云南省云天化中学2016-2017学年高二下学期阶段检测(三)数学(文)试题含答案

云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（三)
高二年级文科数学试卷 【考试时间：06月02日】 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设全集{}{}4,2,5,4,3,2,1===N C M N M U U
，则=N （ ）
()A {}3,2,1 ()B {}5,3,1 ()C {}5,4,1 ()D {}4,3,2
2、抛物线y x
=2
焦点坐标是（
）
()A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4
1 ()B ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2
1 ()C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,0 ()D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,0
3、为了得到函数⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=6sin πx y 的图象，只需把函数x y sin =的图象上的所
有点（ ）
()A 向左平移6
π个单位长度 ()B 向右平移6
π个单位
长度
()C 向上平移6
π个单位长度 ()D 向下平移6
π个单位
长度
4、阅读右边的程序框图，若输出S 的值为14-,则判断框内可填写（ ）
()A ?6<i ()B ?5<i ()C ?8<i ()D ?7<i
5、在等差数列{}n
a 中，已知1684
=+a a
,则该数列的前11项和=11S （ ）
()A 58 ()B 88 ()C 143 ()D 176
6、已知角α的终边经过点()3,4-，则=αcos ( ）
()A 5
4 ()B 5
3 ()C 5
3-
()D 5
4-
7、若x ，y 满足约束条件件20,
220,20,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩
，
则
3z x y =+的最大值为(
）
()A 3
2 ()B 3
4 ()C 2
()D 3
10
8、圆01382:22
=+--+y x y x
C 的圆心到直线
01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ）
()A 3
4- ()B 4
3- ()
C 3
()D 2
9、已知21,F F 是双曲线()0,0122
22>>=-b a b y a x 的左右焦点,以线段21F F 为边作正
21F MF ∆,若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（
）
()A 13+ ()B 324+ ()C 13-
()
D 2
1
3+ 10、已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则（ ）
()A 3,3=-=b a ()B 11,4-==b a ()C 3,3-==b a 或11,4-==b a ()D 3,3=-=b a 或11,4-==b a
11、设R y x ∈>,0，则“y x >”是“y x >"的（ ）
()A 充要条件 ()B 充分而不必
要条件
()C 必要而不充分条件 ()D 既不充分也
不必要条件
第4题
12、若不等式3ln 22
-+-≥ax x x x 对()+∞∈,0x 恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
()A ()0,∞- ()B ()+∞,0 ()C (]4,∞- ()D [)+∞,4
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每空5分，
共20分．)
13、已知向量()()2,3,4,-==b t a ,若b a ⊥,则实数t 的值为 ． 14、如右图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .
15、在区间[]π,0上随机取一个数x ，则事件“⎪⎭
⎫
⎝⎛∉65,6
ππx ”发生的概率
为 .
16、已知函数()ax x x f -=ln 2
1在1x =处的切线与直线210x y +-=平行，且方
程()1()34
f x m x =-在(]4,0上有两个不相等的实根，则实数m 的取值范围是
．
三、解答题（本题共6题,共70分．)
17、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=t m y t x 21232（t 为参数）,点()3,2P 在直线l 上,椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y β
ββ=⎧⎨
=⎩
为参数).
(Ⅰ）写出椭圆M 的普通方程；
（Ⅱ）若直线l 且交椭圆M 于,A B 两点,求弦AB 的长.
18、（本题满分12分)某城市预测2013年到2017年人口总数y 与年份x 的关系如下表所示：
年份x 201(年） 3 4 5 6 7 人口总数
y (十万）
5 7 8 11 19
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回
归方程a x b y
ˆˆˆ+=,据此估计2018年该城市人口的总数; （Ⅱ）现从这5组数据中随机选取2组数据，求选取的2组数据恰好是不相邻2年的数据的概率．
云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（三)
高二年级文数答案
一、选择题 题号
1
2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
()B ()C ()A ()C ()B ()D ()D ()A ()A ()B ()C ()C
1、
【解析】 {}{}4,2,5,4,3,2,1===N C M N M U U ,N ∉∴4,2，{}5,3,1=∴N ．故选()B ．考点 :集合的运算．
2、
【解析】2112,2=⇒=∴=p p y x , 抛物线的焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p ，即为⎪⎭
⎫
⎝⎛41,0．故选()C ．考点 ：抛物线的几何性质． 3、
【解析】选()A ．考点 ：三角函数的图象变换．
4、
【解析】;5,231,3;3,112,1=-=-====-==i S i i S i 9,1477,7;7,752,5=-=--===-=--==i S i i S i ，故选()C ．考点：算法及程序框图．
5、
【解析】()882
11,161111111184=+=∴=+=+a a S a a a a ,故选()B ．考点：等差数列
的性质及前n 项和． 6、
【解析】 角α的终边经过点()3,4-,5,3,4==-=∴r y x ,5
4cos -==∴r
x α．故选
()D ．考点：三角函数的定义．
7、【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点24,33⎛⎫
⎪⎝⎭
取得最大值为103。

故选()D 。

考点：线性规划．
8、【解析】圆的标准方程为()()4412
2
=-+-y x ,圆心()4,1到直线01=-+y ax 的
故直距离
11
32=++a a ，解得3
4
-
=a ，。

故选()A 。

考点:直线与圆的方程,考查运算能力。

9、
【解析】 21F MF ∆为正三角形，,2211c F F MF ==∴设边1MF 的中点为N ,则c NF =1，c NF 32=，132312+==
⇒=-=-∴a
c
e a c c NF NF ，故选()A ．考点：双曲线的定义、离心率．
10、【解析】()b ax x x f ++='232
，()()⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++==++='∴114
3
301102312
b a b a a b a f b a f 或，当3,3=-=b a 时，()()0133632
2
≥-=+-='x x x
x f ，()x f 无极值，因舍去。

故选()B .
考点：函数的极值.
11、【解析】因为R y x ∈>,0，所以不妨取2,1-==y x ，满足y x >，但是不满足y x >．
故“y x >”不能推出“y x >"；反之成立，故选()C .考点:充要条件．
12、解析： ()03ln 22>-+-≥x ax x x x ，∴x
x x a 3
ln 2++≤在()+∞,0上恒成立,令()03
ln 2)(>+
+=x x
x x x f ，题设等价转化为()min x f a ≤． ()()()()013323122222>-+=-+=-+='x x
x x x x x x x x f ,令()10=⇒='x x f 或3-=x （舍去)，()x f ∴在()1,0上递减，在()+∞,1上递增,()()41min
==∴f x f ，4≤∴a ．故选()C ．考点：
函数及导数，不等式综合． 二、填空题
13、
3
8
； 14、9； 15、3
1； 16、[)22ln 2,42ln 4--．
13、
【解析】 b a ⊥，3
8
02430=⇒=⨯-⇒=⋅∴t t b a ．考点：向量的坐标运算和数量积运算，考查运算求解能力．
14、
【解析】根据三视图知该四面体的体积为
93362131=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯⨯=V ．
考点：三视图。

15、【解析】在区间[]π,0上，⎪⎭⎫ ⎝⎛∉65,6ππx ,⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴πππ,656,0 x ,故事件“⎪⎭
⎫ ⎝⎛∉65,6ππx ”
发生的概率为3
1
3656==⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=
ππππππ
P .考点:几何概型。

16、
【解析】()a x
x f -='21
且()x f 在1x =处的切线与直线210x y +-=平行， ()12121211=⇒-=-⇒-='∴a a f ，()x x x f -=∴ln 2
1
，
方程()1()34f x m x =-⇔()m x x x m x x =-⇔-=-ln 234
1ln 21,
令()m y x x x g =-=,ln 2，方程()1()34
f x m x =-在(]4,0上有两个不相等的实根，等
价转化为()x g y =与m y =的图象在(]4,0上有两个不同的交点，
()()20,212=⇒='-=-=
'x x g x
x
x x g 令 ，()x g ∴在()2,0上递增，在(]4,2上递减，故 ()()22ln 22max -==g x g ，由当0→x 时,()-∞→x g ，而()42ln 444ln 24-=-=g ．
故22ln 242ln 4-<≤-m ，即实数m 的取值范围是[)22ln 2,42ln 4--．考点：方程的根及数形结合思想的应用． 三、解答题
17、
【解析】（Ⅰ）椭圆M 的普通方程为2
214
x y +=。

…………………………5分
(Ⅱ) 点()
3,2P 在直线l 上,3,02132322==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=∴m t t m t ,……………………6分
故直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213232（t 为参数）.将其代入椭圆M 的普通方
程得2
7243480t
t ++=, (8)
分
设,A B 对应的参数分别为1
2
,t t ， 所以()
2
121212*********
86
,,477
7
t
t t t AB t t t t t t +=-
=-=-=+-=。

………………10分
考点:坐标系与参数方程。

18、
【解析】（Ⅰ）105
19
11875,5576543=++++==++++=y x ，
13576543222225
12
=++++=∑=i i x ， 2821971168574535
1
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i
i y
x ，
2.35
5135105528255ˆ22
5
1
2
5
1
=⨯-⨯⨯-=
--=∴∑∑==x x y
x y
x b
i i i i
i ，ˆˆ10 3.256a y bx =-=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ 3.26y
x =-．……………………5分
根据表格提供的数据知,当8=x 时，ˆ 3.28619.6y
=⨯-=(十万） ∴2018年该城市人口的总数估计为19.6（单位：十万） (7)
分
（Ⅱ）现从这5组数据中随机选取2组数据，所有的基本事件有
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}19,11,19,8,11,8,19,7,11,7,8,7,19,5,11,5,8,5,7,5共10个,
记事件A ：“选取的2组数据恰好是不相邻2年的数据”，其对立事件A ：
“选取的2组数据恰好是相邻2年的数据”,A 包含的基本事件有
{}{}{}{}19,11,11,8,8,7,7,5共4个,故()()5
3
10411=-
=-=A P A P ．故选取的2组数据恰好是不相邻2年的数据的概率为5
3．……12分
考点：线性回归直线方程，古典概型求事件的概率． 19、
【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中， ()()()
c b C a b B A -=-+3sin sin sin ∴
由正弦定理得()()(
)c
b c a b b a -=-+3，化简得bc
a c b
3222
=-+……4分
232cos 222=-+=∴bc a c b A ,()6
,,0ππ=∴∈A A (6)
分
（Ⅱ)34,3sin 2
1
=∴==∆bc A bc S ABC
……………………8分
又()()123843232
2
222
--+=⇒--+=-+=c b bc bc c b bc c b a
()()
()
132********
2
+=+⇒+=+=+∴c b c b
联立⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=3222
322323
4c b c b c b bc 或 (12)
分
考点:正弦定理、余弦定理．
20、
【解析】（Ⅰ)证明：的中点是BD E AD AB ,= BCD AE ABD AE BD BCD ABD BCD ABD BD
AE 平面平面平面平面平面平面⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
⊂=⊥⊥∴ …………2分
∴AEF CD E AE EF CD EF CD BC BC EF CD BD F E CD
AE 平面的中点是又⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫
=⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⊥ //,,．……4分
(Ⅱ)在BCD Rt ∆中，32,2==CD BC ,422=+=
∴CD BC BD ，
4===∴BD AD AB ，ABD ∆∴是正三
角形,E 为BD 的中点，32=∴AE (7)
分
又点F E ,分别为CD BD ,的中点BC EF //⇒且12
1==BC EF
2
33228121212121=⨯⨯=⨯⨯=⋅⋅=
∴∆CD BC CF EF S BEF ……………………9分
31322
1
21=⨯⨯=⋅=
∆EF AE S AEF ，设三棱锥AEF B -的高为h ， 则由
33
333
223
3131==⨯=⋅=⇒⋅=⋅⇒=∆∆∆∆--AEF BEF BEF AEF BEF
A AEF B S AE S h AE S h S V V . 故三棱锥AEF B -的高为3。

(12)
分
21、【解析】（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=3
4
12322
22222222b a c
b a b a
c ∴椭圆E 的方程得方程13
42
2=+
y x ．……………………5分
（Ⅱ)设()()()011
1
,2,0,y M y
y x P ≠，则2
,211201-==
x y
k y k ，M P A ,, 三点共线，
()()()2
4422,,4,,//11
0110110+=
⇒=+⇒+==∴x y y y x y x y AP y AM AP AM 4
222222212
1111121111-=-⋅+=⇒+=∴x y
x y x y k k x y k (8)
分
()11,y x P 在椭圆上，()2
1
212
12
144
3134x y y x -=⇒=+∴，
()
234
44322
12
1
21-=--⨯
=
∴x x k k 为定值．……………………12分
考点：直线与椭圆综合、定值问题．
22、【解析】（Ⅰ)定义域为()+∞,0，且()1ln +='x x f , (1)
分
∴()x f 在点e x =处的切线的斜率()21ln =+='=e e f k ，又()11ln +=+=e e e e f ， ∴切线方程为()()e x e y -=+-21，即012=+--e y x ．
令()e
x x f 10=⇒='
当e
x 10<<时,()0<'x f ；当e
x 1>时，()0>'x f ，
∴()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e ，减区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛e 1,0． (4)
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f 在⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡e e
1,12
上为减函数；在⎥⎦
⎤
⎝⎛2
1,1e e 上为增函数，………5分
()()11min 1---==∴e e f x f
，………………6分
()()(){}
1212,21max ,max 22222max +=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-==∴-e e e e f e f x f (8)
分
(Ⅱ）当1>x 时,函数()x f y =的图像恒在直线kx y =上方，等价于()+∞∈,1x 时，不等式kx x x >+1ln 恒成立，即x
x x
x x k 1ln 1ln +=+<恒成立 (9)
分
令()()()()11
11,11ln 22>-=-
='>+=x x
x x x
x g x x
x x g 则…………………10分
()0,1>'∴>x g x ,故()x g 在()+∞,1递增, ()()11=>∴g x g ． (11)
分
1≤∴k ，即实数k 的取值范围为(]1,∞-． (12)
分
19、（本题满分12分）已知在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且()()()c
b C a b B A -=-+3sin sin sin ．
（Ⅰ）求角A ;
（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积等于
3，求c b ,．（参考数据：()
324132
+=+）
20、（本题满分12分)如图,三棱锥BCD
A -中，CD BC AD A
B ⊥=,,平面ABD ⊥平面
BCD ，
点F E ,分别为CD BD ,的中点．
（Ⅰ）求证：⊥CD 平面AEF ；
(Ⅱ）已知32,2,4===CD BC AB ，求三棱
锥
AEF B -的高．
21、（本题满分12
分)如图,椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x E 的焦距为2，且过点
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛26,2。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)若点B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于B A ,的任意一点，直线AP 交l 于点M ．设直线OM 的斜率为1
k ，直线BP 的斜率为2
k ,求
证：2
1k k 为
定值．
22、（本小题满分12分)已知函
数
()1ln +=x x x f ．
（Ⅰ）求函数()x f 在点e x =处的切线方程和单调区间； （Ⅱ）求函数()x f 在[]2
2
,e e
-上的最大值与最小值；
y
P
M x
B A
O
l
(III）若1>x时，函数()x f
y=的图像恒在直线kx
y=上方，求实数k的取值范围．。