函数y=x2与y=x2+1的图象。
探究：1、函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?2、函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?3、函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象怎样平移得到？操作2. 在同一平面内画出函数y=x2与y=x2-2的图象。
探究：1. 函数x 2-2的图象与y=x 2的图象的位置有什么关系?2. 函数x 2-2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗? 3函数x 2-2的图象可由y=x 2的图象怎样平移得到？ 小结：函数y=a x 2 (a ≠0)和函数y= a x 2 +c (a ≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=a x 2+c 的图象可由y=a x 2的图象向 平移 个单位得到，当c 〈0时，函数y=a x 2+c 的图象可由y=a x 2的图象向 平移 个单位得到。
三、例题教学运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m 。
求：1、球空中运行最大高度是多少米？2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB 是多少？5.3512+-=x y四、课堂检测(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图向平移个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向平移个单位得到。
6.2 二次函数的图象和性质(2)课件(苏科版九下)
2
2．类比探究二次函数 y = ax + k 的图象和性质
抛物线 y = 2x 2 + 1，y = 2x 2 - 1 与抛物线 y = 2x 2 有什 么关系？抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 有什么关系？
2
2．类比探究二次函数 y = ax + k 的图象和性质
归纳: 当 k＞0 时，把抛物线 y = ax 2 向上平移 k 个单位，就 得到抛物线 y = ax 2 + k； 当 k＜0 时，把抛物线 y = ax 2 向下平移｜k｜个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k．
2
3．运用性质，巩固练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 1 2 1 2 1 2 （1） y x ；（2） y x 2；（3） y x 2 ． 2 2 2 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方 向、对称轴和顶点．你能说出抛物线 y 1 x 2 k 的开口 2 1 方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 y x 2 有什么联 2 系？
3．运用性质，巩固练习
1 2 y x k 2 开口方向：向上；
对称轴：y 轴；
顶点：（0，k）．
1 2 当 k＞0 时，把抛物线 y x 向上平移 k 个单位， 2 1 2 就得到抛物线 y x k； 2 1 2 当 k＜0 时，把抛物线 y x 向下平移｜k｜个单 2 1 2 位，就得到抛物线 y x k． 2
2
2．类比探究二次函数 y = ax + k 的图象和性质
通过对二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的探究，你 能说出二次函数 y = ax 2 + k（a＞0）的图象特征和性质 吗？
2二次函数的图像及其性质(二)教案
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数 的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，
6.2二次函数的图象和性质(2)教案
课题：§6.2二次函数的图象和性质（3）时间：12月8日班级：九年级四班开课人：曹斌华教学目标:知识与能力：1．经历探索二次函数y=ax2＋k的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．能说出y=ax2＋k图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值．3．会作出y=ax2和y=ax2＋k的图象，比较它们的异同，理解a与k对二次函数图象的影响．过程与方法：经历通过图像平移寻找位置关系的变化过程，体验平移的单位和方向是由k确定的。
情感、态度与价值观1、通过进行数形结合的思想方法的教育，渗透事物间相互联系、运动变化的辩证唯物主义思想。
2、通过对本节课的学习，让学生充分认识二次函数图像的平移规律，培养学生的观察能力和分析问题的能力。
教学重点:二次函数y=ax2＋k的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．在教学时结合图象分别从开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性、最大（小）值几个方面加以理解和分析．教学难点:1.由函数图象概括出y=ax2＋k的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．2.理解二次函数y=ax2+k与y=ax2图象间的联系教学方法:1.类比教学法。
2.探索研究法。
教学过程:一、温故知新：前面我们研究过什么样的二次函数？图象是什么？2引出课题：研究形如y=ax+k(a≠0) 的二次函数的图象和性质二、预习展示：展示学生事先画好的函数图象：1.在同一平面内画出函数y=x2与y=x2+1、y=x2-2的图象。
2. 在同一平面内画出函数y=-x2与y=-x2+3、y=-x2-2的图象。
三、观察思考：1.让学生观察所画的函数图象，讨论分析各自所具有的性质并填表。
（幻灯片展示）2.进一步让学生观察所画的函数图象，讨论归纳二次函数y=ax2+k(a≠0)图象的性质。
（幻灯片展示）四、崭露头角：画出y=-3x2+5、y=7x2-3、y=2x2+4、y=-4x2-2图象的草图，并根据草图说出它们各自的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值。
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
初中数学_二次函数的图象与性质(第2课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
鼓励学生在小组内展开讨论，交流各自的想法和解题思路，共同探究问题的解决方法。
教师在巡视过程中，给予学生必要的指导和帮助，引导他们深入思考。
每个小组选派一名代表，向全班展示他们的探究成果和解题思路。
教师对学生的展示进行点评和总结，肯定他们的探究成果和表现。
其他同学认真倾听，对展示的内容进行评价和提问，形成积极的互动氛围。
教材通过实例引入二次函数的概念，进而详细阐述了二次函数的图象特征和性质，最后通过练习题加以巩固。
结构安排
内容概述
特点突出
教材注重从实际问题出发，引导学生理解二次函数的概念和性质，同时强调数形结合的思想方法。
亮点鲜明
教材通过丰富的图形和实例，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质，提高了学生的学习兴趣和效果。
二次函数图象是一个抛物线，开口方向由二次项系数决定，向上或向下。
抛物线形状
二次函数图象关于对称轴对称，对称轴方程为 $x = -frac{b}{2a}$。
对称性
抛物线的顶点坐标为 $(-frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$，是函数的最值点。
顶点
平移变换
二次函数图象沿 $x$ 轴或 $y$ 轴平移，不改变抛物线的形状和开口方向。
过程与方法
通过探究、观察、归纳、总结等方法，培养学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。
情感态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和审美情趣，使学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
03
二次函数与一元二次方程的关系
理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握通过二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
知识与技能目标
通过本节课的探究和实践活动，学生已经学会了观察、分析、归纳和总结数学规律的方法，提高了数学思维和解决问题的能力。
6.2 二次函数的图象和性质(2)导学案
6.2 二次函数的图象和性质（2）学习目标：1、经历探索二次函数y＝ax2性质的过程，进一步体验数形结合的思想方法。
2、能说出二次函数y＝ax2图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值y随x的变化规律等。
学习过程：一、知识再现1、y＝x2的图象是________，它开口______，对称轴为_______，顶点为_____。
2、y＝－x2的图象是_______，它开口______，对称轴为_______，顶点为_____。
二、探索与发现1、观察函数y＝x2，y＝12x2，y＝－x2，y＝12-x2，y＝－2x2的图象，它们有哪些共同点和不同点？请与同学交流。
结论：二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是顶点在______，对称轴是________的______。
当a＞0时，抛物线开口______，顶点是抛物线的_________。
当a＜0时，抛物线开口______，顶点是抛物线的_________。
2、观察上述函数中y随x的变化规律：结论：对于y＝ax2（a≠0）⑴若a＞0，则在对称轴左侧（），y随x的增大而_______；在对称轴右侧（），y随x的增大而_______；当x＝_______时，y有最_____值是_______；⑵若a＜0，则在对称轴左侧（），y随x的增大而_______；在对称轴右侧（），y随x的增大而_______；当x＝_______时，y有最_____值是_______；3、若将上述三个函数的图象放在同一坐标系中，你能发现它们开口大小的规律吗？结论：三、典型例题例、已知二次函数y＝ax2的图象经过点A11,28⎛⎫-⎪⎝⎭、B（3，m）。
⑴求a与m的值；⑵写出该图象上点B的对称点的坐标；⑶当x取何值时，y随x的增大而减小？⑷当x取何值时，y有最大值（或最小值）？四、随堂练习：12、填空：⑴对于函数y=－7x 2，当x ＞0时函数的值随着自变量x 的增大而_______；当x=____时，函数有最 值，最 值是 。
二次函数的图象及性质(2)
2.填写下表:
y=a(x-h)² +k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
中考语录
中考是人生的第 一个十字路口，车 辆很多，但要勇敢 地穿过去。
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
2
图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y 3x 1 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x+1)2有什 2 y 3x 1 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么? 2
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6.2 二次函数的图象和性质（2）
一、学习目标：
1、能利用表格和图象．．．．．研究二次函数2
ax y =的性质（如开口方向、对称轴、顶点、增减性等）；
2、掌握待定系数法，学会研究函数性质的途径和方法。
二、学习重点与难点：
理解二次函数2
ax y =的性质和待定系数法是学习的重点；难点是对性质和待定系数法确定二次函数关系式的实质的理解。
三、自学质疑： 1.自学指导：本节课主要研究P 11-P 12的内容，请注意图、表相互结合来研究问题，注重“理．．
解”．．
2．思考题：
1.填表并观察思考
2.思：通过1中的表和图，你能否概括出函数2x y =、2x y =和25.0x y -=、2
x y = 的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）
3.类比：对于二次函数2
ax y =具有什么性质呢？你是怎样理解和记忆这些性质的呢？
4.试一试：认真完成课本P 11练习（注意第3题的每一步的算理）
我自学时的疑难、困惑 或 发现是：
巩固案
A 组：
⒈根据函数关系式y=2
4
3x -
填空：
（1）图像开口向 ，，顶点坐标 ， 对称轴 ；
（2）当x ≥0时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的最 值是 .
2．二次函数y=ax 2
的图像如图，该函数的关系式是 .如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 .
3．已知二次函数y=ax 2的图像经过点P(2，3)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a 的值吗
4.根据图（1）、（2）的函数图像填空：
（1）二次函数y=-7x 2
的图像不可能是 ， 二次函数y=
2
3
2x 的图像不可能是 ； （2）有最大值的函数图像是 ，它的最大值是 ；
（3）如果二次函数y=(m-1)x 2
的图像是图（1），那么m 的取值范围是 .
5．对于函数y=x 2
，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ）
A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等；
B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应；
C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应；
D 、对于任何实数x ，都有y>0. 6.在同一坐标系中，函数y=x 2
，y=
2
2
1x ，y=3x 2的图像如图。
其中图像①的函数关系式是 ，图像②的函数关系式是 ，图像③的函数关系式
是 .你能根据观察图像所得到的结论，说明二次函数y=ax 2
的系数a 对图像形状的影响吗？
B 组
1．已知A （1，y1）、B （-2，y2）、C （-2，y3）在函数y=2
4
1x 的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是 .
2．已知二次函数y=ax 2的图像经过点A （
)8
1
,21-、B （3,m ）. (1)求a 与m 的值；（2）写出该图像上点B 的对称点的坐标；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（4）当x 取何值时，y 有最大值（或最小值）？
o (2)
y x
(3)
(2)
(1)y
x
o
四．课堂作业：P19 2。