2025届高考数学二轮复习大题专讲专练第40讲隐零点含解析

第40讲 隐零点
利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的推断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的推断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,依据其数值计算的差异可分为以下两类:
(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.
(2)能够推断其存在但是无法干脆表示的,称为隐零点.
对于隐零点问题,由于涉及敏捷的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑推断和奇妙的不等式应用,对学生的综合实力要求比较高,往往是考查的难点.
我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下:
第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程
()00f x '=,并结合()f x 的单调性,通过取特别值靠近的方式得到零点的范围.
其次步:以一阶导函数零点0x 为分界点,说明导函数()f x '在0x 左、右两边的正、负号,进而得到()f x 的极值表达式()0f x .
第三步:将零点方程()00f x '=适当变形,整体代人极值式子()0f x 进行化简证明. 有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),推断其范围(用零点存在性定理),最终整体代人即可.请留意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用幂函数替换,这是简化函数的关键.
无参隐零点问题
隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数()f x ,导函数方程()0f x '=的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为:
第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程()0f x '=的根为0x . 其次步:写出零点等式()00f x '=成立. 第三步:取点找出留意确定0x 的合适范围。

第四步:把零点等式变形反带回()f x ,进行简化,从而求解.
【例1】已知函数()()2
3e ,91x
f x x
g x x =+=-.证明:()()f x g x >.
【解析】证明：设()()()()23e 91,
3e 29x
x h x f x g x x x h x x =-=+-+='+-为增函数,
∴可设()00h x '=.
()()06137h h e o =''-<=->
()00,1x ∴∈.
当0x x >时,()0h x '>.当0x x <时,
()0h x '<.
()02min 000()3e 91x h x h x x x ∴==+-+.
又00003e 290,3e 29x x x x +-=∴=-+.
()()22min 0000000()29911110110h x x x x x x x x ∴=-++-+=-+=--.
()()()0000,1,1100x x x ∈∴-->, ()()min ()0,h x f x g x ∴>>.
【例2】已知函数()()e ln 2x
f x x =-+,求证:()0f x >.
【解析】证明：()1
e 2
x
f x x =-
+'在区间(2-,)∞+上单调递增, 又
()()10,00f f -'',
()0f x ∴'=在()2,∞-+上有唯一实根0x ,且()01,0x ∈-.
当()02,x x ∈-时,()0f x '<. 当()0,x x ∞∈+时,()0f x '>. 从而当0x x =时,()f x 取得最小值. 由()00f x '=,得()00001
e ,ln 22
x x x x =
+=-+,()
()()()2
0000011
0022
x f x f x x f x x x +∴=+=>∴>++.
【例3】已知函数()2
ln f x x x x x =--.
证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且()2
20e
2f x --<<.
【解析】证明：()()2
ln ,22ln f x x x x x f x x x =-'=---. 设()22ln h x x x =--, 则()12h x x
'=-
. 当10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0h x '<. 当1,2x ∞⎛⎫
∈+
⎪⎝⎭
时,()0h x '>. ()h x ∴在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递减,在1,2
∞⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
单调递增.
又()
()21e 0,0,10,2h h h -⎛⎫
><=
⎪⎝⎭
()h x ∴在10,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
零点只有0x ，在1,2
∞⎡⎫+⎪⎢⎣
⎭
零点只有1,且当()00,x x ∈时,()0h x >.当
()0,1x x ∈时,()0h x <.当()1,x ∞∈+时,()0h x >. ()()f x h x '=,
0x x ∴=是()f x 在()0,1上的唯一极大值点.
由()00f x '=得()00ln 21x x =-.
()()0001f x x x ∴=-.
由()00,1x ∈得()0104
f x <<
. 0x x =是()f x 在()0,1的最大值点,由
()()
11e 0,1,e 0f --∈'≠得
()()
120e e f x f -->=.
()220e 2f x --∴<<.
含参隐零点问题
含参函数的隐零点问题:已知含参函数(),f x a ,其中a 为参数,导函数方程(),f x a '=0的根存在,却无法求出,其解题步骤为:
第一步:设方程(),0f x a '=的根为0x .
其次步:写出零点等式(),0f x a '=成立时,含0,x a 的关系式. 第三步:取点找出0x 的合适范围,该范围往往和a 有关. 第四步:反带回()f x 进行求解,通常可以消参.
【例1】设函数()2e
ln x
f x a x =-.
(1)探讨()f x 的导函数()f x '零点的个数. (2)证明:当0a >时()22ln
f x a a a
+. 【解析】(1)()f x 的定义域为()()20,,2e (0).x
a
f x x x
∞+>'=-
①当0a 时,()()0,f x f x '>'没有零点. ②当0a >时,
2e x 单调递增,a
x
-单调递增.
()f x ∴'在()0,∞+单调递增.
又()0f a '>,当b 满意04a b <<且1
4
b <时,()0f b '<,故当0a >时,()f x '存在唯一零点.
(2) (证明)由(1)题,可设()f x '在()0,∞+的唯一零点为0x ,当()00,x x ∈时,()0f x '<. 当()0,x x ∞∈+时,()0f x '>.
故()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x ∞+单调递增,
∴当0x x =时,()f x 取得最小值,最小值为()0f x .
由于020
2e 0x a
x -
=, ()000222ln 2ln 2a f x ax a a a x a a
∴=
+++. 故当0a >时,()2
2ln f x a a a
+.
【例2】已知函数()()e ln x
f x x m =-+.当2m 时,证明:()0f x >.
【解析】证明：函数()f x 的定义域为(),m ∞-+,则()()e 11
e x x
x m f x x m x m
+-=-=
++'. 设()()e 1x
g x x m =+-.
()()1e 0x g x x m =++'>, ()g x ∴在(),m ∞-+上单调递增.
又
()()210,22e 12110m g m g m --=--=-⨯->
()0g x ∴=在(),m ∞-+上有唯一实根0x .
当()0,x m x ∈-时,()()0,0g x f x <<'.
当()0,x x ∞∈+时,()()0,0g x f x >>',从而当0x x =时,()f x 取得最小值为()0f x . 由方程()0g x =的根为0x ,得()00001
e ,ln x x m x x m
=
+=-+ 故()(0000011
)2f x x x m m m x m x m
=
+=++--++,当且仅当01x m +=时,取等号.
又
2m 时,()00f x ∴.
()00f x 取等号的条件是01x m +=,0
01
e x x m
=
+及2m =同时成立,这是不行能的,
()00f x ∴>,故()0f x >.
【例3】已知函数()()()1
e ,ln 1x
f x x
g x k x k x +==++.
(1)求()f x 的单调区间.
(2)证明:当0k >时,方程()f x k =在区间()0,∞+上只有一个零点. (3)设()()()h x f x g x =-,其中0k >,若()0h x 恒成立,求k 的取值范围. 【解析】(1)
()1e x f x x +=,
()()111e e 1e x x x f x x x +++∴'=+=+,
令()0f x '>得1x >-. 令()0f x '<得1x <-.
故()f x 的单调减区间为(),1∞--,单调增区间为()1,∞-+. (2)证(明)设()()1
e x t x
f x k x k +=-=-,0k >,
则()()1
1e
x t x x +=+'.由(1)题可知()t x 在()1,∞-+上单调递增,
又()()()
1
100,e
e 10k k t k t k k k k ++=-=-=-,
()t x ∴在()0,∞+上只有一个零点.
故当0k >,方程()f x k =在区间()0,∞+上只有一个零点. (3)由题意得()()()()1
e
ln 1,(0,0)x h x f x g x x k x k x x k +=-=--+>>,
()()()
1111e e x x k x h x x k x k x x
+++∴=+-
=⋅'--. 令()0h x '=,则1
e
0x x k +-=.
由(2)题得()1
e
,0x t x x k k +=->,在区间()0,∞+上单调递增且只有一个零点.
不妨设()t x 的零点为0x ,
则当()00,x x ∈时,()0t x <,即()h x '<0,此时()h x 单调递减.
当()0x x ∞∈+时,()0t x >,即()h x '>0,此时()h x 单调递增,
∴函数()h x 的最小值为()0h x ,且()()010000e ln 1x h x x k x k x +=--+.
由010e 0x x k +-=得0
0e 1
x k
x =
+,故 ()()0001
ln
1ln e x k h x k k k x k k k +=--+=-.
依据题意()00h x ,即ln 0k k k -, 解得0e k <.
故实数k 的取值范围是(]
0,e .
隐零点求最值
利用隐零点求最值的步骤:
第一步:求出一阶导函数()f x ',并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判定). 其次步:利用零点存在定理判定()f x '存在零点,写出零点方程()00f x '=,并确定零点取值范围()0:,x a b ∈.
第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式()0f x .
第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式:
000000
11e 0e e 1x x x x x x -
=⇔=⇔=⇔ ()
0000ln e ln 0x x x x =+=
【例1】求函数()ln 1
(0)e x
x x F x x x ++=>的最大值.
【解析】由已知得
()
()()()
()()
2
211e 1e ln 1e 1ln .
e x x x x
x x x x x F x x x x x x ⎛⎫+-+⨯+'+ ⎪⎝
⎭=-++=
令()ln (0)x x x x ϕ=+>,则()1
10x x
ϕ=+
>' ∴函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增.
()11
10,110e e
ϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
,
∴存在01,1e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,使得()000ln 0x x x ϕ=+=,
其中0000ln 0e 1x x x x +=⇔=(指对互化).
∴当00x x <<时,()()0,0x F x ϕ'.
当0x x >时,()()0,0x F x ϕ><'.
()F x ∴在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减.
()0
00max 00ln 1
() 1.e
x x x F x F x x ++∴==
=
【例2】求()()
e 1ln 2,x F x x x x =--+>0时的最小值. 【解析】()()()111e 1e e 11e ,0.x x x x x F x x x x x x x x +⎛⎫=-+-
=+-=+'-> ⎪⎝
⎭ ()1
e ,0x h x x x
=->.
令()2
1
e 0x
h x x =+
>'. ()()0,h x 在∞∴+上单调递增.
()
1
20,1e10
2
h h
⎛⎫
∴==-
⎪
⎝⎭
，
存在唯一的
1
,1
2
x
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
使得()0
1
e0
x
h x
x
=-=
当()()
0,0,0.
x x h x F x
时即'
<<<<
()()
,0,0
x x h x F x
当时即'
>>>.
故()
F x在()0
0,x上单调递减,在()
,x∞
+上单调递增.
()
00
min00000
()e1ln2e ln2
x x
F x x x x x x
=--+=--+,
由于()0
1
e0
x
h x
x
=-=得0
e1
x
x=,
再对0
e1
x
x=两边取对数得
00
ln0
x x
+=.
min000
()e ln21023
x
F x x x x
∴=--+=-+=.
【例3】求()
1ln
e2
x
x
x
x
ϕ
+
=-+的最大值.
【解析】()
()22
22
1
1ln ln e
e,0.
x
x x x x
x
x x
x x
ϕ'
⋅-+--
=-=>
令()()()()
22
11
ln e,2e e e20(0)
x x x x
x x x x x x x x x
x x
则
μμ
=--=--+=--+<>
'，()()
0,
x在
μ∞
∴+单调递减
又()
1
2
e
1
1e0,1e0,
e
μμ
-
⎛⎫
=->=-<
⎪
⎝⎭
由零点存在性定理知,存在唯一零点()0
2
0000
1
,1,0,ln e.
e
x
x x x x
使即
μ
⎛⎫
∈=-=
⎪
⎝⎭
两边取对数可得()000
ln ln2ln
x x x
-=+,即()()
0000
ln ln ln ln
x x x x
-+-=+.
由函数ln
y x x
=+为单调增函数可得
00ln ,x x =-
()()00,0,0.x x x x 当时μϕ'∴
当0x x >时，()()0,0x x μϕ<<'.
()x ϕ∴在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减.
()()0000000
1ln 11
e 221x x x x x x x x ϕϕ+-∴=
-+=-+=.
隐零点求参数取值范——参变分别
参变分别法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,就是按参变分别的基本步骤.不同的只是分别参数之后求最值时,无法精确地求出极值,只能用隐零点的方式求出一个范围,所以所求最值也只是一个范围.这一类题目,会有一个明显的特征,就是所求参数通常为正整数,只有这样,参数才能取到一个确定的值。

【例1】已知函数()()ln 1f x x x =+,若对随意的()()()1,,1x f x m x ∞∈+-恒成立,求正整数m 的最大值. 【解析】
()()()()()()()ln 1ln 1,1,,11,,.1
x x f x x x x f x m x x m
x 由则时恒成立等价于时恒成立∞∞+=+∈+-∈+-
()()()2
ln 1ln 2,1,?1
(1)
x x x x g x x g x x x 令则+-'-=
>=--. ()()1ln 2,1h x x x h x x
令则'=--=-
. ()()()1,,0,x h x h x 当时则∞∴∈+>'单调递增
()()31ln30,422ln20h h =-=-，
()()003,4,0x h x 使得∴∃∈=。

()()()()001,,0.,,0x x g x x x g x 当时时∞∈+''∈.
()()00min 00ln 1()1
x x g x g x x +∴==
-.
()00000ln 20,ln 2h x x x x x =--==-.
()()
()00min 00021()3,41x x g x g x x x -+∴===∈-.
()03,4,m x m 即正整数的最大值∴∈为3.
【例2】已知函数()2ln 22f x x ax =-+,()()2
2g x ax x a R =-∈,若a Z ∈,且不等式()()f x g x 在()0,∞+上恒成立,求a 的最小值.
【解析】不等式()()f x g x 为2
2ln 222x ax ax x -+-在()0,∞+上恒成立, ∴不等式()22ln 122x ax ax x ++-在()0,∞+上恒成立.
()22ln 220,2x x a x x
在上恒∞++∴++成立. 设()22ln 222x x h x x x
++=+, 则()()()()22212ln 2x x x h x x x ++=-+'.
当0x >时,()2210,20x x x +>+>.
设()()22ln 10x x x x x
ϕϕ=+⋅=+>,()x ϕ在()0,∞+上是增函数,()11
2ln20,11022
ϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,使得()00x ϕ=. 当00x x <<时,()()0,0x h x ϕ'.
当0x x >时,()()0,0x h x ϕ><'. ()h x ∴在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减.
()000002ln 0,ln 2
x x x x x ϕ=+==-,
则()000max 02200000
2ln 2221()22x x x h x h x x x x x x +++====++ 01.a x ∴()0011,1,1,2.2x x ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭min ,2a a ∈∴=Z 又
a ∴的最小值为2.
【例3】知函数()ln x a f x x +=，若()2e 1x f x x
+-恒成立,求实数a 的取值范围. 【解析】由()2e 1x
f x x +-可得ln 2e 1x x a x x ++- 分别a 可得()e 1ln 2,0x a x x x --+>.
令()()e 1ln 2,0x F x x x x =--+>. ()()()111e 1e e 11e ,0x x x x x F x x x x x x x x +⎛⎫'=-+-=+-=+-> ⎪⎝
⎭. 10x +>,设()1e ,0x h x x x
=->. 则()21e 0x h x x
=+>'
. ()h x ∴在()0,∞+上单调递增.()12,1e 12
h o h o ⎛⎫
=-<=-> ⎪⎝⎭ 存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,使得()0001e 0x h x x =-= 当00x x <<时,()0h x <,即()0F x '<.
当0x x >时,()0h x >,即()0F x '>.
故()F x 在()00,x 上单调递减,在()0,x ∞+上单调递增.
()
00min 00000()e 1ln 2e ln 2x x F x x x x x x =--+=--+,
由于()000
1e 0x h x x =-=,得00e 1x x =. 再对00e 1x x =两边取对数得00ln 0x x +=.
0min 000()e ln 21023x F x x x x ∴=--+=-+=.
3a ∴.
即实数a 的取值范围3a .
隐零点缩小参数取值范围——分类探讨
分类探讨法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,也是按前面的分类探讨的基本步骤.不同的是,在验证某一类参数范围是否满意条件时,要利用隐零点来协助验证,从而解除并缩小范围.
【例1】若不等式()1e ln 0x b x x --在[
)1,∞+上恒成立,求b 的取值范围. 【解析】由题意,()1e ln 0x b x x --在[
)1,∞+上恒成立. (1)若0b ,当1x 时,明显有()1e ln 0x
b x x -⋅-恒成立,不符题意. (2)若0b >,记()()1e ln x h x b x x =--,则()1e x h x bx x
=-'， 明显()h x '在[)1,∞+单调递增.
(1)当1,1e
b x 时,()()110h x h be ='-'. [)1,x ∞∴∈+时,()()10h x h =.
(2)当10e b <<
时,()1e 10h b =-<', 11e e 10b h b b '⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭
. ∴存在01x >,使()0h x '=.
当()01,x x ∈时,()0h x '<.
当()0,x x ∞∈+时,()0h x '>.
()h x ∴在()01,x 上单调递减,在()0,x ∞+上单调递增.
∴当()01,x x ∈时,()()10h x h <=,不符合题意.
综上所述,所求b 的取值范围是1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.
留意:本题可用后面章节的端点效应快速【解析】决.
【例2】设函数()()1e (x f x ax a R -=+∈),对随意[
)()0,,1x f x x ∞∈++恒成立,求实数a 的取值范围.
【解析】令()()1e 1x h x ax x -=+--,则()1f x x +成立等价于()0h x ,
①若0a ,当0x ,则()11,0e
11x ax f x -+<⇒, 而11x +,即()1f x x +恒成立.
②若02a <,则()()e 11x h x a ax -=---',
当0x ,由()()1,0t x a ax t x a '=--=-<得()t x 是减函数,
()()max []011t x t a ==-.
又()()e 1,0,x h x h x -∴<'在[]0,∞+上是减函数,
此时当()()0,00x h x h =.
③若
()()()()0112,0e 10120,1e 11e 10a h a a a h a a --->=--⨯-=->=--'='---<,
()0h x ∴'=在()0,1有零点.
在区间()0,1x ∈,设()()()()()e 12e 10x x g x h x g x ax a a --'=⇒=+--'<<, ()h x ∴'在()0,1x ∈上是减函数,
即()0h x '=在()0,1有唯一零点0x ,且在()00,x 上,()0h x '>.
在()00,x 为增函数,即()h x 在()00,x 上()()00h x h >=.
()1f x x ∴>+,不合题意.
综上可得,符合题意的a 的取值范围是(]
,2∞-.
留意:本题可用后面章节的端点效应快速解决.
【例3】已知()()(21e x f x x a x =--+1),[)1,x ∞∈+,若()
2ln f x a x -+恒成立,求实数a 的取值范围.
【解析】令()()()21e 1ln x g x x a x x =----
问题转化为()0g x 在[
)1,x ∞∈+上恒成立. ()1e 2x g x x ax x
=--',留意到()10g =. ①当e 12
a ->时,()1e 210g a =--<', ()()()()1ln 21ln 21ln 21g a a a '+=+-
+, 21e a +>,
()()()ln 211,ln 210a g a '∴+>+>.
∴存在()()01,ln 21x a ∈+,使()00g x '=.
当()01,x x ∈时,()()0,g x g x '<单调递减,
()()10g x g ∴<=,不满意题意. ②当e 12a -时,()()()11e e 1e e 1x x g x x x x x
x ⎡⎤---=---⎣⎦'. ()11,e e 11,01x x x x ⎡⎤>--><
<⎣⎦, ()()0,g x g x ∴'>在[)1,∞+上单调递增.()()10g x g ∴=,满意题意.
综上所述,e 12
a
-.
【例4】已知函数()e ln x f x x a x ax =⋅--,若对随意0x >恒有不等式()1f x 成立,求实数a 的值. 【解析】由题意知()()1e x a f x x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
'.
①当0a <时,()()1e 0x a f x x x '⎛
⎫=+-> ⎪⎝⎭
恒成立,此时()f x 单调递增, ()f x 的值域为R ,不符合题意.
②当0a =时,则1211e 122
f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,也不符合题意. ③当0a >时,令()()10x a f x x e x '⎛⎫=+-
= ⎪⎝⎭可得e 0x a x -=,即e 0x x a ⋅-=. 令()e x g x x =⋅,则()()e e e 10x x x g x x x '=⋅+=+>,
()e x g x x ∴=⋅在()0,∞+单调递增.
设存在()00,x ∞∈+使得00e x x a ⋅=,两边同时取对数可得00ln ln x x a +=. 则00x x <<时,()e ,0x
x a f x '⋅<<. 当0x x >时,()e ,0x x a f x '⋅>>.
∴当0x x =时,()0min 00000()e ln ln ln x f x x a x ax a a x a ax a a a =⋅--=--+-=-. 故只需ln 1a a a -即可,
令()ln (0)h a a a a a =->,
()11ln ln h a a a a a
=--⨯=-', 由()0h a '>可得01a <<.由()0h a '<可得1a >. 因此()h a 在()0,1上单调递增,在()1,∞+上单调递减, 从而()max ()1101h a h ==-=.
()ln 1h a a a a ∴=-.
又()ln 1h a a a a =-,
()ln 1h a a a a ∴=-=.
由以上证明可知()11h =,
1a ∴=.
故满意条件的实数a的值为1.。